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第5節(jié) 向心加速度1圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng),故圓周運(yùn)動(dòng)一定有加速度,任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度都指向圓心,這個(gè)加速度叫向心加速度。2向心加速度的大小為anr2,向心加速度方向始終沿半徑指向圓心,與線速度垂直。3向心加速度是由物體受到指向圓心的力產(chǎn)生的,反映了速度方向變化的快慢。一、 感受圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度1圓周運(yùn)動(dòng)必有加速度圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng),變速運(yùn)動(dòng)必有加速度。2勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向?qū)嵗厍蚶@太陽(yáng)做(近似的)勻速圓周運(yùn)動(dòng)光滑桌面上的小球由于細(xì)線的牽引,繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動(dòng)受力分析地球受太陽(yáng)的引力,方向指向太陽(yáng)中心,即為地球軌跡的圓心小球受重力、支持力、拉力三個(gè)力,合力總是指向圓心加速度分析由牛頓第二定律知,加速度方向與其合外力方向相同,指向圓心二、向心加速度 1定義做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體具有的指向圓心的加速度。2大小(1)an;(2)an2r。3方向沿半徑方向指向圓心,與線速度方向垂直。1自主思考判一判(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度的方向始終不變。()(2)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。()(3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度的大小不變。()(4)根據(jù)a知加速度a與半徑r成反比。()(5)根據(jù)a2r知加速度a與半徑r成正比。()2合作探究議一議如圖551所示,小球在拉力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng),請(qǐng)思考:圖551(1)小球的向心加速度是恒定的嗎?其方向一定指向圓心嗎?提示:小球的向心加速度方向時(shí)刻指向圓心,方向時(shí)刻改變,因此,小球的向心加速度不是恒定的。(2)若手握繩子的位置不變,增加小球的轉(zhuǎn)速,則它的向心加速度大小如何變化?提示:根據(jù)a2r可知,當(dāng)半徑不變時(shí),角速度變大時(shí),加速度a也變大。對(duì)向心加速度的理解1物理意義描述線速度改變的快慢,只表示線速度的方向變化的快慢,不表示其大小變化的快慢。2方向總是沿著圓周運(yùn)動(dòng)的半徑指向圓心,即方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直,方向時(shí)刻改變。3圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)不論加速度an的大小是否變化,an的方向是時(shí)刻改變的,所以圓周運(yùn)動(dòng)一定是變加速曲線運(yùn)動(dòng)。4變速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體,加速度并不指向圓心,該加速度有兩個(gè)分量:一是向心加速度,二是切向加速度。向心加速度表示速度方向變化的快慢,切向加速度表示速度大小變化的快慢。所以變速圓周運(yùn)動(dòng)中,向心加速度的方向也總是指向圓心。1關(guān)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的向心加速度方向,下列說(shuō)法正確的是()A與線速度方向始終相同B與線速度方向始終相反C始終指向圓心D始終保持不變解析:選C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體,它的向心加速度始終與線速度垂直且指向圓心,加速度的大小不變,方向時(shí)刻變化,所以C正確。2關(guān)于向心加速度的物理意義,下列說(shuō)法正確的是()A它描述的是線速度大小變化的快慢B它描述的是線速度方向變化的快慢C它描述的是物體運(yùn)動(dòng)的路程變化的快慢D它描述的是角速度變化的快慢解析:選B向心加速度始終與線速度方向垂直,故向心加速度只表示線速度的方向改變的快慢,不表示線速度的大小改變的快慢,A、D錯(cuò)誤,B正確;圓周運(yùn)動(dòng)中,線速度是描述物體運(yùn)動(dòng)路程變化快慢的物理量,C錯(cuò)誤。3多選關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度,下列說(shuō)法正確的是()A向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量B向心加速度只改變線速度的方向,不改變線速度的大小C向心加速度恒定D向心加速度的方向時(shí)刻發(fā)生變化解析:選ABD向心加速度只改變線速度的方向,所以向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量,故A正確;向心加速度的方向與速度的方向始終垂直,所以向心加速度只改變線速度的方向,不改變線速度的大小,故B正確;向心加速度大小a,由于v的大小不變,故向心加速度的大小不變,但向心加速度的方向始終指向圓心,所以向心加速度方向時(shí)刻改變,故C錯(cuò)誤,D正確。對(duì)向心加速度公式的理解和應(yīng)用1公式an該公式表明,對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)線速度一定時(shí),向心加速度的大小與運(yùn)動(dòng)半徑成反比;當(dāng)半徑一定時(shí),向心加速度的大小與線速度的平方成正比。該公式常用于分析涉及線速度的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題或有兩個(gè)物體做圓周運(yùn)動(dòng)且它們的線速度相同的情景。2公式an2r該公式表明,對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)角速度一定時(shí),向心加速度的大小與運(yùn)動(dòng)半徑成正比;當(dāng)半徑一定時(shí),向心加速度的大小與角速度的平方成正比。該公式常用于分析涉及角速度的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題或有兩個(gè)物體做圓周運(yùn)動(dòng)且它們的角速度相同的情景。3公式拓展在以上兩個(gè)公式的基礎(chǔ)上,結(jié)合描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的各物理量之間的關(guān)系,可得到以下公式:anvr42n2r。4向心加速度與半徑的關(guān)系根據(jù)上面的討論,加速度與半徑的關(guān)系與物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)有關(guān)。若線速度一定,an與r成反比;若角速度(或周期、轉(zhuǎn)速)一定,an與r成正比。如圖所示。典例如圖,自行車的大齒輪A、小齒輪B、后輪C是相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)部分,且半徑RA2RB、RC5RB,正常騎行自行車時(shí), A、B、C三輪邊緣的向心加速度的大小之比aAaBaC等于()A116B316C1210 D136解析A、B線速度大小相等,RARB21,根據(jù)a知,aAaB12。B、C角速度大小相等,RBRC15,根據(jù)aR2知,aBaC15。所以aAaBaC1210,故C正確,A、B、D錯(cuò)誤。答案C向心加速度公式的應(yīng)用技巧向心加速度的每一個(gè)公式都涉及三個(gè)物理量的變化關(guān)系,必須在某一物理量不變時(shí)分析另外兩個(gè)物理量之間的關(guān)系。在比較轉(zhuǎn)動(dòng)物體上做圓周運(yùn)動(dòng)的各點(diǎn)的向心加速度的大小時(shí),應(yīng)按以下步驟進(jìn)行:(1)先確定各點(diǎn)是線速度大小相等,還是角速度相同。(2)在線速度大小相等時(shí),向心加速度與半徑成反比,在角速度相同時(shí),向心加速度與半徑成正比。 1如圖為我國(guó)發(fā)射的繞月探測(cè)衛(wèi)星“嫦娥二號(hào)”,它在距月球表面200 km高的近月圓形軌道上以127 min的周期運(yùn)行,在繞月運(yùn)行的過(guò)程中“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星的向心加速度為(月球的半徑為1 738 km)()A1.3 m/s2B2.2 m/s2C3.8 m/s2D4.2 m/s2解析:選A衛(wèi)星的軌道半徑為:r200 km1 738 km1 938 km,則向心加速度為:a1.938106 m/s21.3 m/s2,故A正確,B、C、D錯(cuò)誤。2.如圖所示是自行車的輪盤(pán)與車軸上的飛輪之間的鏈條傳動(dòng)裝置。P是輪盤(pán)的一個(gè)齒,Q是飛輪上的一個(gè)齒。下列說(shuō)法中正確的是()AP、Q兩點(diǎn)角速度大小相等BP、Q兩點(diǎn)向心加速度大小相等CP點(diǎn)向心加速度小于Q點(diǎn)向心加速度DP點(diǎn)向心加速度大于Q點(diǎn)向心加速度解析:選CP、Q兩點(diǎn)是傳送帶傳動(dòng)的兩輪子邊緣上兩點(diǎn),則vPvQ,而rPrQ,vr,所以P、Q兩點(diǎn)角速度大小不相等,故A錯(cuò)誤;根據(jù)a及vPvQ,而rPrQ,可知P點(diǎn)向心加速度小于Q點(diǎn)向心加速度,故C正確,B、D錯(cuò)誤。1下列關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)的說(shuō)法正確的是()A勻速運(yùn)動(dòng)B勻加速運(yùn)動(dòng)C加速度不變的曲線運(yùn)動(dòng) D變加速曲線運(yùn)動(dòng)解析:選D勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng),它的加速度大小不變,方向始終指向圓心,是變量,故勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變加速曲線運(yùn)動(dòng),A、B、C錯(cuò),D對(duì)。2下列關(guān)于質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法中,正確的是()A由a知a與r成反比B由a2r知a與r成正比C由知與r成反比D由2n知與轉(zhuǎn)速n成正比解析:選D由a知,只有當(dāng)v一定時(shí)a才與r成反比;同理,由a2r知,只有當(dāng)一定時(shí)a才與r成正比;由知v一定,與r成反比,故A、B、C均錯(cuò)誤。而2n中,2是定值,與轉(zhuǎn)速n成正比,D正確。3多選一只質(zhì)量為m的老鷹,以速率v在水平面內(nèi)做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng),則關(guān)于老鷹的向心加速度的說(shuō)法正確的是()A大小為B大小為gC方向在水平面內(nèi) D方向在豎直面內(nèi)解析:選AC根據(jù)an可知選項(xiàng)A正確;由于老鷹在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),向心加速度始終指向圓心,所以向心加速度的方向在水平面內(nèi),C正確。4多選一小球被細(xì)線拴著做勻速圓周運(yùn)動(dòng),若其軌道半徑為R,向心加速度為a,則()A小球相對(duì)于圓心的位移不變B小球的線速度大小為C小球在時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的路程為D小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2解析:選BD做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的小球,相對(duì)于圓心的位移大小不變,但方向時(shí)刻在改變,故A錯(cuò)誤。由公式a得v,故B正確。由v知lvtt,故C錯(cuò)誤。由aR知T2,故D正確。5.如圖所示,A、B為嚙合傳動(dòng)的兩齒輪,rA2rB,則A、B兩輪邊緣上兩點(diǎn)的()A角速度之比為21B向心加速度之比為12C周期之比為12 D轉(zhuǎn)速之比為21解析:選B根據(jù)兩輪邊緣線速度相等,由vr,得角速度之比為ABrBrA12,故A錯(cuò)誤;由an,得向心加速度之比為aAaBrBrA12,故B正確;由T,得周期之比為T(mén)ATBrArB21,故C錯(cuò)誤;由n,得轉(zhuǎn)速之比為nAnBAB12,故D錯(cuò)誤。6.多選如圖所示,一個(gè)球繞中心軸線OO以角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則()Aa、b兩點(diǎn)的線速度相同Ba、b兩點(diǎn)的角速度相同C若30,則a、b兩點(diǎn)的線速度之比vavb2D若30,則a、b兩點(diǎn)的向心加速度之比aaab2解析:選BCD由于a、b兩點(diǎn)在同一球體上,因此a、b兩點(diǎn)的角速度相同,B正確;由vr知vavb,A錯(cuò)誤;又rarbcos ,則當(dāng)30時(shí),rarb,則vavbrarb2,C正確;由an2r知aaabrarb2,D正確。7.多選小金屬球質(zhì)量為m,用長(zhǎng)L的輕懸線固定于O點(diǎn),在O點(diǎn)的正下方處釘有一顆釘子P,把懸線沿水平方向拉直,如圖所示,若無(wú)初速度釋放小球。當(dāng)懸線碰到釘子后的瞬間(設(shè)線沒(méi)有斷)()A小球的角速度突然增大B小球的線速度突然減小到零C小球的向心加速度突然增大D小球的線速度突然增大解析:選AC由題意知,當(dāng)懸線運(yùn)動(dòng)到與釘子相碰時(shí),懸線仍然豎直,小球在豎直方向仍然只受重力和懸線的拉力,故其運(yùn)動(dòng)方向不受力,線速度大小不變;又,r減小所以增大;a,r減小則a也增大,故A、C正確。8多選關(guān)于向心加速度,以下說(shuō)法中正確的是()A物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),向心加速度就是物體的合加速度B物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),向心加速度就是物體的合加速度C物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度的方向始終指向圓心D物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度的方向始終指向圓心解析:選AD物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),向心加速度就是物體的合加速度;物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),向心加速度只是合加速度的一個(gè)分量,A正確,B錯(cuò)誤。物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),只具有向心加速度,加速度方向始終指向圓心;物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與切向加速度的合加速度不再指向圓心,C錯(cuò)誤,D正確。9如圖所示為兩級(jí)皮帶傳動(dòng)裝置,轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)皮帶均不打滑,中間兩個(gè)輪子是固定在一起的,輪1的半徑和輪2的半徑相同,輪3的半徑和輪4的半徑相同,且為輪1和輪2半徑的一半,則輪1邊緣的a點(diǎn)和輪4邊緣的c點(diǎn)相比()A線速度之比為14B角速度之比為41C向心加速度之比為81D向心加速度之比為18解析:選D由題意知2va2v3v2vc,其中v2、v3為輪2和輪3邊緣的線速度,所以vavc12,A錯(cuò)。設(shè)輪4的半徑為r, 則aaac,即aaac18,C錯(cuò),D對(duì)。,B錯(cuò)。10運(yùn)用納米技術(shù)能夠制造出超微電機(jī),英國(guó)的一家超微研究所宣稱其制造的超微電機(jī)轉(zhuǎn)子的半徑只有30 m,轉(zhuǎn)速高達(dá)2 000 r/min,試估算位于轉(zhuǎn)子邊緣的一個(gè)質(zhì)量為101026 kg的原子的向心加速度。(保留兩位有效數(shù)字)解析:周期T s0.03 s, rad/s,a2r30106 m/s21.3 m/s2。答案:1.3 m/s211做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體,10 s內(nèi)沿半徑是20 m的圓周運(yùn)動(dòng)100 m,試求物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)(1)線速度的大??;(2)角速度的大?。?3)周期的大??;(4)向心加速度的大小。解析:(1)線速度為v m/s10 m/s;(2)角速度為 rad/s0.5 rad/s;(3)周期為T(mén) s4 s;(4)向心加速度為a m/s25 m/s2。答案:(1)10 m/s(2)0.5 rad/s(3)4 s(4)5 m/s212.申雪、趙宏博是我國(guó)雙人花樣滑冰的名將,曾代表祖國(guó)在世界各大比賽中取得了驕人的成績(jī)。如圖所示是模擬趙宏博(男)以自己為轉(zhuǎn)動(dòng)軸拉著申雪(女)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),若趙宏博的轉(zhuǎn)速為30 r/min,申雪觸地冰鞋的線速度為4.7 m/s。(1)求申雪做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度。(2
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