2017年全國(guó)高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)大串講專題4.4高考中的圓錐曲線問(wèn)題(含答案)

題型一 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 1 (2015天津變式 )已知雙曲線 1(a 0， b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)為 F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓 (x 2)2 3 相切，則雙曲線的方程為 _. 【答案】 1 【思維升華】 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，解得標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，從而求得方程 . 【跟蹤訓(xùn)練 1】 (2014課標(biāo)全國(guó) )已知點(diǎn) A(0， 2)，橢圓 E： 1(ab0)的離心率為32 ， F 是橢圓 E 的右焦點(diǎn)，直線 斜率為 2 33 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (1)求 E 的方程； (2)設(shè)過(guò)點(diǎn) A 的動(dòng)直線 l 與 E 相交于 P， Q 兩點(diǎn)，當(dāng) 面積最大時(shí)，求 l 的方程 . 【解析】 (1)設(shè) F(c,0)，由條件知， 2c 2 33 ，得 c 3. 又 32 ，所以 a 2， 1. 故 E 的方程為 1. (2)當(dāng) l x 軸時(shí)不合題意， 故設(shè) l： y 2， P( Q( 將 y 2 代入 1 得 (1 4k2)1612 0. 當(dāng) 16(43)0，即 4時(shí)， 8k 2 4341 . 從而 1| 4 1 4341 . 題型二 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 例 2 (1)(2015湖南變式 )若雙曲線 1 的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3， 4)，則此雙曲線的離心率為 _. A. 73 2)已知雙曲線 C： 1 (a0， b0)， P 為 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 的直線 y 2x m (m 0)與雙曲線 C 有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線 C 的離心率為 _. 【答案】 (1)53 (2) 52 【解析】 (1)由條件知 y 點(diǎn) (3， 4)， 3 4， 即 3b 4a， 916 9916 259 e 53. (2)由雙曲線的方程可知：漸近線方程為 y 經(jīng)過(guò) P 的直線 y 2x m (m 0)與雙曲線 C 有且只有一個(gè)交點(diǎn)，此直線與漸近線 y 行，2. e 1 52 . 【思維升華】 圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義，及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系 助于提高運(yùn)算能力 . 【跟蹤訓(xùn)練 2】 (2014北京 )已知橢圓 C： 24. (1)求橢圓 C 的離心率； (2)設(shè) O 為原點(diǎn)，若點(diǎn) A 在橢圓 C 上，點(diǎn) B 在直線 y 2 上，且 判斷直線 圓 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 . 【解析】 故 d 224 4 4 81622. 此時(shí)直線 圓 2 相切 . 綜上，直線 圓 2 相切 . 題型三 最值問(wèn)題 例 3 設(shè)橢圓 M： 1 (ab0)的離心率為22 ，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 6 2，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn) F 傾斜角為 的直線交橢圓 M 于 A， B 兩點(diǎn) . (1)求橢圓 M 的方程； (2)求證： 6 21 (3)設(shè)過(guò)右焦點(diǎn) F 且與直線 直的直線交橢圓 M 于 C， D，求 最小值 . (3)解 過(guò)右焦點(diǎn) F 且與直線 直的直線交橢圓 M 于 C， D，同理可得 6 2 1 6 21 所以 6 21 6 21 18 22 14因?yàn)?0,1，所以當(dāng)且僅當(dāng) 1 時(shí)， 最小值是 8 2. 【思維升華】 圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過(guò)建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值 . 【跟蹤訓(xùn)練 3】 (2015課標(biāo)全國(guó) )已知 F 是雙曲線 C： 1 的右焦點(diǎn)， P 是 C 的左支上一點(diǎn)，A(0， 6 6)長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為 _. 【答案】 12 6 【解析】 設(shè)左焦 點(diǎn)為 2a 2， 2 周長(zhǎng)為 2 長(zhǎng)最小即為 A、 P、 x 3 1.與 1 聯(lián)立，解得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,2 6)，此時(shí) S S S 12 6. 題型四 定值、定點(diǎn)問(wèn)題 例 4 (2015課標(biāo)全國(guó) )已知橢圓 C： 9m2(m 0)，直線 l 不過(guò)原點(diǎn) O 且不平行于坐標(biāo)軸，l 與 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A， B，線段 中點(diǎn)為 M. (1)證明：直線 斜率與 l 的斜率的乘積為定值； (2)若 l 過(guò)點(diǎn) m ，延長(zhǎng)線段 C 交于點(diǎn) P，四邊形 否為平行四邊形？若能，求此時(shí) 不能，說(shuō)明理由 . 【解析】 【思維升華】 求定點(diǎn)及定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān) . (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值 . 【跟蹤訓(xùn)練 4】 橢圓 C： 1(ab0)的離心率 e 32 ， a b 3. (1)求橢圓 C 的方程； (2)如圖所示， A、 B、 D 是橢圓 C 的頂點(diǎn)， P 是橢圓 C 上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線 x 軸于點(diǎn) N，直線 點(diǎn) M，設(shè) 斜率為 k， 斜率為 2m k 為定值 . 【解析】 題型五 探索性問(wèn)題 例 5 (2015廣東 )已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線 l 與圓 6x 5 0 相交于不同的兩點(diǎn) A， B. (1)求圓 (2)求線段 中點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程； (3)是否存在實(shí)數(shù) k，使得直線 L： y k(x 4)與曲線 C 只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出 k 的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由 . 【解析】 (3)由題意知直線 L 表示過(guò)定點(diǎn) (4,0)，斜率為 k 的直線，把直線 L 的方程代入軌跡 C 的方程 3x 0，其中 530 時(shí)， 【思維升華】 (1)探索性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化 點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù) )存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素 (點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù) )存在；否則，元素 (點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù) )不存在 . (2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法 . 【跟蹤訓(xùn)練 5】 (2014湖南 )如圖， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線 1(， )和橢圓 C2：1(a2)均過(guò)點(diǎn) P(2 33 ， 1)，且以 2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2 的正方形 . (1)求 (2)是否存在直線 l，使得 l 與 ， B 兩點(diǎn)，與 | | |？證明你的結(jié)論 . 【解 析】 (1)設(shè) 題意知， 22,22. 從而 1， 1. 因?yàn)辄c(diǎn) P(2 33 ， 1)在雙曲線 1 上， 所以 (2 33 )2 11.故 3. 由橢圓的定義知 2 2 33 2 1 1 2 2 33 2 1 1 2 2 3. 于是 3， 2. 故 1，1. 于是 km( 333 . 由 y m，1得