江蘇省南通市啟東市2015-2016學(xué)年高二下期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2015年江蘇省南通市啟東市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷 I 卷一、填空題（共 14 小題，每小題 5 分，滿分 70 分） 1已知集合 P=1， 2， 3， 4， Q=0， 3， 4， 5，則 PQ=_ 2函數(shù) f（ x） = + 的定義域?yàn)?_ 3用系統(tǒng)抽樣的方法從 480 名學(xué)生中抽取容量為 20 的樣本，將 480 名學(xué)生隨機(jī)地編號(hào)為 1480按編號(hào)順序平均分為 20 個(gè)組（ 1 24 號(hào)， 25 48 號(hào)， ， 457 480 號(hào)），若第 1 組用抽簽的方法確定抽出的號(hào)碼為 3，則第 4 組抽取的號(hào)碼為 _ 4如圖所示的流程圖，輸入的 a=2017， b=2016，則輸出的 b=_ 5在一個(gè)盒子中有分別標(biāo)有數(shù)字 1， 2， 3， 3， 4 的 5 張卡片，現(xiàn)從中一次取出 2 張卡片，在取到的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是 _ 6某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了 150 分到 450 分之間的 1000名學(xué)生的成績， 并根據(jù)這 1000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖），則成績?cè)?300， 350）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)共有 _ 7如圖所示，該偽代碼運(yùn)行的結(jié)果為 _ 8已知函數(shù) f（ x） =|若存在互不相等的實(shí)數(shù) a， b，使 f（ a） =f（ b），則 _ 9若函數(shù) f（ x） = 在 x= 4 處取 得極大值，則實(shí)數(shù) a 的值為 _ 10已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ 016） =_ 11若不等式 22 0 恰有一解，則 最大值為 _ 第 2 頁（共 17 頁） 12在平面直角坐標(biāo)系 ，已知點(diǎn) P 是函數(shù) f（ x） =x 1）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在 P 處的切線 l 交 x 軸于點(diǎn) M，過點(diǎn) P 作 l 的垂線交 x 軸于點(diǎn) N，設(shè)線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 t，則 t 的最大值是 _ 13已知函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) y=f（ f（ x） k 有 3 個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 _ 14設(shè)函數(shù) f（ x） =， m R，若對(duì)任意 0， f（ f（ 成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 _ 二、解答題（共 6 小題，滿分 90 分） 15設(shè)關(guān)于 x 的不等式（ x+2）（ a x） 0（ a R）的解集為 M，不等式 2x 3 0 的解集為 N，且 MN= 1， 2 （ 1） 求實(shí)數(shù) a 的值； （ 2）若在集合 M N 中任取一個(gè)實(shí)數(shù) x，求 “x MN”的概率 16函數(shù) f（ x） = （ a、 b、 c Z）是奇函數(shù)，且 f（ 1） =2， f（ 2） 3 （ 1）求 a、 b、 c 的值； （ 2）當(dāng) x 0 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間 17啟東市某中學(xué)傳媒班有 30 名男同學(xué)， 20 名女同學(xué)，在該班中按性別用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為 5 的樣本組成課外興趣小組 （ 1）求該傳媒班某同學(xué)被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)； （ 2）經(jīng)過一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論， 決定在這個(gè)興趣小組中選出兩名同學(xué)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，方法是先從小組里選出 1 名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，該同學(xué)做完后，再從小組每剩下的同學(xué)中選一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率； （ 3）實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，第一次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為 68， 70， 71， 72， 74，第二次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為 69， 70， 70， 72， 74，請(qǐng)問哪次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定？并說明理由 18已知 a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f（ x） =（ ）（ x+a） （ 1）若函數(shù) f（ x）在 R 上存在極值，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 2）若 f（ 1） =0，求 函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， 上的最大值和最小值； （ 3）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， 上不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 19已知二次函數(shù) f（ x） =bx+c （ 1）若 f（ 1） =0，試判斷函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； （ 2）是否存在實(shí)數(shù) a， b， c，使得 f（ x）同時(shí)滿足以下條件： 對(duì) x R， f（ x 2） =f（ x）； 對(duì) x R， 0 f（ x） x （ x 1） 2？如果存在，求出 a， b， c 的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由 20已知函數(shù) f（ x） =（ x 1） （ a R） 第 3 頁（共 17 頁） （ 1）當(dāng) a=0 時(shí)，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若在區(qū)間 0， +）上關(guān)于 x 的不等式 f（ x） 0 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 21已知矩陣 A 將點(diǎn)（ 1， 0）變換為（ 2， 3），且屬于特征值 3 的一個(gè)特征向量是 ，求矩陣 A 22已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程是 =2線 l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)）設(shè)直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)是 M， N 是曲線 C 上一動(dòng)點(diǎn)，求 最大值 23某汽車駕駛學(xué)校在學(xué)員結(jié)業(yè)前對(duì)其駕駛技術(shù)進(jìn)行 4 次考核，規(guī)定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需要參加下次考核，若小李參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為 的等差數(shù)列，他參加第一次考核合格 的概率超過 ，且他直到參加第二次考核才合格的概率為 （ 1）求小李第一次參加考核就合格的概率 （ 2）求小李參加考核的次數(shù) X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E（ X） 24已知函數(shù) f（ x） =2x+a） 42x 在 x=0 處取得極值 （ 1）求實(shí)數(shù) a 的值，并討論 f（ x）的單調(diào)性； （ 2）證明：對(duì)任意的正整數(shù) n，不等式 2+ + + n+1）都成立 第 4 頁（共 17 頁） 2015年江蘇省南通市啟東市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 I 卷一、填空題（共 14 小題，每小題 5 分，滿分 70 分） 1已知集合 P=1， 2， 3， 4， Q=0， 3， 4， 5，則 PQ=3， 4 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 根據(jù)交集的定義，進(jìn)行計(jì)算即可 【解答】 解：集合 P=1， 2， 3， 4， Q=0， 3， 4， 5， 所以 PQ=3， 4 故 答案為： 3， 4 2函數(shù) f（ x） = + 的定義域?yàn)?3， 1 【考點(diǎn)】 函數(shù)的定義域及其求法 【分析】 根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到關(guān)于 x 的不等式組，求出函數(shù)的定義域即可 【解答】 解：由題意得： ，解得： 3 x 1， 故答案為： 3， 1 3用系統(tǒng)抽樣的方法從 480 名學(xué)生中抽取容量為 20 的樣本，將 480 名學(xué)生隨機(jī)地編號(hào)為 1480按編號(hào)順序平均分為 20 個(gè)組（ 1 24 號(hào)， 25 48 號(hào)， ， 457 480 號(hào)），若第 1 組用抽簽的方法確定抽出的號(hào)碼為 3，則第 4 組抽取的號(hào)碼為 75 【考點(diǎn)】 系統(tǒng)抽樣方法 【分析】 根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義求出樣本間隔進(jìn)行求解即可 【解答】 解：用系統(tǒng)抽樣的方法從 480 名學(xué)生中抽取容量為 20 的樣本 則樣本間隔為 480 20=24， 若第 1 組用抽簽的方法確定抽出的號(hào)碼為 3， 則第 4 組抽取的號(hào)碼為 3+24 3=75， 故答案為： 75 4如圖所示的流程圖，輸入的 a=2017， b=2016，則輸出的 b=2017 第 5 頁（共 17 頁） 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序，根據(jù)賦值語句的功能依次計(jì)算 a， b 的值即可得解 【解答】 解：模擬程序的運(yùn)行，可得 a=2017， b=2016， a=2017+2016=4033 b=4033 2016=2017 輸出 a 的值為 4033， b 的值為 2017 故答案為： 2017 5在一個(gè)盒子中有分別標(biāo)有數(shù)字 1， 2， 3， 3， 4 的 5 張卡片，現(xiàn)從中一次取出 2 張卡片，在取到的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 先求出基本事件總數(shù)，再求出在取到的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出在取到的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率 【解答】 解：在一個(gè)盒子中有分別標(biāo)有數(shù)字 1， 2， 3， 3， 4 的 5 張卡片， 現(xiàn)從中一次取出 2 張卡片， 基本事件總數(shù) n= =10， 在取到的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù) m= =4， 在取到的卡片 上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率 p= 故答案為： 6某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了 150 分到 450 分之間的 1000名學(xué)生的成績，并根據(jù)這 1000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖），則成績?cè)?300， 350）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)共有 300 【考點(diǎn)】 頻率分布直方圖 【分析】 結(jié)合圖形，求出成績?cè)?300， 350）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)的頻率，即可求出成績?cè)?300，350）內(nèi)的學(xué)生人數(shù) 【解答】 解：根據(jù)題意，成績?cè)?300， 350）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)的頻率為 1（ 50=1 成績?cè)?300， 350）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為： 1000 00； 故答案為： 300 7如圖所示，該偽代碼運(yùn)行的結(jié)果為 9 第 6 頁（共 17 頁） 【考點(diǎn)】 偽代碼 【分析】 模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， i 的值，當(dāng) S=25 時(shí)不滿足條件 S 20，退出循環(huán)，輸出 i 的值為 9 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 i=1， S=1 滿足條件 S 20，執(zhí)行循環(huán)體， i=3， S=4 滿足條件 S 20，執(zhí)行循環(huán)體， i=5， S=9 滿足條件 S 20，執(zhí)行循環(huán)體， i=7， S=16 滿足條件 S 20，執(zhí)行循環(huán)體， i=9， S=25 此時(shí)，不滿足條件 S 20，退出循環(huán)，輸出 i 的值為 9 故答案為： 9 8已知函數(shù) f（ x） =|若存在互不相等的實(shí)數(shù) a， b，使 f（ a） =f（ b），則 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【分析】 若互不相等的 實(shí)數(shù) a， b，使 f（ a） =f（ b），則 1 合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =| 若互不相等的實(shí)數(shù) a， b，使 f（ a） =f（ b）， 則 1 即 =0， ， 故答案為： 1 9若函數(shù) f（ x） = 在 x= 4 處取得極大值，則實(shí)數(shù) a 的值為 2 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出 a 的值即可 【解答】 解 ： f（ x） =2ax=x（ x 2a）， 令 f（ x） =0，解得； x=0 或 x=2a， 若函數(shù) f（ x） = 在 x= 4 處取得極大值， 則 2a= 4，解得： a= 2， 故答案為： 2 10已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ 016） = 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值 第 7 頁（共 17 頁） 【分析】 利用分段函數(shù)及對(duì)數(shù)、指數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則求解 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） = ， f（ 016） =f（ 1） = = = 故答案為： 11若不等式 22 0 恰有一解，則 最大值為 6 【考點(diǎn)】 一元二次不等式的解法 【分析】 根據(jù)題意 =0， 得出 a2+，利用基本不等式 即可求出 最大值 【解答】 解：不等式 22 0 恰有一解， 所以 =44（ 2） =448=0， 即 a2+2； 所以 =6，當(dāng)且僅當(dāng) a=b= 時(shí)， “=”成立； 即 最大值為 6 故答案為： 6 12在平面直角坐標(biāo)系 ，已知點(diǎn) P 是 函數(shù) f（ x） =x 1）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在 P 處的切線 l 交 x 軸于點(diǎn) M，過點(diǎn) P 作 l 的垂線交 x 軸于點(diǎn) N，設(shè)線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 t，則 t 的最大值是 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【分析】 由題意設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ m， 從而寫出直線方程，從而得到 M（ m ）， N（ m+ ， 0）；從而求得 t= （ 2m+ m 1）；再由導(dǎo)數(shù)求最值即可 【解答】 解：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ m， f（ m） = ； 則切線 l 的方程為 y （ x m）； l 的垂線的方程為 y m（ x m）； 令 y=0 解得， M（ m 0）， N（ m+ ， 0）； 故 t= （ 2m+ m 1）； t= ； 第 8 頁（共 17 頁） 故 t= （ 2m+ 增后減， 故最大值為 （ 2e+ e） = ； 故答案為： 13已知函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) y=f（ f（ x） k 有 3 個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 2 k 1 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 作出函數(shù) y=f（ f（ x）的圖象，即可確定實(shí)數(shù) k 的取值范圍 【解答】 解：由題意， x 1， f（ x） =1 0， f（ f（ x） =1（ 1 2； 1 x 0， f（ x） =1 0， f（ f（ x） = 2+ x 0， f（ x） = x 1 0， f（ f（ x） =1（ x 1） 2 函數(shù) y=f（ f（ x）的圖象如圖所示， 函數(shù) y=f（ f（ x） k 有 3 個(gè)不同的零點(diǎn)， 2 k 1 故答案為： 2 k 1 14設(shè)函數(shù) f（ x） =， m R，若對(duì)任意 0， f（ f（ 成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ， +） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) g（ x） =f（ x） x= x 在（ 0， +）遞減，即 m x （ 0， +）恒成立，求出 m 的范圍即可 【解答】 解：若對(duì)任意 0， f（ f（ 成立， 即若對(duì)任意 0， f（ f（ 成立， 第 9 頁（共 17 頁） 即函數(shù) g（ x） =f（ x） x= x 在（ 0， +）遞減， g（ x） = 0 在（ 0， +）恒成立， 即 m x （ 0， +）恒成立， 而 x + ， m ， 故答案為： ， +） 二、解答題（共 6 小題，滿分 90 分） 15設(shè)關(guān)于 x 的不等式（ x+2）（ a x） 0（ a R）的解集為 M，不等式 2x 3 0 的解集為 N，且 MN= 1， 2 （ 1）求實(shí)數(shù) a 的值； （ 2）若在集合 M N 中任取一個(gè)實(shí)數(shù) x，求 “x MN”的概率 【考點(diǎn)】 幾何概型；一元二次不等式的解法 【分析】 （ 1）根據(jù)不等式的解法先求出 N，根據(jù) MN= 1， 2，得到 2 是方程（ x+2）（ a x） =0 的根，進(jìn)行求解即可 （ 2）求出集合 M，以及 M N，根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可 【解答】 解： （ 1）由 2x 3 0 得（ x+1）（ x 3） 0，得 1 x 3，即 N= 1， 3， MN= 1， 2 2 是方程（ x+2）（ a x） =0 的根，則 4（ a 2） =0，得 a=2， （ 2）當(dāng) a=2 時(shí)， x+2）（ a x） 0 等價(jià)為 x+2）（ 2 x） 0 得 2 x 2，即 M= 2， 2， 則 M N= 2， 3， MN= 1， 2 在集合 M N 中任取一個(gè)實(shí)數(shù) x，求 “x MN”的概率 P= = 16函數(shù) f（ x） = （ a、 b、 c Z）是奇函數(shù)，且 f（ 1） =2， f（ 2） 3 （ 1）求 a、 b、 c 的值； （ 2）當(dāng) x 0 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明 【分析】 （ 1）由條件利用函數(shù)的奇偶性求得 a、 b、 c 的值 （ 2）當(dāng) x 0 時(shí)，根據(jù)函數(shù) f（ x） =x+ 的圖象，利用導(dǎo)數(shù)求得它的單調(diào)區(qū)間 【解答】 解：（ 1） 函數(shù) f（ x） = （ a、 b、 c Z）是奇函數(shù)， f（ x） = = f（ x） = ， c=0 第 10 頁（共 17 頁） 又 f（ 1） =2， = =2， a+1=2b 根據(jù) f（ 2） = 3， a=b=1 綜上可得， a=b=1， c=0 （ 2）當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù) f（ x） = =x+ ， f（ x） =1 ，令 f（ x） =0，求得 x= 1， 在（ ， 1）上， f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單掉遞增，在（ 1， 0）上， f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單掉遞減， 故單調(diào)增區(qū)間為（ ， 1），單調(diào)減區(qū)間為（ 1， 0） 17啟東市某中學(xué)傳媒班有 30 名男同學(xué)， 20 名女同學(xué)，在該班中按性別用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為 5 的樣本組成課外興趣小組 （ 1）求該傳媒班某同學(xué)被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)； （ 2）經(jīng)過一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論，決定在這個(gè)興趣小組中選出兩名同學(xué)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，方法是先從小組里選出 1 名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，該同學(xué)做完后，再從小組每剩下的同學(xué)中選一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率； （ 3）實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，第一次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為 68， 70， 71， 72， 74，第二次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)為 69， 70， 70， 72， 74，請(qǐng)問哪次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定？并說明理由 【考點(diǎn)】 極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 （ 1）由等可能事件概率計(jì)算公式先求出該傳媒班某同學(xué)被抽到的概率，由此利用分層抽樣能求出課外興趣小組中男同學(xué)的人數(shù)和課外興趣小組中女同學(xué)的人數(shù) （ 2）先求出基本事件總數(shù)，由此能求出選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率 （ 3）分別求出兩次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此能求出結(jié)果 【解答】 解：（ 1） 啟東市某中學(xué)傳媒班有 30 名男同學(xué)， 20 名女同學(xué)， 在該班中按性別用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為 5 的樣本組成課外興趣小組， 該傳媒班某同學(xué)被抽到的概率 p= = 課外興趣小組中男同學(xué)的人數(shù)為： 30 =3 人， 課外興趣小組中女同學(xué)的人數(shù)為： 20 =2 人 （ 2）在這個(gè)興趣小組中選出兩名同學(xué)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)， 方法是先從小組里選出 1 名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，該 同學(xué)做完后， 再從小組每剩下的同學(xué)中選一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)， 基本事件總數(shù) n=5 4=20， 選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率： p= = （ 3）第一次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為： = （ 68+70+71+72+74） =71， 第一次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方差為： 第 11 頁（共 17 頁） （ 68 71） 2+（ 70 71） 2+（ 71 71） 2+（ 72 71） 2+（ 74 71） 2=4 第二次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為： = （ 69+70+70+72+74） =71， 第二次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方差為： S2= （ 69 71） 2+（ 70 71） 2+（ 70 71） 2+（ 72 71） 2+（ 74 71） 2= = ， S2， 第二次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定 18已知 a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f（ x） =（ ）（ x+a） （ 1）若函數(shù) f（ x）在 R 上存在極值，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 2）若 f（ 1） =0，求函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， 上的 最大值和最小值； （ 3）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， 上不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到 f（ x） =0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù) 0，求出 （ 2）根據(jù) f（ 1） =0，求出 a，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可； （ 3）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， 上不具有單調(diào)性，得到 f（ x）在 1， 有解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于 a 的不等式組，解出即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =（ ）（ x+a） =x3+x+a， f（ x） =3， 若函數(shù) f（ x）在 R 上存在極值， 則 f（ x） =0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， =412 0，解得： a 或 a ； （ 2） f（ x） =3，若 f（ 1） =0， 即 3+2a+1=0，解得： a= 2， f（ x） =（ 3x 1）（ x 1）， x 1， 時(shí)， x 1 0， 令 f（ x） 0，解得： x ，令 f（ x） 0，解得： x ， f（ x）在 1， ）遞增，在（ ， 遞減， f（ x） f（ ） = ， f（ x） f（ 1） = 2； （ 3）由（ 1）得： f（ x） =3，對(duì)稱軸 x= ， 第 12 頁（共 17 頁） 若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， 上不具有單調(diào)性， 則 f（ x）在 1， 有解，而 f（ 0） =1 0， 只需 或 ， 解得： a 3 或 a 3， 故 a 19已知二次函數(shù) f（ x） =bx+c （ 1）若 f（ 1） =0，試判斷函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； （ 2）是否存在實(shí)數(shù) a， b， c，使得 f（ x）同時(shí)滿足以下條件： 對(duì) x R， f（ x 2） =f（ x）； 對(duì) x R， 0 f（ x） x （ x 1） 2？如果存在，求出 a， b， c 的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 （ 1）將 x= 1 代入得到關(guān)于 a、 b、 c 的關(guān)系式，再由 確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)； （ 2）假設(shè)存在 a， b， c R 使得條件成立， 由 可知函數(shù) f（ x）的對(duì)稱軸是 x= 1，令最值為 0，由此可知 a=c； 由 知將 x=1 代入可求的 a、 c 與 b 的值，最后驗(yàn)證成 立即可 【解答】 解：（ 1）二次函數(shù) f（ x） =bx+c 中， f（ 1） =0， 所以 a b+c=0，即 b=a+c； 又 =4 a+c） 2 4 a c） 2， 當(dāng) a=c 時(shí) =0，函數(shù) f（ x）有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng) a c 時(shí)， 0，函數(shù) f（ x）有兩個(gè)零點(diǎn)； （ 2）假設(shè) a， b， c 存在，由 知拋物線的對(duì)稱軸為 x= 1， 所以 = 1，即 b=2a； 不妨令 f（ x）的最值為 0， 則 =0， 即 所以 4 得出 a=c； 由 知對(duì) x R，都有 0 f（ x） x （ x 1） 2， 不妨令 x=1，可得 0 f（ 1） 1 0， 即 f（ 1） 1=0， 所以 f（ 1） =1， 即 a+b+c=1； 第 13 頁（共 17 頁） 由 解得 a=c= ， b= ； 當(dāng) a=c= ， b= 時(shí)， f（ x） = x+ = （ x+1） 2，其頂點(diǎn)為（ 1， 0）滿足條件 ， 又 f（ x） x= （ x+1） 2，所以對(duì) x R，都有 0 f（ x） x （ x+1） 2，滿足條件 所以存在 a= ， b= ， c= 時(shí)， f（ x）同時(shí)滿足條件 、 20已知函數(shù) f（ x） =（ x 1） （ a R） （ 1）當(dāng) a=0 時(shí)，求 f（ x）的單調(diào) 區(qū)間； （ 2）若在區(qū)間 0， +）上關(guān)于 x 的不等式 f（ x） 0 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ 2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù) g（ x） =1，（ x 0），通過討論 a 的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足條件的 a 的具體范圍即可 【解答】 解：（ 1） a=0 時(shí)， f（ x） =（ x 1） ， f（ x） =x=x（ 1） 0， x 0 時(shí)， 1 0， x 0 時(shí)， 1 0， f（ x）在 R 遞增； （ 2） f（ x） =（ x 1） ，（ x 0）， f（ x） =x（ 1）， 令 g（ x） =1，（ x 0）， g（ x） =a， a 1 時(shí)， g（ x） 0， g（ x）在 0， +）遞增， g（ x） g（ 0） =0，即 f（ x） 0， f（ x） f（ 0） =0，成 立， 當(dāng) a 1 時(shí)，存在 0， +），使 g（ =0，即 f（ =0， 當(dāng) x 0， ， f（ x） 0， f（ x）在 0， 單調(diào)遞減， f（ x） f（ 0） =0，這與 f（ x） 0 在 0， +）上恒成立矛盾， 綜上： a 1 21已知矩陣 A 將點(diǎn)（ 1， 0）變換為（ 2， 3），且屬于特征值 3 的一個(gè)特征向量是 ，求矩陣 A 【考點(diǎn)】 特征值與特征向量的計(jì)算 第 14 頁（共 17 頁） 【分析】 先設(shè)矩陣 ，這里 a， b， c， d R，由二階矩陣 M 有特征值 =3 及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量及矩陣 M 對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（ 1， 0）變換為（ 2， 3），得到關(guān)于 a， b， c， d 的方程組，即可求得矩陣 M 【解答】 解：設(shè) ，由 得， ， 由 得， ，所以 所以 22已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程是 =2線 l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)）設(shè)直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)是 M， N 是曲線 C 上一動(dòng)點(diǎn)，求 最大值 【考點(diǎn)】 簡單曲線的極坐標(biāo)方程 【分析】 利用 x2+2， x=y=把曲線 C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程將直線 l 的參數(shù)方程消去 t 化為直角坐標(biāo)方程： ， 令 y=0，可得 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2， 0）利用 | |r 即可得出 【解答】 解：曲線 C 的極坐標(biāo)方程可化為 2=2 x2+2， x=y= 曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 x2+2y=0 將直線 l 的參數(shù)方程消去 t 化為直角坐標(biāo)方程： ， 令 y=0，得 x=2，即 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2， 0）又曲線 C 的圓心坐標(biāo)為（ 0， 1）， 半徑 r=1，則 ， 23某汽車駕駛學(xué)校在學(xué)員結(jié)業(yè)前對(duì)其駕駛技術(shù)進(jìn)行 4 次考核，規(guī)定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需要參加下次考核，若小李參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為 的等差數(shù)列，他參加第一次考核合格的概率超過 ，且他直到參加第二次考核才合格的概率為 （ 1）求小李第一次參加考核就合格的概率 （ 2）求小李參加考核的次數(shù) X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E（ X） 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公