階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.ppt

3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,單位脈沖信號(hào)與單位階躍信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度信號(hào)的三階導(dǎo)數(shù)相等。 單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡響應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度響應(yīng)的三階導(dǎo)數(shù)也相等。,3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)線性系統(tǒng)的特點(diǎn),開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:,閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱(chēng)為二階系統(tǒng)。它在控制工程中的應(yīng)用極為廣泛。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，也可簡(jiǎn)化為二階系統(tǒng)來(lái)研究。,典型二階系統(tǒng)的微分方程 ：,3.3.1 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,稱(chēng)為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)， 稱(chēng)為阻尼系數(shù)， 稱(chēng)為無(wú)阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。這兩個(gè)參數(shù)稱(chēng)為二階系統(tǒng)特征參數(shù)。T稱(chēng)為二階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。,注意：當(dāng) 不同時(shí)，特征根有不同的形式，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。, 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛的虛根，稱(chēng)為零(無(wú))阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。, 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱(chēng)為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過(guò)程。, 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)相等的實(shí)根，稱(chēng)為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。, 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)不等的實(shí)根，稱(chēng)為過(guò)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。,阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)形式如下表所示：,3.3.3 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過(guò)程）,最大超調(diào)量,2、調(diào)節(jié)時(shí)間 ：,例 有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其方塊圖如圖所示。其中K=4，T=1。試求： (1) 該系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率 wn；(2)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)z；(3)系統(tǒng)超調(diào)量d%和和調(diào)整時(shí)間ts；（4）如果要求z0.707，在不改變時(shí)間常數(shù)T的情況下，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K。,解： 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,（4）當(dāng)要求在z0.707時(shí)，wn=1/2z= 0.707，則Kwn2=0.5?？梢?jiàn)要滿(mǎn)足二階工程最佳參數(shù)的要求（該例中為增加阻尼系數(shù)），必須降低開(kāi)環(huán)放大系數(shù) K的值。,傳遞函數(shù)：,當(dāng) 0 z 1 時(shí)，極點(diǎn)分布如下：,3.4.1 典型三階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由三部分組成：穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，共軛復(fù)極點(diǎn)形成的振蕩分量，實(shí)極點(diǎn)構(gòu)成的衰減指數(shù)項(xiàng)分量。,閉環(huán)系統(tǒng)若存在離虛軸最近的一對(duì)共軛極點(diǎn)或一個(gè)實(shí)極點(diǎn)； 極點(diǎn)附近無(wú)零點(diǎn)； 其他極點(diǎn)距虛軸的距離是離虛軸最近的極點(diǎn)距虛軸的距離的5倍以上。,主導(dǎo)極點(diǎn)：滿(mǎn)足下列條件的極點(diǎn)稱(chēng)為主導(dǎo)極點(diǎn)。,主導(dǎo)極點(diǎn)在y(t)中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)衰減最慢，系數(shù)最大，系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)主要由它決定。具有主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)可近似為二階或一階系統(tǒng)。,3.4.3 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn),3.5.2 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性-充分必要條件,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根。或者說(shuō)，特征方程的根應(yīng)全部位于s平面的左半部。,（一）胡爾維茨判據(jù),胡爾維茨行列式的構(gòu)造：主對(duì)角線上的各項(xiàng)為特征方程的第二項(xiàng)系數(shù) 至最后一項(xiàng)系數(shù) ，在主對(duì)角線以下各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次增加，在主對(duì)角線以上各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次減小。當(dāng)下標(biāo)大于n或小于0時(shí)，行列式中的項(xiàng)取0。,胡爾維茨行列式：,3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù),以4階系統(tǒng)為例使用胡爾維茨判據(jù)：,穩(wěn)定的充要條件是：,設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： 1）方程式所有系數(shù)為正； 2）所有奇數(shù)階或偶數(shù)階胡爾維茨行列式為正，即：奇0或偶0。 根據(jù)李納德-戚帕特判據(jù)，若系統(tǒng)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)中有負(fù)或零（缺項(xiàng)），則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,對(duì)于n4的線性系統(tǒng),其穩(wěn)定的充要條件還可以表示為如下簡(jiǎn)單形式: n=2時(shí):特征方程的各項(xiàng)系數(shù)嚴(yán)格為正. n=3時(shí):特征方程的各項(xiàng)系數(shù)嚴(yán)格為正,且2 0 n=4時(shí):特征方程的各項(xiàng)系數(shù)嚴(yán)格為正,且2 0以及2an-1 2an-4/an-3,3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的另一種形式,李納德-戚帕特判據(jù),例2,設(shè)線性系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K,T應(yīng)滿(mǎn)足的條件。,根據(jù)李納德-戚帕特判據(jù)，K0,T0且,（二）、勞斯判據(jù) 設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為,勞斯陣列的前兩行元素由特征方程的系數(shù)組成，第一行由特征方程的第一、三、五、項(xiàng)系數(shù)組成，第二行由特征方程的第二、四、六、項(xiàng)系數(shù)組成。若特征方程有缺項(xiàng)，則該項(xiàng)系數(shù)以零計(jì)。,勞斯陣如下：,3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯穩(wěn)定性判據(jù),以后各項(xiàng)的計(jì)算式為：,依次類(lèi)推?？汕蟮?勞斯判據(jù)：系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部根的數(shù)目與勞斯陣列第一列元素中符號(hào)變化的次數(shù)相等。 根據(jù)這個(gè)判據(jù)可以得出線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：由系統(tǒng)特征方程系數(shù)組成的勞斯陣列的第一列元素沒(méi)有符號(hào)變化。 若勞斯陣列第一列元素的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程的根在s右半平面的個(gè)數(shù)，表明相應(yīng)的線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。,一. 勞思陣某一行第一項(xiàng)系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。導(dǎo)致勞思陣下一列無(wú)法計(jì)算。 處理辦法：用很小的正數(shù) 代替零的那一項(xiàng)，然后據(jù)此計(jì)算出勞斯陣列中的其他項(xiàng)。若第一次零（即 ）與其上項(xiàng)或下項(xiàng)的符號(hào)相反，計(jì)作一次符號(hào)變化。,3.5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯穩(wěn)定性判據(jù)的特殊情況,二.勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少有下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號(hào)相反的一對(duì)實(shí)根，或一對(duì)共軛虛根，或?qū)ΨQ(chēng)于虛軸的兩對(duì)共軛復(fù)根。,處理辦法：可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，對(duì)此輔助方程式對(duì)s求導(dǎo)所得方程的系數(shù)代替全零的行。大小相等，位置徑向相反的根可以通過(guò)求解輔助方程得到。輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)的。,例5：,設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,建立勞斯表：,若勞斯表某行第一列系數(shù)為零，則勞斯表無(wú)法計(jì)算下去，可以用無(wú)窮小的正數(shù)代替0，接著進(jìn)行計(jì)算，勞斯判據(jù)結(jié)論不變。,由于勞斯表中第一列系數(shù)有負(fù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,例9系統(tǒng)的特征方程為： 該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？,解：勞斯陣如下,勞斯陣第一列系數(shù)全為正，所以系統(tǒng)穩(wěn)定,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：,定義：誤差信號(hào) 在時(shí)間 趨于無(wú)窮大時(shí)的數(shù)值定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，記為 。即：,誤差信號(hào) 包括瞬態(tài)分量 和穩(wěn)態(tài)分量 兩部分.由于系統(tǒng)必須穩(wěn)定,故當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí),必有瞬態(tài)分量 趨于零,因而,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 定義為誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量,對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差可以借助拉氏變換