中考專題(開放性問題專題)

中考專題（開放性問題專題）一知識網(wǎng)絡梳理教育部于1999、2000年接連印發(fā)的關于初中畢業(yè)、升學考試改革的指導意見中明確要求，數(shù)學試題應設計一定的“開放性問題”此后，開放型試題成為各地中考的必考試題所謂的開放型試題是指那些條件不完整，結論不確定的數(shù)學問題，常見的類型有條件觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結論，對激發(fā)學習興趣、培養(yǎng)想像、擴散、概括、隱喻等水平思維能力的探索創(chuàng)新能力十分有利，是今后中考的必考的題型開放型試題重在開發(fā)思維，促進創(chuàng)新，提高數(shù)學素養(yǎng)，所以是近幾年中考試題的熱點考題觀察、實驗、猜想、論證是科學思維方法，是新課標思維能力新添的內容，學習中應重視并應用開放題是中考題多樣化和時代發(fā)展要求的產(chǎn)物，單一的題型和測試目標限制了考生應用知識解決實際問題的能力，不利于激發(fā)學生的創(chuàng)造性開放性試題能為考生提供更大的考慮問題的空間，在解題途徑方面也是多樣的，這樣的試題是十分有利于考生發(fā)揮水平的，也有利于考生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結構的多樣性，它是開放題的目標；思維的多向性，它是開放題的實質；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑；知識的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實踐；內涵的發(fā)展性，它是開放題的認識過程開放或結論開放的問題能形成考生積極探究問題情景，鼓勵學生多角度、多側面、多層次地思考問題，有助于充分調動學生的潛在能力題型1條件開放與探索條件開放探索題的明確特征是缺少確定的條件，問題所需補充的條件不是得出結論的必要條件，所需補充的條件不能由結論推出題型2結論開放與探索給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應的結論，并且符合條件的結論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應的結論的“存在性”需要解題者進行推斷，甚至要求解題者探求條件在變化中的結論，這些問題都是結論開放性問題它要求解題者充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結論，這類題主要考查解題者的發(fā)散性思維和所學基本知識的應用能力 題型3解題方法的開放與探索策略開放性問題，一般指解題方法不惟一或解題途徑不明確的問題，這類問題要求解題者不墨守成規(guī)，善于標新立異，積極發(fā)散思維，優(yōu)化解題方案和過程二、知識運用舉例（一）條件開放例1.(04蘇州) 已知（x1，y1），(x2，y2)為反比例函數(shù)圖象上的點，當x1x20時，y1y2，則k的一個值可為_（只需寫出符號條件的一個k的值）解： 答案不唯一，只要符合k0即可，如k 1，或k 2例2.(05深圳市) 如圖，已知，在ABC和DCB中，ACDB，若不增加任何字母與輔助線，要使ABCDCB，則還需增加一個條件是_DCB 例2圖 解：答案不惟一.如：ABDC；ACBDBC；ADRt例3（07南京市）已知點位于第二象限，并且，為整數(shù)，寫出一個符合上述條件的點的坐標：答：，六個中任意寫出一個即可例4（05梅州）如圖，四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是對角線AC上的點（1）如果_ ，則DECBFA（請你填上能使結論成立的一個條件）；（2）證明你的結論分析：這是一道探索條件、補充條件的開放型試題，解決這類問題的方法是假設結論成立，逐步探索其成立的條件解：（1）AECF（OEOF；DEAC；BFAC；DEBF等等） （2）四邊形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，DCEBAF 又AECF，ACAEACCF，AFCE，DECBAF說明：考查了矩形的性質及三角形全等的判定例5（06泰州市）已知：MAN30，O為邊AN上一點，以O為圓心，2為半徑作O，交AN于D，E兩點，設ADx （1）如圖（1）當x取何值時，O與AM相切；（2）如圖（2）當x為何值時，O與AM相交于B，C兩點，且BOC90【解答】（1）在圖（1）中，當O與AM相切時，設切點為F連結OF，則OFAM，在RtAOF中，MAN30，OFOA2（x2），x2，當x2時，O與AM相切（2）在圖（2）中，過點O作OHBC于H當BOC90時，BOC是等腰直角三角形，BC2，OHBC，BHCH，OHBC在RtAHO中，A30，OHOA，（x2），x22當x22時，O與AM相交于B，C兩點，且BOC90【點評】解答這類問題往往是把結論反過來當條件用，本例利用了圓的切線性質和垂徑定理，構造特殊直角三角形，使問題得以求解（二）、結論開放例1（05湖南湘潭）如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，D為垂足由以上兩個條件可得_(寫出一個結論)解：12或BDDC或ABDACD等例2（04徐州）如圖，Ol與O2相交于點A、B，順次連結0l、A、02、B四點，得四邊形01A02B （1）根據(jù)我們學習矩形、菱形、正方形性質時所獲得的經(jīng)驗，探求圖中的四邊形有哪 些性質?(用文字語言寫出4條性質)性質1_； 性質2_；性質3_；性質4_（2）設O1的半徑為尺，O2的半徑為r(Rr)，0l，02的距離為d當d變化時， 四邊形01A02B的形狀也會發(fā)生變化要使四邊形01A02B是凸四邊形(把四邊形的任一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線同一旁的四邊形)則d的取值范圍是_解：（1）是開放性問題，答案有許多，如：性質1：相交兩圓連心線垂直公共弦；性質2：相交兩圓連心線平分公共弦；性質3：線段01A線段01B；性質4：線段02B線段02A；性質5：01A0201B02；等等（2）實質是相交兩圓的d與Rr的關系，應為RrdRr例3（06莆田市）已知矩形ABCD和點P，當點P在邊BC上任一位置（如圖所示）時，易證得結論：PA2PC2PB2PD2，請你探究：當P點分別在圖、圖中的位置時，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎樣的數(shù)量關系？請你寫出對上述兩種情況的探究結論，并利用圖證明你的結論 答：對圖的探究結論為_對圖的探究結論為_ 證明：如圖2 結論均是：PA2PC2PB2PD2 證明：如圖過點P作MNAD交AD于點M，交BC于點N ADBC，MNAD，MNBC 在RtAMP中，PA2PM2MA2 在RtBNP中，PB2PN2BN2 在RtDMP中，PD2DM2PM2 在RtCNP中，PC2PN2NC2 PA2PC2PM2MA2PN2NC2 PB2PD2PM2DM2BN2PN2 MNAD，MNNC，DCBC 四邊形MNCD是矩形 MDNC 同理 AMBN PM2MA2PN2NC2PM2DM2BN2PN2 即PA2PC2PB2PD2 【評析】本題也是一道結論開放題，通過閱讀題目已知條件及要求，不難探究出正確結論，但是說明理由時，有一定的難度正確作出輔助線，創(chuàng)造使用勾股的條件，是解決問題的關鍵（三）、綜合開放ADHFEGBC例1（05寧波）如圖，ABC中，ABAC，過點A作GEBC，角平分線BD、CF相交于點H，它們的延長線分別交GE于點E、G.試在圖中找出3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明解：BCFCBD. BHFCHD. BDACFA. (注意答案不唯一)證明BCFCBDABAC.ABCACB. BD、CF是角平分線.BCFACB，CBDABCBCFCBD. 又BCCB.BCFCBD例2（05江西?。┮阎獟佄锞€與軸的交點為A、B（B在A的右邊），與軸的交點為C（1）寫出時與拋物線有關的三個正確結論；（2）當點B在原點的右邊，點C在原點的下方時，是否存在BOC為等腰三角形的情形?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）請你提出一個對任意的值都能成立的正確命題（說明：根據(jù)提出問題的水平層次，得分有差異）解：當m1時，拋物線解析式為y1，可從對稱軸、頂點坐標、開口方向、最值、增減性等多方面去寫出許多正確結論，任寫三個就可；（2）存在m2；（3）是結論開放題，答案有許多，如：拋物線y1與x軸總有交點，頂點縱坐標為1或函數(shù)最大值為1等例3（07福州市）如圖9，直線，連結，直線及線段把平面分成、四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分當動點落在某個部分時，連結，構成，三個角（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是角）（1）當動點落在第部分時，求證：；（2）當動點落在第部分時，是否成立（直接回答成立或不成立）？圖9（3）當動點在第部分時，全面探究，之間的關系，并寫出動點的具體位置和相應的結論選擇其中一種結論加以證明解：（1）解法一：如圖91延長BP交直線AC于點E ACBD ， PEA PBD APB PAE PEA ， APB PAC PBD 解法二：如圖92過點P作FPAC ， PAC APF . ACBD ， FPBD . FPB PBD . APB APF FPB PAC PBD 解法三：如圖93， ACBD ， CAB ABD 180即 PAC PAB PBA PBD 180又APB PBA PAB 180， APB PAC PBD . （2）不成立. （3）(a)當動點P在射線BA的右側時，結論是PBDPACAPB (b)當動點P在射線BA上，結論是PBD PAC APB 或PAC PBD APB 或 APB 0，PAC PBD（任寫一個即可）(c) 當動點P在射線BA的左側時，結論是PAC APB PBD 選擇(a) 證明：如圖94，連接PA，連接PB交AC于M ACBD ， PMC PBD 又PMC PAM APM ， PBD PAC APB 選擇(b) 證明：如圖95 點P在射線BA上，APB 0 ACBD ， PBD PAC PBD PAC APB或PAC PBDAPB或APB 0，PAC PBD. 選擇(c) 證明：如圖96，連接PA，連接PB交AC于F ACBD ， PFA PBD PAC APF PFA ， PAC APB PBD 三、知識鞏固訓練1（05十堰）代數(shù)式的三個實際意義是：_2（05荊門市）多項式x2px12可分解為兩個一次因式的積，整數(shù)p的值是（寫出一個即可）3（05常德）請寫出一個開口向上，對稱軸為直線x2，且與y軸的交點坐標為(0，3)的拋物線的解析式_4（05紹興市）平移拋物線，使它經(jīng)過原點，寫出平移后拋物線的一個解析式_5（05海安）請給出一元二次方程_0的一個常數(shù)項，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根6（05資陽）已知asin60，bcos45，c，d，從a、b、c、d這4個數(shù)中任意選取3個數(shù)求和；7（05資陽）甲、乙兩同學開展“投球進筐”比賽，雙方約定： 比賽分6局進行，每局在指定區(qū)域內將球投向筐中，只要投進一次后該局便結束； 若一次未進可再投第二次，以此類推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未進，該局也結束； 計分規(guī)則如下：a. 得分為正數(shù)或0；b. 若8次都未投進，該局得分為0；c. 投球次數(shù)越多，得分越低；d. 6局比賽的總得分高者獲勝 （1） 設某局比賽第n(n1，2，3，4，5，6，7，8)次將球投進，請你按上述約定，用公式、表格或語言敘述等方式，為甲、乙兩位同學制定一個把n換算為得分M的計分方案；（2） 若兩人6局比賽的投球情況如下(其中的數(shù)字表示該局比賽進球時的投球次數(shù)，“”表示該局比賽8次投球都未進)：第一局第二局第三局第四局第五局第六局甲54813乙82426根據(jù)上述計分規(guī)則和你制定的計分方案，確定兩人誰在這次比賽中獲勝8. （2006年山東?。┤鐖D，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O給出下列三個條件： EBODCO；BEOCDO；BECD （1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情形，證明ABC是等腰三角形 9（2006年綿陽市）在正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連結PA，分別過點B、D作BEPA、DFPA，垂足分別為E、F，如圖 （1）請?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數(shù)量關系若點P在DC的延長線上（如圖），那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關系？若點P在CD的延長線上呢（如圖）？請分別直接寫出結論； （2）請在（1）中的三個結論中選擇一個加以證明10（07甘肅省白銀等7市新課程）探究下表中的奧秘，并完成填空：一元二次方程兩個根二次三項式因式分解x22x10x11 ， x21x22x1（x1）（x1）x23x20x11 ， x22x23x2（x1）（x2）3x2x20x1， x213x2x22（x）（x1）2x25x20x1， x222x25x22（x）（x2）4x213x30x1_， x2_4x213x34（x_）（x_）將你發(fā)現(xiàn)的結論一般化，并寫出來11（07甘肅省隴南市）在平面幾何中，我們可以證明：周長一定的多邊形中，正多邊形面積最大使用上面的事實，解答下面的問題：用長度分別為2、3、4、5、6（單位：cm）的五根木棒圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），求能夠圍成的三角形的最大面積12（07安徽?。┌从覉D所示的流程，輸入一個數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關系式就輸出一個數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個要求：（）新數(shù)據(jù)都在60100（含60和100）之間；（）新數(shù)據(jù)之間的大小關系與原數(shù)據(jù)之間的大小關系一致，即原數(shù)據(jù)大的對應的新數(shù)據(jù)也較大（1）若y與x的關系是yxp(100x)，請說明：當p時，這種變換滿足上述兩個要求；【解】（2）若按關系式y(tǒng)a(xh)2k(a0)將數(shù)據(jù)進行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關系式（不要求對關系式符合題意作說明，但要寫出關系式得出的主要過程）【解】四、知識鞏固訓練答案：1、（長：mn、寬mn）；摩托車每輛m元，自行車每輛n元，m輛摩托車比n輛自行車貴多少錢