空間距離的概念及其求法.ppt

11.2.4 空間距離的概念及其求法,一.幾種距離的概念,1.點到平面的距離 2. 直線到平面的距離 3. 兩平面的距離 4. 異面直線的距離,二.向量法求距離,（1）點到平面距離的向量公式,d=,（2）線面、面面距離的向量公式,d=,或,d=,（3）異面直線的距離的向量公式,d=,求空間中點到直線的距離,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a， E是BB1的中點，則E到AD1的距離是( ),A a B a C a D a,解析：連結(jié)D1E、AE，過E作EHAD1于H， 在AD1E中易求EH= a.,D,求點到平面的距離,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB=1，AA1=2， 點E為CC1中點，點F為BD1中點. （1）證明EF為BD1與CC1的 公垂線； （2）求點 D1到面BDE的距離.,思路分析：第一問即是證明兩組線線垂直， 第二問可考慮等體積法。,解答（I）證明：取BD中點M，連結(jié)MC，F(xiàn)M，,F為BD1中點， FMD1D且FM= D1D,又EC= CC1，且ECMC，,四邊形EFMC是矩形,EFCC1,又CM面DBD1,EF面DBD1,BD1 面DBD1，EFBD1 故EF為BD1與CC1的公垂線.,（II）解：連結(jié)ED1，有 ，由（I） 知EF面DBD1，設(shè)點D1到面BDE的距離為d， 則SDBCd=SDBD1EF.，,AA1=2AB=1.,故點D1到平面BDE的距離為,點評與感悟：等體積法是求點到平面距離的常用方法，一般 是找到一個三棱錐，利用選擇不同的頂點后，三棱錐自身體積 相等的特性進(jìn)行求解。使用等體積法的前提是幾何體的體積一 定可以通過題設(shè)算得。,設(shè)A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，）， D（，4，8），求D到平面ABC的距離.,解：設(shè)平面ABC的法向量n=（x，y，z），,n =0，n =0，,即,令z=2，則n=（3，2，2）.,cosn， =,點D到平面ABC的距離為d，,d= |cosn， |= =,或,點評與感悟：求點到平面的距離除了根據(jù)定義及等積變換外， 還可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個 法向量n的坐標(biāo)，再求出已知點P與平面內(nèi)任一點M構(gòu)成的向量 的坐標(biāo)，,求異面直線間的距離,如圖所示，已知四邊形ABCD、 EADM都是邊長為a的正方形， 點P、Q分別是ED與AC的中點，,解：建立空間直角坐標(biāo)系，使得D（0，0，0）、 A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、 M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a）， 則由中點坐標(biāo)公式得,（1） =（a/2，0，a/2）， =（a/2，a/2，a），,=（a/2）a/2+0+a/2（a）=3/4a2，,且 = a， = a.,cos ， = = =,故得兩向量所成的角為150.,（2）設(shè)n=（x，y，z）是平面EFB的單位法向量，即|n|=1， n平面EFB，n,n 又 =（a，a，0）， =（0，a，a），即有,得其中的一組解,n=（ , , ），=（ a/2 ，0，a/2）.,設(shè)所求距離為d，則d=| n|= a,（3）設(shè)e=（x1，y1，z1）是兩異面直線的公垂線上的單位 方向向量，則由 =(-a/2,0,a/2). =(a/2,