2017年河北省保定市高考數(shù)學二模試卷（理科）含答案

2017年河北省保定市高考數(shù)學二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設集合 P=3， Q=a， b，若 P Q=0，則 P Q=（ ） A 3， 0 B 3， 0， 1 C 3， 0， 2 D 3， 0， 1， 2 2若復數(shù) z=（ x 3） +（ x+3） 實數(shù) ） A 3 B 1 C 3或 1 D 1或 3 3角 的頂點與原點重合，始邊與 x 軸非負半軸重合，終邊在直 線 y=2x 上，則 ） A 2 B 4 C D 4已知某三棱錐的三視圖（單位： 圖所示，那么該三棱錐的體積等于（ ） A 2 3 9在區(qū)間內隨機取出一個數(shù) a，使得 1 x|2x2+0的概率為（ ） A B C D 6設 內角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，且 ， a+b=12，則 ） A 8 B 9 C 16 D 21 7某地區(qū)打的士收費辦法如下：不超 過 2 公里收 7元，超過 2 公里時，每車收燃油附加費1元，并且超過的里程每公里收 他因素不考慮），計算收費標準的框圖如圖所示，則 處應填（ ） A y= y= y= y=已知一個球的表面上有 A、 B、 C= ，若球心到平面 距離為 1，則該球的表面積為（ ） A 20 B 15 C 10 D 2 9當雙曲線 的焦距取得最小值時，其漸近線的方程為（ ） A y= x B C D 10已知數(shù)列 ，前 n，且 ，則 的最大值為（ ） A 3 B 1 C 3 D 1 11若點 P（ x， y）坐標滿足 |=|x 1|，則點 ） A B C D 12在平面直角坐標系中，定義 d（ P， Q） =|兩點 P（ Q（ 間的 “ 折線距離 ” 則下列命題中： 若 有 d（ A， C） +d（ C， B） =d（ A， B） 若點 A， B， 有 d（ A， C） +d（ C， B） d（ A， B） 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）兩點的 “ 折線距離 ” 相等的點的軌跡是直線 x=0 若 B 在直線 x+y 2 =0上，則 d（ A， B）的最小值為 2 真命題的個數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空題（每題 5 分，滿分 20分，將答案填在答題紙上） 13已知 ， ， ，則 14某所學校計劃招聘男教師 教師 x和 該校招聘的教師人數(shù)最多是 名 15若直線 x+1=0與 2x+4y 3=0平行，則 的展開式中 16已知定義在（ 0， ）上的函數(shù) f（ x）的導函數(shù) f（ x）是連續(xù)不斷的，若方程 f（ x）=0無解，且 x （ 0， + ）， f=2017，設 a=f（ b=f（ c=f（ ），則 a， b， 三、解答題（本大題共 5小題，共 70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17已知數(shù)列 等差數(shù)列，且 別為方程 6x+5=0的二根 （ 1）求數(shù)列 前 n； （ 2）在（ 1）中，設 ，求證：當 c= 時，數(shù)列 等差數(shù)列 18為了檢驗訓練情況，武警某支隊于近期舉辦了一場展示活動，其中男隊員 12 人，女隊員 18人，測試結果如莖葉圖所示（單位：分）若成績不低于 175分者授予 “ 優(yōu)秀警員 ” 稱號，其他隊員則給予 “ 優(yōu)秀陪練員 ” 稱號 （ 1）若用分層抽樣的方法從 “ 優(yōu)秀警員 ” 和 “ 優(yōu)秀陪練員 ” 中共提取 10 人，然后再從這10人中選 4人，那么至少有 1人是 “ 優(yōu)秀警員 ” 的概率是多少？ （ 2）若所有 “ 優(yōu)秀警員 ” 中選 3 名代表，用 表示所選女 “ 優(yōu)秀警員 ” 的人數(shù)，試求 的分布列和數(shù)學期望 19如圖， 的正三角形， 平面 2D=2 （ 1）求證：平面 平面 （ 2）求二面角 D 20已知橢圓 C： （ a b 0）的離心率為 ， A（ a， 0）， b（ 0， b）， D（ a， 0）， （ 1）求橢圓 （ 2）如圖，設 P（ 橢圓 直線 ，直線 ，求四邊形 21已知函數(shù) f（ x） =a（ x 1） （ 1）求函數(shù) f（ x）的極值； （ 2）當 a 0 時，過原點分別作曲線 y=f（ x）與 y=兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證： 1 a 2 選修 4標系與參數(shù)方程 22已知圓 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），以原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 （ 1）求圓 （ 2）求直線 所截得的弦長 選修 4等式選講 23已知函數(shù) f（ x） =|x 1|+|x+1| 2 （ 1）求不等式 f（ x） 1的解 集； （ 2）若關于 f（ x） a 2在 實數(shù) 2017年河北省保定市高考數(shù)學二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設集合 P=3， Q=a， b，若 P Q=0，則 P Q=（ ） A 3， 0 B 3， 0， 1 C 3， 0， 2 D 3， 0， 1， 2 【考點】 1D：并集及其運算 【分析】根據(jù)集合 P=3， Q=a， b，若 P Q=0，則 ， b=0，從而求得 P Q 【解答】解： P Q=0， a=1 從而 b=0， P Q=3， 0， 1， 故選 B 2若復數(shù) z=（ x 3） +（ x+3） 實數(shù) ） A 3 B 1 C 3或 1 D 1或 3 【考點】 數(shù)的基本概念 【分析】根據(jù)復數(shù) z=（ x 3） +（ x+3） 得 x 3=0， x+3 0，解得 x 【解答】解： 復數(shù) z=（ x 3） +（ x+3） 虛數(shù)， x 3=0， x+3 0，解得 x=1 故選： B 3角 的頂點與原點重合，始邊與 x 軸非負半軸重合，終邊在直線 y=2x 上，則 ） A 2 B 4 C D 【考點】 意角的三角函數(shù)的定義 【分析】利用直線斜率的定義、二倍角的正切公式，進行計算即可 【解答】解： 角 的始邊與 邊在直線 y=2 ； = ， 故選 D 4已知某三棱錐的三視圖（單位： 圖所示，那么該三棱錐的體積等于（ ） A 2 3 9考點】 L!：由三視圖求面積、體積 【分析】該三棱錐高為 3，底面為直角三角形 【解答】解：由三視圖可知，該三棱錐的底面為直角三角形，兩個側面和底面兩兩垂直， V= 3 1 3= 故選 A 5在區(qū)間內隨機取出一個數(shù) a，使得 1 x|2x2+0的概率為（ ） A B C D 【考點】 何概型 【分析】由 1 x|2x2+0代入得出關于參數(shù) 之求得 a 的范圍，再由幾 何的概率模型的知識求出其概率 【解答】解：由題意 1 x|2x2+0，故有 2+a 0，解得 1 a 2， 由幾何概率模型的知識知，總的測度，區(qū)間的長度為 6，隨機地取出一個數(shù) a，使得 1x|2x2+0這個事件的測度為 3， 故區(qū)間內隨機地取出一個數(shù) a，使得 1 x|2x2+0的概率為 ， 故選： D 6設 內角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，且 ， a+b=12，則 ） A 8 B 9 C 16 D 21 【考點】 角形中的幾何計算 【分析】根據(jù)基本不等式求得 范圍，進而利用三角形面積公式求得 【解答】解： （ ） 2=36，當且僅當 a=b=6 時，等號成立， S 36 =9， 故選： B 7某地區(qū)打的士收費辦法如下：不超過 2 公里收 7元，超過 2 公里時，每車收燃油附加費1元，并且超過的里程每公里收 他因素不考慮），計算收費標準的框圖如圖所示，則 處應填（ ） A y= y= y= y=考點】 序框圖 【分析】由題意可得：當滿足條件 x 2 時，即里程超過 2 公里，應按超過 2 公里的里程每公里收 每車次超過 2公里收燃油附加費 1元收費，進而可得函數(shù)的解析式 【解答】解：當滿足條件 x 2時，即里程超過 2公里， 超過 2公里時，每車收燃油附加費 1元，并且超過的里程每公里收 y=x 2） +7+1=8+x 2），即整理可得： y= 故選： D 8已知一個球的表面上有 A、 B、 C= ，若球心到平面 距離為 1，則該球的表面積為（ ） A 20 B 15 C 10 D 2 【考點】 的體積和表面積 【分析】由正弦定理可得截面圓的半徑，進而由勾股定理可得球的半徑和截面圓半徑的關系，解方程代入球的表面積公式可得 【解答】解：由題意可得平面 ， 設截面圓 O 的半徑為 r，由正弦定理可得 2r= ，解得 r=2， 設球 ， 球心到平面 ， 由勾股定理可得 2=得 ， 球 =4R 2=20 ， 故選 ： A 9當雙曲線 的焦距取得最小值時，其漸近線的方程為（ ） A y= x B C D 【考點】 曲線的簡單性質 【 分 析 】 根 據(jù) 題 意 ， 由 雙 曲 線 的 標 準 方 程 分 析 可 得 其 焦 距2c=2 =2 ，由二次函數(shù)的性質分析可得當 m=1 時，雙曲線的焦距最小，將 雙曲線的漸近線方程計算可得答案 【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為 ， 其焦距 2c=2 =2 ， 分析可得：當 m=1時，雙曲線的焦距最小， 此時雙曲線的方程為： =1， 其漸近線的方程為 y= x， 故選： B 10已知數(shù)列 ，前 n，且 ，則 的最大值為（ ） A 3 B 1 C 3 D 1 【考點】 8H：數(shù)列遞推式 【分析】利用遞推關系可得 = =1+ ，再利用數(shù)列的單調性即可得出 【解答】解： ， n 2 時， n 1= 1，化為： = =1+ ， 由于數(shù)列 單調遞減，可得： n=2時， 取得最大值 2 的最大值為 3 故選： C 11若點 P（ x， y）坐標滿足 |=|x 1|，則點 ） A B C D 【考點】 線與方程 【分析】取特殊點代入進行驗證即可 【解答】解：由題意， x=1時， y=1，故排除 C， D；令 x=2，則 y= ，排除 A 故選 B 12在平面直角坐標系中，定義 d（ P， Q） =|兩點 P（ Q（ 間的 “ 折線距離 ” 則下列命題中： 若 有 d（ A， C） +d（ C， B） =d（ A， B） 若點 A， B， 有 d（ A， C） +d（ C， B） d（ A， B） 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）兩點的 “ 折線距離 ” 相等的點的軌跡是直線 x=0 若 B 在直線 x+y 2 =0上，則 d（ A， B）的最小值為 2 真命題的個數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點】 點間距離公式的應用； 2K：命題的真假判斷與應用 【分析】先根據(jù)折線距離的定義分別表示出所求的集合，然后根據(jù)集合中絕對值的性質進行判定即可 【解答】解：若點 C 在線段 ，設 C 點坐標為（ 則 d（ A， C） +d（ C， B） =|d（ A， B）成立，故 正確； 在 d（ A， C） +d（ C， B） =| |（ +（ |+|（ +（ |=|d（ A， B） ，故 錯誤； 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）兩點的 “ 折線距離 ” 相等點的集合是 （ x， y） |x+1|+|y|=|x1|+|y|， 由 |x+1|=|x 1|，解得 x=0， 到 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）兩點的 “ 折線距離 ” 相等的點的軌跡方程是 x=0，即 成立； 設 B（ x， y），則 d（ A， B） =|x|+|2 x| 2 ，即 d（ A， B）的最小值為 2 ，故 正確； 綜上知，正確的命題為 ，共 3個 故選： C 二、填空題（每題 5 分，滿分 20分，將答案填在答題紙上） 13已知 ， ， ，則 【考點】 9R：平面向量數(shù)量積的運算 【分析】先根據(jù)向量的數(shù)量積公式可得 =| | |，再根據(jù)余弦定理即可求出 【解答】解： ， ， ， =| | |， 由余弦定理可得 2+16 12=13， ， 故答案為： 14某所學校計劃招聘男教師 教師 x和 該校招聘的教師人數(shù)最多是 7 名 【考點】 7C：簡單線性規(guī)劃 【分析】由題意由于某所學校計劃招聘男教師 教師 x和 不等式組畫出可行域，又要求該校招聘的教師人數(shù)最多令 z=x+y，則題意求解在可行域內使得 【解答】解：由于某所學校計劃招聘男教師 x 名，女教師 y 名，且 x 和 y 須滿足約束條件，畫出可行域為： 對于需要求該校招聘的教師人數(shù)最多， 令 z=x+yy= x+z 則題意轉化為，在可行域內任意去 x， y 且為整數(shù)使得目標函數(shù)代表的斜率為定值 1， 截距最大時的直線為過 （ 4， 3）時使得目標函數(shù)取得最大值為： z=7 故答案為： 7 15若直線 x+1=0與 2x+4y 3=0平行，則 的展開式中 210 【考點】 項式系數(shù)的性質 【分析】由直線 x+1=0 與 2x+4y 3=0 平行，求出 a=2，由此利用分類討論思想能求出=（ x+ 2） 5的展開式中 【解答】解： 直線 x+1=0與 2x+4y 3=0平行， ，解得 a=2， =（ x+ 2） 5， 展開式中 + + =80+120+10=210 故答案為： 210 16已知定義在（ 0， ）上的函數(shù) f（ x）的導函數(shù) f（ x）是連續(xù)不斷的，若方程 f（ x）=0無解，且 x （ 0， + ）， f=2017，設 a=f（ b=f（ c=f（ ），則 a， b，a c b 【考點】 3S：函數(shù)的連續(xù)性 【分析】根據(jù)題意得出 f（ x）是單調函數(shù)，得出 f（ x） 設 t=f（ x） f（ x） =t+ 結合 f（ x）是單調增函數(shù)判斷 a， b， 【解答】解： 方程 f （ x） =0 無解， f （ x） 0或 f （ x） 0恒成立， f（ x）是單調函數(shù)； 由題意得 x （ 0， + ）， f=2017， 又 f（ x）是定義在（ 0， + ）的單調函數(shù)， 則 f（ x） 設 t=f（ x） 則 f（ x） =t+ f（ x）是增函數(shù)， 又 0 1 a c b 故答案為： a c b 三、解答題（本大題共 5小題，共 70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17已知數(shù)列 等差數(shù)列，且 別為方程 6x+5=0的二根 （ 1）求數(shù)列 前 n； （ 2）在（ 1）中，設 ，求證：當 c= 時，數(shù)列 等差數(shù)列 【考點】 8E：數(shù)列的求和； 8C：等差關系的確定 【分 析】（ 1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，即可求 通項公式； （ 2）先化簡 利用定義證明即可 【解答】解：（ 1）解方程 6x+5=0得其二根分別為 1和 5， 別為方程 6x+5=0的二根 以 ， ， 差數(shù)列的公差為 4， =2n； （ 2）證明：當 時， = ， （ n+1） 2n=2， 以 2為首項，公差為 2的等差數(shù)列 18為了檢驗訓練情況，武警某支隊于近期舉辦了一場展示活動，其中 男隊員 12 人，女隊員 18人，測試結果如莖葉圖所示（單位：分）若成績不低于 175分者授予 “ 優(yōu)秀警員 ” 稱號，其他隊員則給予 “ 優(yōu)秀陪練員 ” 稱號 （ 1）若用分層抽樣的方法從 “ 優(yōu)秀警員 ” 和 “ 優(yōu)秀陪練員 ” 中共提取 10 人，然后再從這10人中選 4人，那么至少有 1人是 “ 優(yōu)秀警員 ” 的概率是多少？ （ 2）若所有 “ 優(yōu)秀警員 ” 中選 3 名代表，用 表示所選女 “ 優(yōu)秀警員 ” 的人數(shù)，試求 的分布列和數(shù)學期望 【考點】 散型隨機變量的期望與方差； 葉圖； 散型隨機變量及其分布列 【分析】（ 1）根據(jù)莖葉圖，有 “ 優(yōu)秀警 員 ”12 人， “ 優(yōu)秀陪練員 ”18 人用分層抽樣的方法，與古典概率計算公式即可得出 （ 2）依題意， 的取值為 0， 1， 2， 3利于古典概率計算公式即可得出 【解答】解：（ 1）根據(jù)莖葉圖，有 “ 優(yōu)秀警員 ”12 人， “ 優(yōu)秀陪練員 ”18 人 用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是 所以選中的 “ 優(yōu)秀警員 ” 有 4人， “ 優(yōu)秀陪練員 ” 有 6人 用事件 至少有 1名 “ 優(yōu)秀警員 ” 被選中 ” ， 則 = 因此，至少有 1人是 “ 優(yōu)秀警員 ” 的概率是 （ 2）依題意， 的取值為 0， 1， 2， 3. ， ， ， 因此， 的分布列如下： 0 1 2 3 p 19如圖， 的正三角形， 平面 2D=2 （ 1）求證：平面 平面 （ 2）求二面角 D 【考點】 面角的平面角及求法； 面與平面垂直的判定 【分析】（ 1）取 ， ，連接 題意可知，四邊形 即 平面 平面 證平面 平面 2），過點 做 足為 M，連接 得 所求二面角的平面角 在等腰三角形 由面積相等可知： ， ； ，根據(jù)余弦定理= ，即可 【解答】解：（ 1）證明：如下圖所示：取 ， ， 連接 題意可知， 所以 E，即四邊形 所以 平面 平面 故平面 平面 2）由 ， 可知， ，同理 又 C=2， 知 點 M 足為 M，連接 所以 在等腰三角形 由面積相等可知： ， ； 根據(jù)余弦定理 = 所以二面角 D B 正弦值為 20已知橢圓 C： （ a b 0）的離心率為 ， A（ a， 0）， b（ 0， b）， D（ a， 0）， （ 1）求橢圓 （ 2）如圖，設 P（ 橢圓 的部分上的一點，且直線 ，直線 ，求四邊形 【考點】 圓的簡單性質 【分析】（ 1）根據(jù)橢圓的離心率公式及三角形的面積公式，即可求得 a和 可求得橢圓方程； （ 2）求得直線 得丨 理求得丨 ，代入即可求得四邊形 【解答】解：（ 1）由題意得 ，解得 a=2， 橢圓 （ 2）由（ 1）知， A（ 2， 0）， ，由題意可得 ， 因為 P（ 2 0， ， 直線 令 x=0，得 從而 = 直線 方程為 令 y=0，得 從而 |2 | ， = ， = ， = = ， 四邊形 21已知函數(shù) f（ x） =a（ x 1） （ 1）求函數(shù) f（ x）的極值； （ 2）當 a 0 時，過原點分別作曲線 y=f（ x）與 y=兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證： 1 a 2 【考點】 6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程； 6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】（ 1）利用導數(shù)求函數(shù)的單 調區(qū)間，從而求解函數(shù) f（ x）的極值； （ 2）設切線 y=而由導數(shù)及斜率公式可求得切點為（ 1， e）， k2=e；再設理得 ，再令 ，求導確定函數(shù)的單調性，從而問題得證 【解答】（ 1）解： 若 a 0時， 0 所以函數(shù) f（ x）在（ 0， + ）單調遞增，故無極大值和極小值 若 a 0，由 得 ， 所以 函數(shù) f（ x）單調遞增， ，函數(shù) f