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2017 年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科) 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有且只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求 1若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足( 3+4i) z=25,則復(fù)平面內(nèi)表示 z 的點(diǎn)位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A=x|x 0, ,則( ) A A B= B A B=R C B A D A B 3若函數(shù) ,則 f( f( 2) =( ) A 1 B 4 C 0 D 5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則其 體積為( ) A +2 B 2+4 C +4 D 2+2 5在 , B=90, , ,則 =( ) A 1 B 1 C D 4 6設(shè)等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 4, ,則 ) A 1 B 0 C 2 D 4 7已知雙曲線(xiàn) 的右頂點(diǎn)為 A,過(guò)右焦點(diǎn) F 的直線(xiàn) l 與 C 的一條漸近線(xiàn)平行,交另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn) B,則 S ) A B C D 8二項(xiàng)式( x a) 7 的展開(kāi)式中,含 的系數(shù)為 280,則 ) A C 1 D 9一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法可以設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖,若輸入的 n 為 6 時(shí),輸出結(jié)果為 m 可以是( ) A 0已知 0,將函數(shù) f( x) =圖象向右平移 個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象,則 的最小值是( ) A B 3 C D 11在一次比賽中某隊(duì)共有甲,乙,丙等 5 位選手參加,賽前用抽簽的方法決定出場(chǎng)的順序,則乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)的概率是( ) A B C D 12已知 a b 0, ab=如下四個(gè)結(jié)論: b e; b e; a, b 滿(mǎn)足 ab ab 則正確結(jié)論的序號(hào)是( ) A B C D 二、填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分,把答案填寫(xiě)在題中橫線(xiàn)上 13若變量 x, y 滿(mǎn)足約束條件 ,則 z=x+y 的最小值是 14設(shè)數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 ,若 2,則 15已知拋物線(xiàn) C: p 0)的焦點(diǎn)為 F, ,拋物線(xiàn) C 上的點(diǎn) B 滿(mǎn)足 |4,則 p= 16在三棱錐 P , 兩互相垂直,且 , ,則取值范圍是 三、解答題:本大題共 70 分,其中 17為必考題, 22、 23 題為選考題,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟 17( 12 分)已知 內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c, a2+ ( 1)若 , ,求 ( 2)若 =4, 上的高為 ,求 C 18( 12 分)某市春節(jié)期間 7 家超市的廣告費(fèi)支出 元)和銷(xiāo)售額 元)數(shù)據(jù)如下: 超市 A B C D E F G 廣告費(fèi)支出 2 4 6 11 13 19 銷(xiāo)售額 9 32 40 44 52 53 54 ( 1)若用線(xiàn)性回歸模型擬合 y 與 x 的關(guān)系,求 y 關(guān)于 x 的線(xiàn)性回歸方程; ( 2)用對(duì)數(shù)回歸模型擬合 y 與 x 的關(guān)系,可得回歸方程: , 經(jīng)計(jì)算得出線(xiàn)性回歸模型和對(duì)數(shù)模型的 別約為 用 明選擇哪個(gè)回歸模型更合適,并用此模型預(yù)測(cè) A 超市廣告費(fèi)支出為 8 萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額 參 數(shù) 數(shù) 據(jù) 及 公 式 : , , 19( 12 分)如圖,三棱柱 , 平面 0,B=2, M、 N 分別是 中點(diǎn) ( 1)求證: 平面 ( 2)若平面 平面 直線(xiàn) 平面 成角的正弦值 20( 12 分)已知橢圓 的離心率為 ,點(diǎn)在橢圓上, O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ( 1)求橢圓 C 的方程; ( 2)已知點(diǎn) P, M, N 為橢圓 C 上的三點(diǎn),若四邊形 平行四邊形,證明四邊形 面積 S 為定值,并求該定值 21( 12 分)已知函數(shù) f( x) =2x ( 1)證明:函數(shù) f( x)在 ( , )上單調(diào)遞增; ( 2)若 x ( 0, ), f( x) m 的取值范圍 請(qǐng)考生在 22、 23 兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分 . 22( 10 分)已知直線(xiàn) l 的參數(shù)方程為 ( t 為參數(shù), 0 ),以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn), x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn) C 的極坐標(biāo)方程為 =1, l 與 C 交于不同的兩點(diǎn) ( 1)求 的取值范圍; ( 2)以 為參數(shù),求線(xiàn)段 點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程 23已知 x, y ( 0, + ), x2+y2=x+y ( 1)求 的最小值; ( 2)是否存在 x, y,滿(mǎn)足( x+1)( y+1) =5?并說(shuō)明理由 2017 年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有且只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求 1若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足( 3+4i) z=25,則復(fù)平面內(nèi)表示 z 的點(diǎn)位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出 【解答】 解:( 3+4i) z=25, ( 3 4i)( 3+4i) z=25( 3 4i), z=3 4i 則復(fù)平面內(nèi)表示 z 的點(diǎn)( 3, 4)位于第四象限 故選: D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題 2已知集合 A=x|x 0, ,則( ) A A B= B A B=R C B A D A B 【考點(diǎn)】 集合的表示法 【分析】 先分別求出集合 A 和 B,由此得到 A B=R 【解答】 解: 集合 A=x|x 0=x|x 1 或 x 0, , A B=x| 或 1 x , A B=R 故選: B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查并集、交集的求法及應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意并集、交集定義的合理運(yùn)用 3若函數(shù) ,則 f( f( 2) =( ) A 1 B 4 C 0 D 5 考點(diǎn)】 函數(shù)的值 【分析】 由函數(shù)的解析式先求出 f( 2)的值,再求出 f( f( 2)的值 【解答】 解:由題意知, , 則 f( 2) =5 4=1, f( 1) =, 所以 f( f( 2) =1, 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值,對(duì)于多層函數(shù)值應(yīng)從內(nèi)到外依次求值,注意自變量的范圍,屬于基礎(chǔ)題 4一個(gè)幾何體的三視圖如 圖所示,則其體積為( ) A +2 B 2+4 C +4 D 2+2 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可得,直觀圖是直三棱柱與半圓柱的組合體,由圖中數(shù)據(jù),可得體積 【解答】 解:由三視圖可得,直觀圖是直三棱柱與半圓柱的組合體,體積為+ =+2, 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查由三視圖求體積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,確定直觀圖的形狀是關(guān)鍵 5在 , B=90, , ,則 =( ) A 1 B 1 C D 4 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 根據(jù)平面向 量的三角形法則求出 ,再由 得出 =0,列出方程求出 的值 【解答】 解: , , , = =( 2, +2), 又 B=90, , =0, 即 2 2( +2) =0, 解得 = 1 故選: A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目 6設(shè)等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 4, ,則 ) A 1 B 0 C 2 D 4 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 利用等差數(shù)列的求和公式即可得出 【解答】 解:設(shè)等差 數(shù)列 公差為 d, 4, , d=4, d=6, 解得 4, d=2 則 ( 4) + 2=0, 故選: B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題 7已知雙曲線(xiàn) 的右頂點(diǎn)為 A,過(guò)右焦點(diǎn) F 的直線(xiàn) l 與 C 的一條漸近線(xiàn)平行,交另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn) B,則 S ) A B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)題意,由雙曲線(xiàn)的方程可得 a、 b 的值,進(jìn)而可得 c 的值,可以確定 A、 F 的坐標(biāo),設(shè) 方程為 y= ( x 2),代入 y= x,解得 B 的坐標(biāo),由三角形的面積公式,計(jì)算可得答案 【解答】 解:由雙曲線(xiàn) , 可得 , ,故 c= =2, A( 1, 0), F( 2, 0),漸近線(xiàn)方程為 y= x, 不妨設(shè) 方程為 y= ( x 2), 代入方程 y= x,解得: B( 1, ) S | 1 = 故選: B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線(xiàn)方程的運(yùn)用,注意運(yùn)用漸近線(xiàn)方程,關(guān)鍵求出 B 的坐標(biāo);解此類(lèi)面積的題目時(shí),注意要使三角形的底或高與坐標(biāo)軸平行或重合,以簡(jiǎn)化計(jì)算 8二項(xiàng) 式( x a) 7 的展開(kāi)式中,含 的系數(shù)為 280,則 ) A C 1 D 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 在( x a) 7 的展開(kāi)式的通項(xiàng)中,令 x 的指數(shù)為 4,求出 r 值,再表示出的系數(shù),解關(guān)于 a 的方程即可求出 a,利用定積分可得結(jié)論 【解答】 解:( x a) 7 的展開(kāi)式的通項(xiàng)為( 1) r a r r, 令 7 r=4 得 r=3, 展開(kāi)式中 的系數(shù)( 1) 3 35 280, a=2, dx=1 故選: C 【點(diǎn)評(píng) 】 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,解決指定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題牢記定理是前提,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵 9一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法可以設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖,若輸入的 n 為 6 時(shí),輸出結(jié)果為 m 可以是( ) A 考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 根據(jù)已知中的流程圖,我們模擬程序的運(yùn)行,可得: |3| m,且| m,解得 m 的取值范圍,比較各個(gè)選項(xiàng)即可得解 【解答】 解:模擬程序的運(yùn)行,可得 n=6, a=3 b= 不滿(mǎn)足條件 |b a| m,執(zhí)行循環(huán)體, a=b= 由題意,此時(shí)應(yīng)該滿(mǎn)足條件 |b a| m,退出循環(huán),輸出 b 的值為 可得: |3| m,且 | m, 解得: m 故選: B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖,模擬循環(huán)的執(zhí)行過(guò)程是解答此類(lèi)問(wèn)題常用的辦法,屬于基礎(chǔ)題 10已知 0,將函數(shù) f( x) =圖象向右平移 個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象,則 的最小值是( ) A B 3 C D 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+)的圖 象變換 【分析】 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)和同名函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)平移變換規(guī)律,建立關(guān)系即可求 的最小值 【解答】 解:由函數(shù) f( x) =x )圖象向右平移 個(gè)單位后得到: ), 由題意可得: ,( k Z) 解得: , 0, 當(dāng) k=0 時(shí), 的值最小值為 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查函數(shù) y=x+)的圖象變換規(guī)律,屬于基礎(chǔ)題 11在一次比賽中某隊(duì)共有甲,乙,丙等 5 位選手參加,賽前用抽簽的方法決定出場(chǎng)的順序,則乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)的概率是( ) A B C D 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 先求出基本事件總數(shù) n= =120,再求出乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)包含的基本事件個(gè)數(shù) m= + + =36,由此能求出乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)的概率 【解答】 解:在一次比賽中某隊(duì)共有甲,乙,丙等 5 位選手參加, 賽前用抽簽的方法決定出場(chǎng)的順序, 基本事件總數(shù) n= =120, 乙 、 丙 都 不 與 甲 相 鄰 出 場(chǎng) 包 含 的 基 本 事 件 個(gè) 數(shù)m= + + =36, 乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)的概率 p= = 故選: D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查概率的求法,是中檔題,解題時(shí) 要認(rèn)真審題,注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用 12已知 a b 0, ab=如下四個(gè)結(jié)論: b e; b e; a, b 滿(mǎn)足 ab ab 則正確結(jié)論的序號(hào)是( ) A B C D 【考點(diǎn)】 有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值 【分析】 根據(jù)題意,得出 = , f( x) = , x 0,利用導(dǎo)數(shù)判斷 0 xe 時(shí) f( x)增, x e 時(shí) f( x)減; x=e 時(shí) f( x)取得最大值;根據(jù) f( a) =f( b)得出 a e b,判斷 正確 錯(cuò)誤; 由 e b 得出 f( b) f( )且 f( a) f( ),即 斷 正確 錯(cuò)誤 【解答】 解: a b 0, ab= = , 設(shè) f( x) = , x 0, f( x) = , 當(dāng) 0 x e 時(shí), f( x) 0,函數(shù) f( x)單調(diào)遞增, 當(dāng) x e 時(shí), f( x) 0,函數(shù) f( x)單調(diào)遞減, 當(dāng) x=e 時(shí), f( x) f( e) = ; f( a) =f( b), a e b 0, 正確, 錯(cuò)誤; e b, f( b) f( ), f( a) f( ), a e, 正確, 錯(cuò)誤; 綜上,正確的命題是 故選: C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了利用構(gòu)造函數(shù)的方法判斷數(shù)值大小的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合性題目 二、填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分,把答案填寫(xiě)在題中橫線(xiàn)上 13若變量 x, y 滿(mǎn)足約束條件 ,則 z=x+y 的最小值是 2 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合定點(diǎn)最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解:由約束條件 作出可行域如圖, 聯(lián)立 ,得 A( 1, 1), 化目標(biāo)函數(shù) z=x+y 為 y= x+z, 由圖可知,當(dāng)直線(xiàn) y= x+z 過(guò)點(diǎn) A 時(shí),直線(xiàn)在 y 軸上的截距最小, z 有最小值為 1 1= 2 故答案為: 2 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題 14設(shè)數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 ,若 2,則 【考點(diǎn)】 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法 【分析】 利用 , 2,可得 =32,即可得出結(jié)論 【解答】 解: , 2, =32, , 故答案為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查學(xué)生的計(jì)算 能力,比較基礎(chǔ) 15已知拋物線(xiàn) C: p 0)的焦點(diǎn)為 F, ,拋物線(xiàn) C 上的點(diǎn) B 滿(mǎn)足 |4,則 p= 2 或 6 【考點(diǎn)】 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 求出直線(xiàn) 方程,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,求出 B 的橫坐標(biāo),利用拋物線(xiàn)的定義,即可得出結(jié)論 【解答】 解:由題意, , 直線(xiàn) 方程為 y= x+ , 代入 得 126=0, x= , |4, + =4, p=2 或 6, 故答案為 2 或 6 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查拋物線(xiàn)的定義,考查直線(xiàn)與 拋物線(xiàn)位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于中檔題 16在三棱錐 P , 兩互相垂直,且 , ,則取值范圍是 ( 1, ) 【考點(diǎn)】 點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算 【分析】 如圖設(shè) 長(zhǎng)分別為 a、 b、 c, BC=m由 兩互相垂直,得 a2+6, a2+5, b2+c2=m21 2 1 m 【解答】 解:如圖設(shè) 長(zhǎng)分別為 a、 b、 c, BC=m a2+6, a2+5, b2+c2=m21 2 , 1 m 故答案為( 1, ) 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了空間位置關(guān)系,關(guān)鍵是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,屬于中檔題 三、解答題:本大題共 70 分,其中 17為必考題, 22、 23 題為選考題,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟 17( 12 分)( 2017唐山一模)已知 內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a,b, c, a2+ ( 1)若 , ,求 ( 2)若 =4, 上的高為 ,求 C 【考點(diǎn)】 余弦定 理;正弦定理 【分析】 ( 1)由已知結(jié)合正弦定理得: ,結(jié)合范圍可求,即可得解 值 ( 2)由題意及三角形面積公式可求 ,由余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得 ,結(jié)合范圍 ,可求C 的值 【解答】 解:( 1 )由已知 , ,結(jié)合正弦定理得:, 于是 因?yàn)?, 所以 , 可得 ( 2 ) 由 題 意 可 知 ,得: 從而有: ,即 , 又因?yàn)?, 所以, 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了正弦定理,三角形面積公式,余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題 18( 12 分)( 2017唐山一模)某市春節(jié)期間 7 家超市的廣告費(fèi)支出 元)和銷(xiāo)售額 元)數(shù)據(jù)如下: 超市 A B C D E F G 廣告費(fèi)支出 2 4 6 11 13 19 銷(xiāo)售額 9 32 40 44 52 53 54 ( 1)若用線(xiàn)性回歸模型擬合 y 與 x 的關(guān)系,求 y 關(guān)于 x 的線(xiàn)性回歸方程; ( 2)用對(duì)數(shù)回歸模型擬合 y 與 x 的關(guān)系,可得回歸方程: , 經(jīng)計(jì)算得出線(xiàn)性回歸模型和對(duì)數(shù)模型的 別約為 用 明選擇哪個(gè)回歸模型更合適,并用此模 型預(yù)測(cè) A 超市廣告費(fèi)支出為 8 萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額 參 數(shù) 數(shù) 據(jù) 及 公 式 : , , 【考點(diǎn)】 線(xiàn)性回歸方程 【分析】 ( 1)求出回歸系數(shù),可得 y 關(guān)于 x 的線(xiàn)性回歸方程; ( 2)對(duì)數(shù)回歸模型更合適當(dāng) x=8 萬(wàn)元時(shí),預(yù)測(cè) A 超市銷(xiāo)售額為 元 【解答】 解:( 1) , 所以, y 關(guān)于 x 的線(xiàn)性回歸方程是 ( 2) 對(duì)數(shù)回歸模型更合適 當(dāng) x=8 萬(wàn)元時(shí),預(yù)測(cè) A 超市銷(xiāo)售額為 元 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查線(xiàn)性回歸方程,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ) 19( 12 分)( 2017唐山一模 )如圖,三棱柱 , 平面 0, B=2, M、 N 分別是 中點(diǎn) ( 1)求證: 平面 ( 2)若平面 平面 直線(xiàn) 平面 成角的正弦值 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)與平面所成的角;直線(xiàn)與平面平行的判定 【分析】 ( 1)連接 N N 為 中點(diǎn),證明: 可證明 平面 ( 2)以 C 為原點(diǎn),分別以 在直線(xiàn)為 x 軸, y 軸, z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,求出平面 可求直線(xiàn) 平面 成角的正弦值 【解答】 ( 1)證明:連接 N N 為 中點(diǎn), 又 M 為 中點(diǎn), 又 平面 面 故 平面 ( 4 分) ( 2)解:由 平面 以 C 為原點(diǎn),分別以 在直線(xiàn)為 x 軸, y 軸, z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè) ( 0), 則 M( 1, 0, 1), N( 0, , 1), 2, 2, 0), , =(1, , 0), 取平面 一個(gè)法向量為 , 由 , 得: ,令 y=1,得 , 同理可得平面 一個(gè)法向量為 , 平面 平面 , 解得 ,得 ,又 , 設(shè)直線(xiàn) 1,則 所以,直線(xiàn) 平面 成角的正弦值是 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查線(xiàn)面平行的證明,考查線(xiàn)面角,考查向量方法的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題 20( 12 分)( 2017唐山一模)已知橢圓 的離心率為 ,點(diǎn) 在橢圓上, O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ( 1)求橢 圓 C 的方程; ( 2)已知點(diǎn) P, M, N 為橢圓 C 上的三點(diǎn),若四邊形 平行四邊形,證明四邊形 面積 S 為定值,并求該定值 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系 【分析】 ( 1)由橢圓的離心率得出 a、 c 的關(guān)系,再由 a、 b、 c 的平方關(guān)系, 把點(diǎn) Q 的坐標(biāo)代入橢圓 C 的方程,求出 b、 a 的值,寫(xiě)出橢圓 C 的方程; ( 2)討論直線(xiàn) 斜率 k 不存在和斜率 k 存在時(shí),分別計(jì)算四邊形 面積 S, 即可得出四邊形 面積為定值 【解答】 解:( 1)由橢圓 的離心率為 , 得 , = , 將 Q 代入橢圓 C 的方程,得 + =1, 解得 , , 橢圓 C 的方程為 ; ( 2)當(dāng)直線(xiàn) 斜率 k 不存在時(shí), 程為: 或 , 從而有 , 所以四邊形 面積為 ; 當(dāng)直線(xiàn) 斜率 k 存在時(shí), 設(shè)直線(xiàn) 程為: y=kx+m( m 0), P( N( 將 方程代入 C 整理得:( 1+28=0, 所以 , , , 由 得: , 將 M 點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓 C 方程得: +2 點(diǎn) O 到直線(xiàn) 距離為 , , 四邊形 面積為 綜上,平行四邊形 面積 S 為定值 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用問(wèn)題,也考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化法與方程組以及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合性題目 21( 12 分)( 2017唐山一模)已知函數(shù) f( x) =2x ( 1)證明:函數(shù) f( x)在( , )上單調(diào)遞增; ( 2)若 x ( 0, ), f( x) m 的取值范圍 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【分析】 ( 1)利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)證明即可 ( 2)利用導(dǎo)函數(shù)求解 x ( 0, ),對(duì) m 進(jìn)行討論,構(gòu)造函數(shù)思想,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,求解 m 的取值范圍 【解答】 解:( )函數(shù) f( x) =2x 則 , , ( 0, 1,于是 (等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)成立) 故函數(shù) f( x)在 上單調(diào)遞增 ( )由( )得 f( x)在 上單調(diào)遞增,又 f( 0) =0, f( x) 0, ( )當(dāng) m 0 時(shí), f( x) 0 立 ( )當(dāng) m 0 時(shí), 令 p( x) =x,則 p( x) =1, 當(dāng) 時(shí), p( x) 0, p( x)單調(diào)遞減,又 p( 0) =0,所以 p( x) 0, 故 時(shí), x( *) 由( *)式可得 f( x) 2x x 令 g( x) =x g( x) =2( *)式可得 , 令 h( x) =x 2 h( x)在 上單調(diào)遞增, 又 h( 0) 0, , 存在 使得 h( t) =0,即 x ( 0, t)時(shí), h( x) 0, x ( 0, t)時(shí), g( x) 0, g( x)單調(diào)遞減, 又 g( 0) =0, g( x) 0, 即 x ( 0, t)時(shí), f( x) 0,與 f( x) 盾 綜上 ,滿(mǎn)足條件的 m 的取值范圍是( , 0 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決三角函數(shù)
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