江西省上饒市2017屆高考第一次模擬考試理數(shù)試題含答案解析

上饒市 2017 屆第一次高考模擬考試 數(shù)學(xué)（理科） 第 卷（共 60 分） 一、選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1. 已知 為實數(shù)集，集合 ， ，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 2. 設(shè)復(fù)數(shù) ，則 的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ， ，故選 D. 3. 已知 ，則 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ，故選 A. 4. 下列說法正確的是（ ） A. ， ，若 ，則 且 B. ， “ ” 是 “ ” 的必要不充分條件 C. 命題 “ ，使得 ” 的否定是 “ ，都有 ” D. 設(shè)隨機變量 ，若 ，則實數(shù) 的值為 2 【答案】 B 5. 九章算術(shù)教會了人們用等差數(shù)列的知識來解決問題，張丘建算經(jīng)卷上第 22 題為：“ 今有女善織，日益功疾（注：從第 2 天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織6 尺布，現(xiàn)一 月（按 30 天計）共織 540 尺布 ” ，則從第 2 天起每天比前一天多織（ ）尺布 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為 ，那么 ， ，解得： ，故選 B. 6. 已知雙曲線方程為 ，若其過焦點的最短弦長為 2，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 過焦點的最短弦長有可能是 或是過焦點垂直于長軸所在直線的弦長為 ， ，所以過焦點的最短弦長為 ，即， ， ，所以， 即 ，故選 A. 7. 函數(shù) 的圖象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ，所以函數(shù)是奇函數(shù)，而只有 C 的圖象不是奇函數(shù)的圖象，不關(guān)于原點對稱，故選 C. 8. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 幾何體如下圖，幾何體為底面為直角 梯形的直四棱柱，截去陰影表示的三棱錐，所以體積為,故選 D. 9. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出 ，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 當 ，則 ，時需退出循環(huán)，即 時判斷框內(nèi)為是， 為否，故選 C. 點睛 ： 循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查是高考熱點，有時會問輸出結(jié)果，或是判斷框的條件是什么，這類問題容易錯在審題不清， 計數(shù)變量加錯了，沒有理解計數(shù)變量是在計算結(jié)果之前還是計算結(jié)果之后，最后循環(huán)進來的數(shù)是什么等問題，防止出錯的最好的辦法是按順序結(jié)構(gòu)寫出每一個循環(huán)，這樣就會很好的防止出錯 . 10. 大數(shù)據(jù)時代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開使得家庭中有兩個小孩的現(xiàn)象普遍存在，某城市關(guān)系要好的 ， ， ， 四個家庭各有兩個小孩共 8 人，準備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐 4 名（乘同一輛車的 4 名小孩不考慮位置），其中戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的 4 名小孩恰有 2 名來自于同一個家庭的乘坐方式共有（ ） A. 18 種 B. 24 種 C. 36 種 D. 48 種 【答案】 B 【解析】 當 戶家庭的孿生姐妹乘坐甲車或乙車時，則另兩個小孩，是另外兩個家庭的一 個小孩，有 種方法，故選 B. 11. 已知 ， 滿足約束條件 當目標函數(shù) （ ， ）在該約束條件下取得最小值 1 時，則 的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 點睛 ： 本題考查了線性規(guī)劃和基本不等式求解最值問題， 基本不等式常考的類型，已知和為定值，求積的最大值，經(jīng)常使用公式 ，已知積為定值，求和的最小值，已知和為定值，求和的最小值，例如：已知正數(shù) ， ，求的最小值，變形為 ，再 ，構(gòu)造 1 來求最 值 . 12. 已知 是定義域為 的單調(diào)函數(shù)，若對任意的 ，都有，且方程 在區(qū)間 上有兩解，則實數(shù) 的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 設(shè) ， ，而 ，解得 ，即 ，那么方程 整理為在 上有兩解， 設(shè) ， ，解得，那么在 時，函數(shù)單調(diào)遞增，當 時，函數(shù)單調(diào)遞減，如下圖所示： 當 時， ， ，解得 ，故選 A. 點睛 ： 本題涉及兩個知識點，一個根據(jù)復(fù)合函數(shù)求解析式，另一個是函數(shù) 零點問題，復(fù)合函數(shù)求解析式可通過換元法求解，函數(shù)零點是高考熱點，如果是有零點，可根據(jù) （ 1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（ 2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)；（ 3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解，本題采用這種方法 . 第 卷（共 90 分） 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13. 已知 外接圓半徑是 2， ，則 的面積最大值為 _ 【答案】 【解析】 根據(jù)正弦定理， ,解得 ,若 的面積最大，即角 為銳角，,根據(jù)余弦定理， ,代入得到 ，即 的最大值為 12，所以 面積的最大值為 . 14. 在邊長為 1 的正方形 中， ， 的中點為 ， ，則_ 【答案】 點睛 ： 本題重點考察了向量數(shù)量積的運算， 一般容易錯在夾角上面，所以應(yīng)根據(jù)具體的圖形確定夾角； 需建立坐標系解決問題，比如本題； 化為那些知道模和夾角的向量 . 15. 已知 ， 展開式的常數(shù)項為 15，則 _ 【答案】 【解析】 常數(shù)項為 ，則 ，原式為16. 已知函數(shù) （ ），若函數(shù) 的所有零點依次記為 ， ， ， ， ，且 ，則_ 【答案】 【解析】 ,解得： ,函數(shù)在 的對稱軸為 ， ，所以 ， ，以此類推， ，這 項構(gòu)成以首項為 ， 為公差的等差數(shù)列，第 項為 ，所以 ，解得 ，所以 點睛 ： 本題考查了三角函數(shù)的零點問題，三角函數(shù)的考查重點是性質(zhì)的考查，比如周期性，單調(diào)性，對稱性等，處理抽象的性質(zhì)最好的方法就是畫出函數(shù)的圖象，這樣根據(jù)對稱性就比較好解決了，本題有一個易錯點是，會算錯定義域內(nèi)的零點個數(shù)，這就需結(jié)合對稱軸和數(shù)列的相關(guān)知識，防止出錯 . 三、解答題 （本大題共 6 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17. 已知公比不為 1 的等比數(shù)列 的前 5 項積為 243，且 為 和 的等差中項 （ 1）求數(shù)列 的通項公式 ； （ 2）若數(shù)列 滿足 （ 且 ），且 ，求數(shù)列 的前 項和 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 試題分析：（ 1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)， ，求得 ，整理為： ，求得 ，最后列通項公式；（ 2）由（ 1）可知， ，利用 累乘的方法求 的通項，代入 ，采用裂項相消的方法求和 . 點睛 ： 本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和方法（ 1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列加等比數(shù)列，（ 2）裂項相消法求和， ， , 等的形式，（ 3）錯位相減法求和，一般適用于等差 數(shù)列乘以等比數(shù)列，（ 4）倒序相加法求和，一般距首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和和倒著寫和，兩式相加除以 2 得到數(shù)列求和 ,(5)或是具有某些規(guī)律求和 . 18. 水是地球上寶貴的資源，由于價格比較便宜在很多不缺水的城市居民經(jīng)常無節(jié)制的使用水資源造成嚴重的資源浪費某市政府為了提倡低碳環(huán)保的生活理念鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準 （噸），一位居民的月用水量不超過 的部分按平價收費，超出 的部分按議價收費為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年 100 位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照 ， ， ， 分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖 （ 1）若全市居 民中月均用水量不低于 3 噸的人數(shù)為 ，試估計全市有多少居民？并說明理由； （ 2）若該市政府擬采取分層抽樣的方法在用水量噸數(shù)為 和 之間選取 7 戶居民作為議價水費價格聽證會的代表，并決定會后從這 7 戶家庭中按抽簽方式選出 4 戶頒發(fā) “ 低碳環(huán)保家庭 ” 獎，設(shè) 為用水量噸數(shù)在 中的獲獎的家庭數(shù)， 為用水量噸數(shù)在 中的獲獎家庭數(shù)，記隨機變量 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【答案】 （ 1） 30 萬（ 2） ，分布列見解析 【解析】 試題分析：（ 1）根據(jù)頻率分布直方圖，求用水量大于等于 3 噸的頻率，頻率乘以全市的人數(shù)等于 人，求解方程； （ 2）首先根據(jù)頻率和為 1，計算 ，再分別計算用水量在 和 的戶數(shù)，再根據(jù)分層抽樣計算兩組分別抽取多少戶，再列舉所有 的情況，以及隨機變量 的值，最后得到 的分布列和數(shù)學(xué) 期望 . 試題解析： （ 1）由圖，不低于 3 噸人數(shù)所占百分比為 ，所以假設(shè)全市的人數(shù)為 （萬人），則有 ，解得 ， 所以估計全市人數(shù)為 30 萬 （ 2）由概率統(tǒng)計相關(guān)知識，各組頻率之和的值為 1， 因為頻率 ， 所以 ，得 ， 用水量在 之間的戶數(shù)為 戶，而用水量在 噸之間的戶數(shù)為戶，根據(jù)分層抽樣的方法，總共需要抽取 7 戶居民，所以用水量在之間應(yīng)抽取的戶數(shù)為 戶，而用水量在 噸之間的戶數(shù)為 戶 據(jù)題意可知隨機變量 的取值為 0,2,4 ， ， ， 其分布列為： 0 2 4 期望為： 19. 在三棱柱 中，已知側(cè)面 是菱形，側(cè)面 是正方形，點 在底面 的投影為 的中點 （ 1）證明：平面 平面 ； （ 2）設(shè) 為 上一點，且 ，求二面角 的正弦值 【答案】 （ 1）詳見解析（ 2） 【解析】 （ 2）如圖所示，以點 為坐標原點建立空間直角坐標系， 不妨設(shè)菱形邊長為 2，易知 ， ， ，因為 為中點且有 ，所以 ， 又因為平面 為菱形，所以 為等邊三角形， 從而 ，從而 ， 所以點 的坐標為 ， 因為 ，所以 ， 又因為 ，所以 ， 設(shè)平面 的法向量為 ， ， ， 所以 即 令 ，則 ， ，所以 ， 易知平面 的法向量 ， 所以 ， 所以 ， 從而二面角 的正弦值為 20. 已知橢圓 ： ，圓 ： 的圓心 在橢圓上，點 到橢圓 的右焦點的距離為 2 （ 1）求橢圓 的方程； （ 2）過點 作直線 交橢圓 于 ， 兩點，若 ，求直線 的方程 【答案】 （ 1） （ 2） 或 【解析】 試題分析：（ 1）首先根據(jù) ,求 ，再根據(jù)點在橢圓上代入橢圓方程，求解 ；（ 2）將條件 化簡為 ,分 與 軸垂直或不垂直兩種情況代入數(shù)量積的坐標表示，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到直線方程 . 試題解析： （ 1）因為橢圓 的右焦點 ， ，所以 ， 因為 在橢圓 上，所以 ， 由 ，得 ， ， 所以橢圓 的方程為 （ 2）由 得： ， 即 ，可得 ， 當 垂直 軸時， ， 此時滿足題意，所以此時直線 的方程為 ； 當 不垂直 軸時，設(shè)直線 的方程為 ， 由 消去 得 ， 設(shè) ， ，所以 ， ， 代入 可得： ， 代入 ， ，得 ， 代入化簡得： ，解得 ， 經(jīng)檢驗滿足題意，則直線 的方程為 ， 綜上所述直線 的方程為 或 點睛 ： 解析幾何解答題的考查，不管問題是什么都會涉及轉(zhuǎn)化與化歸能力的考查，比如 本題，如何將其轉(zhuǎn)化為熟悉的代數(shù)運算是本題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化為 后，即轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線聯(lián)立，設(shè)而不求的思想，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)果 . 21. 已知函數(shù) （ 為常數(shù)） （ 1）討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間； （ 2）當 時，設(shè) 的兩個極值點 ， （ ）恰為的零點，求 的最小值 【答案】 （ 1）當 時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ； 當 時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 （ 2） 【解析】 試題分析：（ 1）首先求函 數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，分 三種情況解 或 的解集，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ 2）首先求 ，得到，根據(jù) ，得到 ，代入并化簡為 ，根據(jù)前面根與系數(shù)的關(guān)系和 的取值范圍，得到 的取值范圍，通過設(shè) 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的函數(shù)求最小值 . 試題解析： （ 1） ， ， 當 時，由 ，解得 ，即當 時， ， 單調(diào)遞增；由 解得 ，即當 時， ， 單調(diào)遞減； 當 時， ，即 在 上單調(diào)遞增； 當 時， ，故 ，即 在 上單調(diào)遞增 所以當 時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ； 當 時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 （ 2）由 得 ， 由已知 有兩個互異實根 ， ， 由根與系數(shù)的關(guān)系得 ， ， 因為 ， （ ）是 的兩個零點，故 由 得： ， 解得 ， 因為 ，得 ， 將 代入得 ， 所以 ， 設(shè) ，因為 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 構(gòu)造 ，得 ， 則 在 上是增函數(shù)， 所以 ，即 的最小值為 請考生在 22、 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 . 22. 選修 4標系與參數(shù)方程 已知曲線 ： （參數(shù) ），以坐標原點 為極點， 軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 的極坐標方程為 ，點 的極坐標為 （ 1）將曲線 的極坐標方程化為直角坐標方程，并求出點 的直角坐標； （ 2）設(shè) 為曲線 上的點，求 中點 到曲線 上的點的距離的最小值 【答案】 （ 1）曲線 的直角坐標方程為 ，點 的直角坐標為 （ 2） 【解析】 試題分析：（ 1）根據(jù)公式 ，代入得到曲線 的直角坐標方程， ，同樣根據(jù)轉(zhuǎn)化公式，得到點 的直角坐標；（ 2）將兩點連線的最小值轉(zhuǎn)化為點 到直線 的距離，所以根據(jù)參數(shù)方程和中點坐標公式得到點 的坐標，代入點到直線的距離公式，根據(jù)三角函數(shù)的有界性求距離的最小值 . 試題解析： （ 1） ，得 ， 故曲線 的直角坐標方程為 ，