2017年湖南省永州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）含答案解析

2017 年湖南省永州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知集合 A= 1， 1， 4， B=y|y=x|+1， x A，則 A B=（ ） A 1， 1， 3， 4 B 1， 1， 3 C 1， 3 D 1 2已知 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z 滿足（ 1+i） z=（ 1 i） 2，則 |z|為（ ） A B 1 C D 3已知 ， 均為單位向量，它們的夾角為 ，則 | + |=（ ） A 1 B C D 2 4四個(gè)大學(xué)生分到兩個(gè)單位，每個(gè)單位至少分一個(gè)的分配方案有（ ） A 10 種 B 14 種 C 20 種 D 24 種 5閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（ ） A 3 B C D 6在等差數(shù)列 ， 2a7=，則數(shù)列 前 9 項(xiàng)和 ） A 21 B 35 C 63 D 126 7設(shè) 雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn) P 在雙曲線上，且 0， |2，則 b=（ ） A 1 B 2 C D 8在四棱錐 P ，底面 正方形， 底面 B，E， F， H 分別是棱 中點(diǎn)，且過 E， F， H 的平面截四棱錐 P 則四棱錐 P 體積為（ ） A B 8 C D 9有四人在海邊沙灘上發(fā)現(xiàn) 10 顆精致的珍珠，四人約定分配方案：四人先抽簽排序 ，再由 號(hào)提出分配方案，四人表決，至少要有半數(shù)的贊成票才算通過，若通過就按此方案分配，否則提出方案的 號(hào)淘汰，不再參與分配，接下來由 號(hào)提出分配方案，三人表決 ，依此類推 假設(shè)： 1四人都守信用，愿賭服輸； 2提出分配方案的人一定會(huì)贊成自己的方案； 3四人都會(huì)最大限度爭取個(gè)人利益易知若 都淘汰，則 號(hào)的最佳分配方案（能通過且對提出方案者最有利）是（ 10， 0）（表示 、 號(hào)分配珍珠數(shù)分別是 10 和 0）問 號(hào)的最佳分配方案是（ ） A（ 4， 2， 2， 2） B（ 9， 0， 1， 0） C（ 8， 0， 1， 1） D（ 7， 0， 1， 2） 10某幾何體的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（ ） A 12 B 16 C 20 D 24 11已知數(shù)列 n的前 n 項(xiàng)和 n（ n） 6，若數(shù)列 調(diào)遞減，則 的取值范圍是（ ） A（ ， 2） B（ ， 3） C（ ， 4） D（ ， 5） 12如圖是 f（ x） = x+）（ 0）的部分圖象，下列說法錯(cuò)誤的是（ ） A函數(shù) f（ x）的最小正周期是 B函數(shù) g（ x） = x 的圖象可由函數(shù) f（ x）的圖象向右平移 個(gè)單位得到 C函數(shù) f（ x）圖象的一個(gè)對稱中心是（ ， 0） D函數(shù) f（ x）的一個(gè)遞減區(qū)間是（ 5， ） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13 的展開式中各項(xiàng)系數(shù) 的和為 256，則該展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 14已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 x+3y 的最大值為 15 圓 C： y 1） 2=1 的直徑， P 是橢圓 E： 上的一點(diǎn)，則的取值范圍是 16已知 f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） =f（ x） t 有三個(gè)不同的零點(diǎn)則 的取值范圍是 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17（ 12 分）在 ，角 A、 B、 C 所對的邊分別是 a、 b、 c，已知且 c b （ ）求角 C 的大??； （ ）若 b=4，延長 D，使 D，且 ，求 面積 18（ 12 分）已知三棱柱 ， C=，側(cè)面 面 D 是 中點(diǎn)， 20o， （ ）求證： 面 （ ）求二面角 C 的余弦值 19（ 12 分）某商場計(jì)劃銷售某種產(chǎn)品，現(xiàn)邀請生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩個(gè)廠家進(jìn)場試銷 10 天兩個(gè)廠家提供的返利方案如下：甲廠家每天固定返利 70 元，且每賣出一件產(chǎn)品廠家再返利 2 元；乙廠家無固定返利，賣出 40 件以內(nèi)（含 40件）的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品廠家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元經(jīng)統(tǒng)計(jì)，兩個(gè)廠家的試銷情況莖葉圖如下： 甲 乙 8 9 9 8 9 9 3 8 9 9 2 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0 （ ）現(xiàn)從甲廠家試銷的 10 天中抽取兩天，求這兩天的銷售量都大于 40 的概率； （ ）若將頻率視作概率，回答以下問題： （ ）記乙廠家的日返利額為 X（單位：元），求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ ）商場擬在甲、乙兩個(gè)廠家中選擇一家長期銷售，如果僅從日返利額的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì) 學(xué)知識(shí)為商場作出選擇，并說明理由 20（ 12 分）如圖拋物線 C： x 的弦 中點(diǎn) P（ 2， t）（ t 0），過點(diǎn) B 垂直的直線 l 與拋物線交于 C、 D，與 x 軸交于 Q （ ）求點(diǎn) Q 的坐標(biāo)； （ ）當(dāng)以 直徑的圓過 A， B 時(shí)，求直線 l 的方程 21（ 12 分）已知函數(shù) ， ，其中 a 1 （ ） f（ x）在（ 0， 2）上的值域?yàn)椋?s， t），求 a 的取值范圍； （ ）若 a 3，對于區(qū)間 2， 3上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 有 |f（ f（ | |g（ g（ |成立，求實(shí)數(shù) a 的 取值范圍 請考生在 22、 23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 .選修4標(biāo)系與參數(shù)方程 （共 1 小題，滿分 10 分） 22 （ 10 分）在直角坐標(biāo)系 ，曲線 C 的參數(shù)方程為：，以 O 為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 （ ）求曲線 C 的極坐標(biāo)方程； （ ）已知直線 ，射線 與曲線 ， 直線 交點(diǎn)為 Q，求線段 長 選修 4等式選講 （共 1 小題，滿分 0 分） 23已知函數(shù) f（ x） =|1| （ ）若 f（ x） 3 的解集為 2， 1， 求實(shí)數(shù) k 的值； （ ）當(dāng) k=1 時(shí)，若對任意 x R，不等式 f（ x+2） f（ 2x+1） 3 2m 都成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 2017 年湖南省永州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知集合 A= 1， 1， 4， B=y|y=x|+1， x A，則 A B=（ ） A 1， 1， 3， 4 B 1， 1， 3 C 1， 3 D 1 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 分別讓 x 取 1， 1， 4，然后求出對應(yīng)的 y，從而得出集合 B，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可 【解答】 解： x= 1，或 1 時(shí)， y=1； x=4 時(shí)， y=3； B=1， 3； A B=1 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 考查列舉法、描述法表示集合的概念，元素與集合的關(guān)系，對數(shù)式的運(yùn)算，以及交集的運(yùn)算 2已知 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z 滿足（ 1+i） z=（ 1 i） 2，則 |z|為（ ） A B 1 C D 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計(jì)算公式即可得出 【解答】 解：（ 1+i） z=（ 1 i） 2， （ 1 i）（ 1+i） z= 2i（ 1 i）， 2z= 2 2i，即 z=1 i 則 |z|= = 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 3已知 ， 均為單位向量，它們的夾角為 ，則 | + |=（ ） A 1 B C D 2 【考點(diǎn)】 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；向量的幾何表示 【分析】 根據(jù) | + |2= ，而 ， 均為單位向量，它們的夾角為 ，再結(jié)合向量數(shù)量積的公式可得答案 【解答】 解：由題 意可得： | + |2= ， ， 均為單位向量，它們的夾角為 ， | + |2= =1+1+2 1 1 3， | + |= ， 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查向量模的計(jì)算公式與向量數(shù)量積的公式，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練記憶公式并且細(xì)心認(rèn)真的運(yùn)算即可得到全分屬于基礎(chǔ)題 4四個(gè)大學(xué)生分到兩個(gè)單位，每個(gè)單位至少分一個(gè)的分配方案有（ ） A 10 種 B 14 種 C 20 種 D 24 種 【考點(diǎn)】 排列、組合的實(shí)際應(yīng)用 【分析】 根據(jù)題意，假設(shè) 2 個(gè)單位為甲單位和乙單位，按照分配在甲單位的人數(shù)分 3 種情況討論：即 、甲單位 1 人而乙單位 3 人， 、甲乙單位各 2 人， 、甲單位 3 人而乙單位 1 人，由組合數(shù)公式求出每一種情況的分配方法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案 【解答】 解：根據(jù)題意，假設(shè) 2 個(gè)單位為甲單位和乙單位，分 3 種情況討論： 、甲單位 1 人而乙單位 3 人，在 4 人中任選 1 個(gè)安排在甲單位，剩余 3 人安排在甲乙單位即可，有 種安排方法； 、甲乙單位各 2 人，在 4 人中任選 2 個(gè)安排在甲單位，剩余 2 人安排在甲乙單位即可，有 種安排方法； 、甲單位 3 人而乙單位 1 人，在 4 人中任選 3 個(gè)安排在甲單位，剩余 1 人安排在甲乙單位即可，有 種安排方法； 則一共有 4+6+4=14 種分配方案； 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意根據(jù)題意進(jìn)行分類討論時(shí)，一定要做到不重不漏 5閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（ ） A 3 B C D 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計(jì)算 S 值并輸出，模擬程序的運(yùn)行過程，即可得到答案 【解答】 解：程序在運(yùn)行過程中各變量的值如下表示： x y z 是否繼續(xù)循環(huán) 循環(huán)前 1 1 0 第一圈 1 3 7 是 第二圈 3 7 17 否 則輸出的結(jié)果為 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，在寫程序的運(yùn)行結(jié)果時(shí)，模擬程序的運(yùn)行過程是解答此類問題最常用的辦法 6在等差數(shù)列 ， 2a7=，則數(shù)列 前 9 項(xiàng)和 ） A 21 B 35 C 63 D 126 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 由已知得 d=，從而利用 數(shù)列 前 9項(xiàng)和 ，能求出結(jié)果 【解答】 解： 在等差數(shù)列 ， 2a7=， 2（ d） =d+7， d=， 數(shù)列 前 9 項(xiàng)和 =63 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查等差數(shù)列的前 9 項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用 7設(shè) 雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn) P 在雙曲線上，且 0， |2，則 b=（ ） A 1 B 2 C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【 分析】 設(shè) |m， |n，則 ， m2+|m n|=2a，由此，即可求出 b 【解答】 解：設(shè) |m， |n，則 ， m2+|m n|=2a， 44， b2=， b=1， 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查勾股定理的運(yùn)用，屬于中檔題 8在四棱錐 P ，底面 正方形， 底面 B，E， F， H 分別是棱 中點(diǎn)，且過 E， F， H 的平面截四棱錐 P 則四棱錐 P 體積為（ ） A B 8 C D 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【分析】 取 點(diǎn) M，連結(jié) 導(dǎo)出平面 過 E， F， H 的平面截四棱錐 P 得 截 面 ， 設(shè) B=a ，則 S 梯形= ，求出 a=2，由此能求出四棱錐 P 體積 【解答】 解：取 點(diǎn) M，連結(jié) 在四棱錐 P ，底面 正方形， 底面 B， E， F， H 分別是棱 中點(diǎn)， 平面 過 E， F， H 的平面截四棱錐 P 得截面， 設(shè) B=a， 過 E， F， H 的平面截四棱錐 P 得截面面積為 ， S 梯形 = = ， 解得 a=2， 四棱錐 P 體積 V= = = 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查柱、錐、臺(tái)體的體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力，是中檔題 9有四人在海邊沙灘上發(fā)現(xiàn) 10 顆精致的珍珠，四人約定分配方案：四人先抽簽排序 ，再由 號(hào)提出分配方案，四人表決，至少要有半數(shù)的贊成 票才算通過，若通過就按此方案分配，否則提出方案的 號(hào)淘汰，不再參與分配，接下來由 號(hào)提出分配方案，三人表決 ，依此類推假設(shè)： 1四人都守信用，愿賭服輸； 2提出分配方案的人一定會(huì)贊成自己的方案； 3四人都會(huì)最大限度爭取個(gè)人利益易知若 都淘汰，則 號(hào)的最佳分配方案（能通過且對提出方案者最有利）是（ 10， 0）（表示 、 號(hào)分配珍珠數(shù)分別是 10 和 0）問 號(hào)的最佳分配方案是（ ） A（ 4， 2， 2， 2） B（ 9， 0， 1， 0） C（ 8， 0， 1， 1） D（ 7， 0， 1， 2） 【考點(diǎn)】 進(jìn)行簡單的合情推理 【分析】 若 都淘汰，則 號(hào)的最佳分配方案（能通過且對提出方案者最有利）是（ 10， 0）（表示 、 號(hào)分配珍珠數(shù)分別是 10 和 0），可得結(jié)論 【解答】 解：根據(jù)若 都淘汰，則 號(hào)的最佳分配方案（能通過且對提出方案者最有利）是（ 10， 0）（表示 、 號(hào)分配珍珠數(shù)分別是 10 和 0），可知 號(hào)的最佳分配方案是（ 9， 0， 1， 0）， 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查合情推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題 10某幾何體的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（ ） A 12 B 16 C 20 D 24 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由已知中的三視圖可得：該幾何底是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，求出其外接球的半徑，進(jìn)而可得答案 【解答】 解：由已知中的三視圖可得：該幾何底是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐， 底面兩直角邊長分別為 2， 2 ， 故斜邊長為 2 ， 過斜邊的側(cè)面與底面垂直，且為高為 3 的等腰三角形， 設(shè)其外接球的半徑為 R， 則 ， 解得： R=2， 故它的外接球表面積 S=46， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積和體積，球內(nèi)接多面體，空間幾何體的三視圖，難度中檔 11已知數(shù)列 n的前 n 項(xiàng)和 n（ n） 6，若數(shù)列 調(diào)遞減，則 的取值范圍是（ ） A（ ， 2） B（ ， 3） C（ ， 4） D（ ， 5） 【考點(diǎn)】 數(shù)列的函數(shù)特性 【分析】 由已知求出 用為單調(diào)遞減數(shù)列，可得 ，化簡解出即可得出 【解答】 解： n（ n） 6， 1=3n 1（ n+1） 6， n 1， 得數(shù)列 n 1（ 2 2n 1）（ n 1， n N*）為單調(diào)遞減數(shù)列， ，且 3n 1（ 2 2n 1） 3n（ 2 2n 3），且 2 化為 n+ ，（ n 1），且 2， 2， 的取值范圍是（ ， 2） 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力 12如圖是 f（ x） = x+）（ 0）的部分圖象，下列說法錯(cuò)誤的是（ ） A函數(shù) f（ x）的最小正周期是 B函數(shù) g（ x） = x 的圖象可由函數(shù) f（ x）的圖象向右平移 個(gè)單位得到 C函數(shù) f（ x）圖象的一個(gè)對稱中心是（ ， 0） D函數(shù) f（ x）的一個(gè)遞減區(qū)間是（ 5， ） 【考點(diǎn)】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 根據(jù)圖象過（ 0， 1），（ 2， 0）求出 和 ，即可求函數(shù) f（ x）的解析式；根據(jù)函數(shù)解析式之間的關(guān)系判斷各選項(xiàng)即可得結(jié)論 【解答】 解：根據(jù)圖象可知， f（ x） = x+）（ 0）的圖象過（ 0，1），（ 2， 0） 可得： f（ 0） = ） =1，解得： = +2= +2 k Z） f（ 2） = 2+ ） =0，解得 = += + 當(dāng) k= 1 時(shí)， |為： ，周期 T= = 故 A 對此時(shí)可得 f（ x） = ） 函數(shù) g （ x ） = x 的圖象圖象向右平移 個(gè)單位可得：= ）故 B 對 當(dāng) x= 時(shí)，函數(shù) f（ ） = ） = =1，故 由 f（ x） = ） = ） 令 0+2） +2 可得： ，（ k Z） 當(dāng) k=2 時(shí)，可得 是單調(diào)遞減故 D 對 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 256，則該展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 6 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 由題意可得：令 x=1，則（ 5 1） m=256，解得 m=4該展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 【解答】 解：由題意可得：令 x=1，則（ 5 1） m=256，解得 m=4 該展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 =6 故答案為： 6 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 14已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 x+3y 的最大值為 10 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等 式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求 【解答】 解：作出不等式組 對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）由 z=x+3y 得 y= x+ z， 平移直線 y= x+ z， 由圖象可知當(dāng)直線 y= x+ z 經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)，直線 y= x+ z 的截距最大， 此時(shí) z 最大 由 ，解得 B（ 1， 3）， 代入目標(biāo)函數(shù) z=x+3y 得 z=1+3 3=10 故答案為： 10 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法 15 圓 C： y 1） 2=1 的直徑， P 是橢圓 E： 上的一點(diǎn)，則的取值范圍是 1， 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 由 ， ， 得 =（ ） （ = = = y 1） 2 1=x2+2y= 32y+4 再結(jié)合 y 的范圍即可求出結(jié)論 【解答】 解：設(shè) P（ x， y）， ， ， =（ ） （ = = = y 1） 2 1=x2+2y= 32y+4 y 1， 1， 32y+4 ， 的取值范圍是： 1， 故答案為： 1， 【 點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)，向量數(shù)量積的基本運(yùn)算技巧，選好基底是解決向量問題的基本技巧之一，及二次函數(shù)的值域問題，屬于中檔題， 16已知 f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） =f（ x） t 有三個(gè)不同的零點(diǎn)則 的取值范圍是 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 畫出函數(shù)的圖象，求出 x 0 時(shí) f（ x）的最大值，判斷零點(diǎn)的范圍，然后推出結(jié)果 【解答】 解：函數(shù) f（ x） = ，圖象如圖， 函數(shù) g（ x） =f（ x） t 有三個(gè)不同的零點(diǎn) 且 方程 f（ x） =t 有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） = ，因?yàn)?x+ 2（ x 0）， 所以 f（ x） ，當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)取得最大值 當(dāng) y= 時(shí)， 2； x2=， 此時(shí) = ， 由 =t（ 0 ），可得 =0， x2+， + = 2， =t+ 0 ， 的取值范圍是 故答案為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷與應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 三、解答題：解答應(yīng)寫出 文字說明，證明過程或演算步驟 17（ 12 分）（ 2017永州二模）在 ，角 A、 B、 C 所對的邊分別是 a、b、 c，已知 且 c b （ ）求角 C 的大小； （ ）若 b=4，延長 D，使 D，且 ，求 面積 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理化 ，即可求出 值，從而求出 C； （ ）根據(jù)圖形設(shè) BC=x，利用余弦定理求出 x 的值，再求出 值， 利用正弦定理求出 計(jì)算 面積 【解答】 解：（ ） ， ， 由正弦定理得， ， ， 又 c b， ； （ 6 分） （ ）如圖所示， 設(shè) BC=x，則 x， 在 ，由余弦定理得 ， 求得 ，即 ， 所以 ， （ 8 分） 在 ，由正弦定理得 ， ， （ 10 分） 面積為 = （ 12 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題 18（ 12 分）（ 2017永州二模）已知三棱柱 ， C=，側(cè)面 底面 D 是 中點(diǎn)， 20o， （ ）求證： 面 （ ）求二面角 C 的余弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ ）取 點(diǎn) O，連接 導(dǎo)出 而 面 而 求出 此能證明 面 （ ）以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 向?yàn)?x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 C 的余弦值 【解答】 （本小題滿分 12 分） 證明：（ ）取 點(diǎn) O，連接 ， ， ， 0，故 等邊三角形， 又 交于 面 故 以 又 側(cè)面 底面 底面 ， 面 （ 6 分） 解：（ ）以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 向?yàn)?x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系， C（ 1， 2， 0）， A（ 1， 0， 0）， D（ 0， 1， 0）， B（ 1， 0， 0）， 0， 0，）， ， ， ， ， 設(shè)面 法向量為 ， 依題意有： ，令 x=1 ，則 y= 1 ， ， ， （ 9 分） 又面 法向量為 ， （ 10 分） ， 二面角 C 的余弦值為 （ 12 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用 19（ 12 分）（ 2017永州二模）某商場計(jì)劃銷售某種產(chǎn)品，現(xiàn)邀請生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩個(gè)廠家進(jìn)場試銷 10 天兩個(gè)廠家提供的返利方案如下：甲廠家每天固定返利 70 元，且每賣出一件產(chǎn)品廠家再返利 2 元；乙廠家無固定返利，賣 出40 件以內(nèi)（含 40 件）的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品廠家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元經(jīng)統(tǒng)計(jì)，兩個(gè)廠家的試銷情況莖葉圖如下： 甲 乙 8 9 9 8 9 9 3 8 9 9 2 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0 （ ）現(xiàn)從甲廠家試銷的 10 天中抽取兩天，求這兩天的銷售量都大于 40 的概率； （ ）若將頻率視作概率，回答以下問題： （ ）記乙廠家的日返利額為 X（單位：元），求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ ）商場擬在甲、乙兩個(gè)廠家中選擇一家長期銷售，如果僅從日返利額的角度考慮，請利用所學(xué)的 統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為商場作出選擇，并說明理由 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ ）記 “抽取的兩天銷售量都大于 40”為事件 A，利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出這兩天的銷售量都大于 40 的概率 （ ）（ ）設(shè)乙產(chǎn)品的日銷售量為 a，推導(dǎo)出 X 的所有可能取值為： 152， 156，160， 166， 172，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 （ ）求出甲廠家的日平均銷售量，從而得到甲廠家的日平均返利，由（ ）得乙廠家的日平均返利額，由此推薦該商場選擇乙廠家長期銷售 【解答】 （本小題滿分 12 分） 解：（ ）記 “抽取的兩天銷售量都大于 40”為事件 A， 則 （ 4 分） （ ）（ ）設(shè)乙產(chǎn)品的日銷售量為 a，則 當(dāng) a=38 時(shí)， X=38 4=152； 當(dāng) a=39 時(shí)， X=39 4=156； 當(dāng) a=40 時(shí)， X=40 4=160； 當(dāng) a=41 時(shí)， X=40 4+1 6=166； 當(dāng) a=42 時(shí)， X=40 4+2 6=172； X 的所有可能取值為： 152， 156， 160， 166， 172， X 的分布列為 X 152 156 160 166 172 p （ 9 分） （ ）依題意，甲廠家的日 平均銷售量為： 38 9 0 1 2 甲廠家的日平均返利額為： 70+2=149 元， 由（ ）得乙廠家的日平均返利額為 162 元（ 149 元）， 推薦該商場選擇乙廠家長期銷售 （ 12 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用 20（ 12 分）（ 2017永州二模）如圖拋物線 C： x 的弦 中點(diǎn) P（ 2， t）（ t 0），過點(diǎn) P 且與 直的直線 l 與拋物線交于 C、 D，與 x 軸交于 Q （ ）求點(diǎn) Q 的坐標(biāo)； （ ）當(dāng)以 直徑的圓過 A， B 時(shí)，求直線 l 的方程 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）設(shè) 線方程，與拋物線 C： x 聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出直線 l 的方程，即可求點(diǎn) Q 的坐標(biāo)； （ ）（方法一） A， B， C， D 四點(diǎn)共圓，有 ，即可求直線 l 的方程 （方法二）利用參數(shù)方程求 【解答】 解：（ ）易知 與 x 軸垂直，設(shè) 線方程為： y=k（ x 2）+t， 與拋物線 C： x 聯(lián)立，消去 y 得： 244） x+（ t 2k） 2=0， =（ 4 22 4（ t 2k） 2 0（ i） 設(shè) A（ B（ 則 上述方程兩根， x1+， 即 ，代入（ i）中，求得 且 t 0， 直線 l 的方程為： y t= （ x 2）， 令 y=0，得 x=4，知定點(diǎn)坐標(biāo)為（ 4， 0）； （ ）（方法一） | = = ， （ 7 分） 線： ，與拋物線 x 聯(lián)立，消去 y 得： 86） x+16， 設(shè) C（ D（ x3+， 6， （ 8 分） 設(shè) 中點(diǎn)為 M（ ， ， | ， | = = = ， A， B， C， D 四點(diǎn)共圓，有 ， 代入并整理得 122=0，求得 或 （舍去）， t= 2 直線 l 的方程為 y=x 4 或 y= x+4 （ 12 分） （方法二）利用參數(shù)方程求： 設(shè) 線的參數(shù)方程為： ， 代入拋物線 C： x 得， 48=0， ， 則直線 參數(shù)方程為： ， 或 有 ， ， 依題意有： | 有 或 ， 直線 l 的方程為 y=x 4 或 y= x+4 （ 12 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直線過定點(diǎn)，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題 21 （ 12 分）（ 2017永州二模）已知函數(shù) ，其中 a 1 （ ） f（ x）在（ 0， 2）上的值域?yàn)椋?s， t），求 a 的取值范圍； （ ）若 a 3，對于區(qū)間 2， 3上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 有 |f（ f（ | |g（ g（ |成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ ） f（ x） = a+1） x+a，令 f（ x） =0 得 ， x2=a，由題意函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， 2）無最值，知 f（ x）在（ 0， 2）上要么有兩個(gè)極值點(diǎn)或者沒有極值點(diǎn)，即可求 a 的取值范圍； （ ）不妨設(shè) 2 3，由（ ）知：當(dāng) a 3 時(shí)， f（ x）在區(qū)間 2， 3上恒單調(diào)遞減，有 |f（ f（ |=f（ f（ 分類討論，構(gòu)造函數(shù)，即可求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解：（ ） f（ x） = a+1） x+a，令 f（ x） =0 得 ， x2=a， （ 1分） 依題意函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， 2）無最值， 知 f（ x）在（ 0， 2）上要么有兩個(gè)極值點(diǎn)或者沒有極值點(diǎn)， 知 1 a 2， （ 3 分） ， ， f（ 0） = 1， ， （ i）若 a=1，函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， 2）上恒單調(diào)遞增，顯然符合題意； （ 4分） （ 1 a 2 時(shí)，有 ， 即 ， ， 得 ； 綜上有 （ 6 分） （ ）不妨設(shè) 2 3， 由（ ）知：當(dāng) a 3 時(shí)， f（ x）在區(qū)間 2， 3上恒單調(diào)遞 減， 有 |f（ f（ |=f（ f（ （ 7 分） （ i）若 3 a 4 時(shí)， 在區(qū)間 2， 3上恒單調(diào)遞減， |g（ g（ |=g（ g（ 則 |f（ f（ | |g（ g（ |等價(jià)于 f（ g（ f（ g（ 令函數(shù) F（ x） =f（ x） g（ x）， 由 F（ F（ F（ x）在區(qū)間 2， 3上單調(diào)遞減， F（ x） = a+1）x+a（ a 4） x= 2a 3） x+a， 當(dāng) a 3 時(shí)， 2a 3） x+a 0， 即 ，求得 ； （ 10 分） （ a 4 時(shí)， 單調(diào)遞增， |g（ g（ |=g（ g（ 則