向量空間及線性方程組的解結(jié)構(gòu).pptVIP

向量空間及 線性方程組的解結(jié)構(gòu),. 向量空間的基本概念,定義1. 設(shè)V是一個由n維向量構(gòu)成的一個非空集合，若V對向量的加法運(yùn)算和數(shù)字與向量的乘法運(yùn)算封閉，則稱V是一個向量空間。,所謂V對向量的加法運(yùn)算和向量與數(shù)字的乘法運(yùn)算封閉是指： 對于V中的任何元素, ，以及任何一個實(shí)數(shù)， + 和仍然屬于V。,若U是V的一個非空子集，且U也是一個向量空間，則稱U是V的子空間。,1). 所有的n維向量組成的集合Rn是一個向量空間.,2).設(shè) = (a, b, c)是一個非零的三維向量,L() = (x, y, z)| (x, y, z) = (a, b, c), R,(x, y, z)| (x, y, z) = (a, b, c) + (1, 2, 3), R,3).設(shè) = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3)是兩個線性無關(guān)的三維向量,L() = (x, y, z)| (x, y, z) = + , , R,(x, y, z)| (x, y, z) = + + (1, 2, 3), , R,1. 向量空間的例子,4). 設(shè)1, 2, , m是一組n維向量,2.向量空間的基和維數(shù),設(shè)V是一個向量空間，1, 2, , rV若滿足：,1) 1, 2, , r線性無關(guān),2) V中的任何一個向量皆可以被1, 2, , r線性表出,則稱1, 2, , r是V的一個基，并稱V是一個r維的向量空間，或稱V的維數(shù)是r.,若V=0，則稱V的維數(shù)是0,例1 設(shè),證明：1, 2, 3是R3的基，并把1, 2用該組基線性表出,證明：,對矩陣(1, 2, 3, 1, 2)實(shí)施初等行變換,從中可以看到1, 2, 3線性無關(guān)，并且：,二. 線性方程組的解結(jié)構(gòu),1. 線性方程齊次組AX=0的解向量組成的集合V = X = (x1, x2, , xn)T| AX = 0構(gòu)成Rn的一個子空間,2. 線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系,設(shè),設(shè)A的秩r n，且前r個列向量是它列向量組的一個極大線性無關(guān)組。,即：,令xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r,則:,簡記為:,顯然，J1, J2, , Jn-r是線性無關(guān)的，且方程組的任何一個解向量皆可以被它線性表出。 稱X=c1J1+ c2J2 + +cn-rJn-r為該齊次線性方程組的通解。 稱J1, J2, , Jn-r是該線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系。 該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是向量空間V的基，故V是一個n-r維的向量空間。,例2 求齊次線性方程組,的基礎(chǔ)解系。,解：,從而,令：,得該齊次線性方程組的通解：,由此可知：,是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。,例3 證明,也是上面齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,證明：驗(yàn)證向量組1, 2與1, 2相互等價便可,由R(1, 2) = R(1, 2) = R(1, 2, 1, 2), 得知向量組1, 2和1, 2等價。,即1, 2也是上面齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,3. 線性非齊次方程組的解結(jié)構(gòu),1) 若X = 1和X = 2皆是非齊次線性方程組AX=B的解，則X = 1 - 2必然是齊次線性方程組AX=0的解,2) 若X = 是非齊次線性方程組AX=B的解; X = 是對應(yīng)的齊次線性方程組AX=0的解，則X = + 仍然是非齊次線性方程組的解,3) 非齊次線性方程組的通解等于所對應(yīng)的齊次線性方程組的通解加上非齊次線性方程組的一個特解,證明：,設(shè)1, 2, , n-r是所對應(yīng)的齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，是非齊次線性方程組AX=B的一個特解,一方面，由2）得知：對于任何一組數(shù)c1, c2, , cn-r, X = c11 + c22 + + cn-rn-r + 是非齊次線性方程組AX=B的解,另一方面，若X = 是非齊次線性方程組AX=B的一個解，則由1）得知X = - 是所對應(yīng)的齊次線性方程組AX=0的一個解,從而存在一組數(shù)c1, c2, , cn-r使得 - = c11 + c22 + + cn-rn-r,即： = c11 + c22 + + cn-rn-r + ,綜上所述，非齊次線性方程組AX=B的通解為:,X = c11 + c22 + + cn-rn-r + ,例4. 求方程