方差分析本科畢業(yè)論文.doc

本科學(xué)生畢業(yè)論文方差分析作 者 院 (系) 專 業(yè) 年 級(jí) 學(xué) 號(hào) 指導(dǎo)老師 日 期 方差分析 摘 要：方差分析是從觀察變量的方差入手，研究諸多控制變量中哪些變量是對(duì)觀測(cè)變量有顯著影響的變量.本文根據(jù)不同需要把某變量方差分解為不同的部分，比較它們之間的大小并用檢驗(yàn)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法，并且用excel解決了一些問題.關(guān)鍵詞：?jiǎn)我蛩胤讲罘治?；雙因素方差分析；組間方差；組內(nèi)方差；統(tǒng)計(jì)量1 方差分析問題的提出假設(shè)檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)兩總體的均值是否差異顯著，對(duì)于多個(gè)總體均值是否差異顯著的問題，如果按照每一對(duì)總體進(jìn)行一次檢驗(yàn)，顯然要花費(fèi)很多時(shí)間，而方差分析能一次性地檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否存在顯著差異.因此，方差分析所提供的處理方法比兩兩比較的處理方法要方便很多. 例1：取一批由同種原料織成的布，用不同的染整工藝進(jìn)行縮水實(shí)驗(yàn)，以考察不同的染整工藝對(duì)布的縮水率有無顯著影響，進(jìn)而可以尋找出縮水率較小的染整工藝.現(xiàn)有五種不同的工藝，在每一工藝下重復(fù)處理四塊布，測(cè)得其縮水率數(shù)據(jù)如下表所示，試問五種不同的染整工藝的平均縮水率有無顯著差異？表1 染整工藝縮水率4.36.85.26.56.16.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.48.9例2：在飼料養(yǎng)雞增肥的研究中，某研究所提出三種飼料配方:是以魚粉為主的飼料是以槐樹粉為主的飼料,是以苜蓿粉為主的飼料.為比較三種飼料的效果，特選24只相似的雛雞隨機(jī)均分為三組，每組各喂一種飼料，60天后觀察它們的重量，試驗(yàn)結(jié)果如下所示：表2飼料 雞重/g107310091060100110021012100910281107109299011091090107411221001109310291080102110221032102910482 基本概念指標(biāo)：衡量試驗(yàn)條件好壞的變量稱為指標(biāo)，用y表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量.在例1中，縮水率就是試驗(yàn)指標(biāo). 因子：在試驗(yàn)中影響指標(biāo)y的因素稱為因子，它們常用大寫字母、等來表示.在例1中染整工藝對(duì)指標(biāo)縮水率有影響，因此染整工藝就是因子，記為 水平：在試驗(yàn)中因子所處的狀態(tài)稱為因子的水平，用表示因子的字母加下標(biāo)來表示，譬如因子的水平用等來表示.在例1中有五種染整工藝，這便是染整工藝這一因子五個(gè)水平，分別記為試驗(yàn)條件（也稱處理）：在單因子試驗(yàn)中，每個(gè)水平就是一個(gè)處理，在多因子試驗(yàn)中，每個(gè)因子取一個(gè)特定的水平，這些特定水平的組合稱其為一個(gè)試驗(yàn)條件，又稱為一個(gè)處理.3 基本假定從最簡(jiǎn)單的單因子試驗(yàn)問題著手，介紹在方差分析中所作的假定.假定因子有個(gè)水平，記為在水平下指標(biāo)值的全體便構(gòu)成一個(gè)總體，共有個(gè)總體.我們有如下假定：(1)假定第個(gè)總體服從正態(tài)分布，其均值為， (2)每一總體的方差相等，記為； (3)從第個(gè)總體獲得一個(gè)容量為的樣本為，且這個(gè)樣本相立. 在上述三個(gè)假定下，比較各個(gè)總體的均值是否相同的問題，即要檢驗(yàn)如下假設(shè)不全相等，檢驗(yàn)這一對(duì)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)方法便是方差分析.當(dāng)拒絕時(shí)，表示不同水平下的指標(biāo)的均值有顯著差異，此時(shí)稱因子是顯著的，否則稱因子不顯著. 4 統(tǒng)計(jì)模型按假定有，因此可以認(rèn)為觀察值與其均值的差是隨機(jī)誤差，從而 有如下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式：由及各個(gè)相互獨(dú)立，可知各相互獨(dú)立，且都服從.因此可以給出如下的單因子方差分析統(tǒng)計(jì)的模型： 在該模型下檢驗(yàn)的假設(shè)是：，為了推廣到兩因子及多因子方差分析方便起見，引入一般平均與效應(yīng)的概念，如記各均值的平均為：稱為一般平均，或稱為總平均，又記它表示從水平的均值中除去總均值后特有的貢獻(xiàn)，稱為水平的效應(yīng)，它可正可負(fù)，容易看出，諸受到約束： 這樣一來，統(tǒng)計(jì)模型可改寫為， 在該模型下檢驗(yàn)的假設(shè)可以改寫為：5 基本思想5.1 平方和分解眾所周知，各數(shù)據(jù)的差異程度（即波動(dòng)大?。┛捎盟鼈兊目偲钇椒胶停ê?jiǎn)稱總平方和）去度量：，其中為自由度.引起數(shù)據(jù)波動(dòng)的原因不外有如下兩個(gè)：（1）由于因子的不同水平引起的，當(dāng)原假設(shè)不真時(shí)，各個(gè)水平下指標(biāo)的均值（簡(jiǎn)稱水平均值）不同，諸樣本均值間的差異程度可用如下的偏差平方和去度量：這里乘以是為每個(gè)水平進(jìn)行了次試驗(yàn).這個(gè)平方和稱為組間偏差平方和，又稱為因子偏差平方和，簡(jiǎn)稱因子平方和.（2）由于試驗(yàn)存在隨機(jī)誤差，即使在同一水平下獲得的數(shù)據(jù)也會(huì)有差異，這是除因子水平外的一切原因引起的，我們將它們歸結(jié)為隨機(jī)誤差，可以用組內(nèi)偏差平方和（也稱為誤差平方和）表示：由于考慮到交叉乘積項(xiàng)之和為0，故有如下總平方和分解式：5.2 均方（平均偏差平方和）與比偏差平方和Q的大小與數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（自由度）有關(guān)，一般說來，數(shù)據(jù)越多，其偏差平方和越大.為了便于在偏差平方和間進(jìn)行比較，統(tǒng)計(jì)上引入了均方和的概念，它定義為，其意為平均每個(gè)自由度上有多少平方和，它比較好地度量了一組數(shù)據(jù)的離散程度.如今要對(duì)因子平方和與誤差平方和之間進(jìn)行比較，用其均方和進(jìn)行比較更為合理，因?yàn)榫胶团懦俗杂啥炔煌a(chǎn)生的干擾.故用作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量.如果，則認(rèn)為因子顯著；若，則說明因子不顯著.經(jīng)過簡(jiǎn)單推導(dǎo)，可以給出常用的各偏差平方和的計(jì)算公式如下：.6 單因子方差分析 設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)中只考慮一個(gè)因子，它有個(gè)水平，在每個(gè)水平下進(jìn)行次重復(fù)試驗(yàn)，其結(jié)果用表示，常常把數(shù)據(jù)列成如表3的形式：表3水平試驗(yàn)數(shù)據(jù)和均值例3：某連鎖商業(yè)企業(yè)在同城三個(gè)不同的地點(diǎn)開了三家分店，從這三家分店隨機(jī)抽了5天的營(yíng)業(yè)額資料如表4表4第一家分店第二家分店第三家店第一天10714第二天12118第三天9812第四天81310第五天111011試分析這三家分店的平均日營(yíng)業(yè)額是否相同，從而確定地點(diǎn)因素是否對(duì)日均營(yíng)業(yè)額有影響（），如果把每一個(gè)分店的日營(yíng)業(yè)額看成一個(gè)總體，以上問題的實(shí)質(zhì)是檢驗(yàn)這三個(gè)總體的均值是否相等：，其中，分別為三分店的平均日營(yíng)業(yè)額.通過excel，進(jìn)行單因素方差分析，可以得到兩個(gè)統(tǒng)計(jì)表，并且得出統(tǒng)計(jì)量：表5方差分析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治鼋M觀測(cè)數(shù)求和平均方差列 1550102.5列 25499.85.7列 3555115方差分析差異源-value crit組間4066666670.4696970.6362153.885294組內(nèi)52.8124.4總計(jì)56.9333333314由上表可得：，樣本的統(tǒng)計(jì)量，分析表給出了臨界值是，接受，即沒有充分證據(jù)說明三個(gè)分店的地點(diǎn)不同對(duì)日均營(yíng)業(yè)額產(chǎn)生了影響.如果直接從值進(jìn)行判斷，由于，結(jié)論也是接受原假設(shè).6.1 重復(fù)數(shù)不等的方差分析例4： 某型號(hào)化油器原中小喉管的結(jié)構(gòu)使油耗較大，為節(jié)約能源，設(shè)想了兩種改進(jìn)方案以降低油耗.油耗的多少用比油耗進(jìn)行度量，現(xiàn)在對(duì)用各種結(jié)構(gòu)的中小喉管制造的化油器分別測(cè)定其比油耗，數(shù)據(jù)如下.假定每一種結(jié)構(gòu)下的比油耗服從等方差的正態(tài)分布，試問中小喉管的結(jié)構(gòu)對(duì)平均比油耗的影響是否顯著.表6水平：原結(jié)構(gòu)11.012.87.68.34.75.59.310.3：改進(jìn)方案12.84.5-1.50.2：改進(jìn)方案24.36.11.43.6現(xiàn)在對(duì)這些數(shù)據(jù)做方差分析用excel，有下表7表7方差分析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治鼋M觀測(cè)數(shù)求和平均方差行1869.58.68757.518393行2461.57.126667行3415.43.853.776667方差分析差異源-valuecrit組間155.6456277.8228111.855070.0011743.805565組內(nèi)85.33875136.564519總計(jì)240.984415設(shè)，從分布表查得，由于求得的，所以在水平上因子是顯著的，說明不同的中小喉管結(jié)構(gòu)生產(chǎn)化油器的平均比油耗有明顯的差異.6.2 各水平均值與誤差方差的估計(jì)當(dāng)因子是顯著的，我們還可以給出每一水平均值與水平效應(yīng)的估計(jì)，以便找出最好的水平.，它們都是相應(yīng)參數(shù)的無偏估計(jì)，從而第個(gè)水平均值的無偏估計(jì)為誤差方差的無偏估計(jì)： ，可取得的估計(jì)為.6.3 多重比較 在單因子方差分析中，若經(jīng)檢驗(yàn)拒絕原假設(shè)，這表明，因子的個(gè)水平均值不全相等，但不一定兩兩之間都有差異.故還需進(jìn)一步去確認(rèn)哪些水平均值之間確有顯著的差異，哪些水平之間無顯著的差異.這就要進(jìn)行多重比較.同時(shí)比較任意兩個(gè)水平均值間有無顯著差異的問題稱為多重比較.這里的關(guān)鍵詞是“同時(shí)”兩字.若有r(r2)個(gè)水平均值，則同時(shí)檢驗(yàn)以下個(gè)假設(shè)的檢驗(yàn)就是多重比較的問題：譬如在時(shí)，多重比較問題就是要同時(shí)檢驗(yàn)如下三個(gè)假設(shè)：直接考慮，當(dāng)為真時(shí)，不應(yīng)過大，過大就應(yīng)拒絕.因此在同時(shí)考慮個(gè)假設(shè)時(shí)，“諸中至少有一個(gè)不成立”就構(gòu)成多重比較的拒絕域，它應(yīng)有如下形式:這里表示水平下數(shù)據(jù)的平均值，.對(duì)于給定的顯著性水平，就要確定這樣的臨界值，使得上述個(gè)假設(shè)都成立時(shí)有. 7 兩因子方差分析如果在一個(gè)試驗(yàn)中需要同時(shí)考察兩個(gè)因子和，并設(shè)因子有個(gè)水平，因子有個(gè)水平，這時(shí)共有個(gè)不同的試驗(yàn)條件，也就是說有個(gè)總體.現(xiàn)做如下假設(shè)： 每一個(gè)總體的分布是正太分布，其均值為，它與因子及的水平有關(guān)；其方差相等，都是. 現(xiàn)在我們不僅需要分析因子的不同水平對(duì)指標(biāo)的均值有無顯著的影響，還需要分析因子的不同水平對(duì)指標(biāo)的均值有無顯著的影響，有時(shí)還需要回答兩個(gè)因子不同水平的搭配對(duì)指標(biāo)的均值有無特殊的影響，這種特殊影響如果存在就稱為因子與間有交互作用，記為或.7.1 無交互作用下的方差分析：設(shè)與是可能對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有影響的兩個(gè)因素，相互獨(dú)立，無交互作用.設(shè)在雙因素各種水平的組合下進(jìn)行試驗(yàn)或抽樣，得數(shù)據(jù)如表8：表8因素均值因素均值表中每行均值是在因素的各個(gè)水平上試驗(yàn)結(jié)果的平均數(shù)；表中每列的均值是在因素的各種水平上試驗(yàn)的平均數(shù).以上數(shù)據(jù)的離差平方和分解形式為：上式中，表示的是因素的組間方差總和，是因素的組間方差總和，都是由各因素在不同的水平下各自的均值差異引起的；仍是組內(nèi)方差的部分，由隨機(jī)誤差產(chǎn)生.各個(gè)方差的自由度是：的自由度為，的自由度為，的自由度為，的自由度為.各個(gè)方差對(duì)應(yīng)的均方差是：對(duì)因素而言，對(duì)因素而言，；對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)而言，我們得到檢驗(yàn)因素與影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量分別是，.例5：某企業(yè)有三臺(tái)不同型號(hào)的設(shè)備，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，現(xiàn)有五名工人輪流在此三臺(tái)設(shè)備上操作，記錄下他們的日產(chǎn)量如表所示.試根據(jù)方差分析說明這三臺(tái)設(shè)備之間和五名工人之間對(duì)日產(chǎn)量的影響是否顯著？表9工人1工人2工人3工人4工人5設(shè)備A6472638178設(shè)備B7566617380設(shè)備C7867806971解：檢驗(yàn)的假設(shè)有兩個(gè)，第一個(gè)假設(shè)是針對(duì)設(shè)備（設(shè)為因素）的：H01：三臺(tái)設(shè)備對(duì)日產(chǎn)量沒有顯著影響；：三臺(tái)設(shè)備對(duì)日產(chǎn)量有顯著影響.第二個(gè)假設(shè)是針對(duì)人員（設(shè)為因素）的：工人技術(shù)對(duì)日產(chǎn)量沒有顯著的影響；：工人技術(shù)對(duì)日產(chǎn)量有顯著影響.將以上數(shù)據(jù)輸入excel表格中，進(jìn)行“無重復(fù)雙因素分析”，輸出的方差分析表如下：方差分析：無重復(fù)雙因素分析表10觀測(cè)數(shù)求和平均方差設(shè)備A535871.665.3設(shè)備B53557156.5設(shè)備C53657332.5工人1321772.3333354.33333工人2320568.3333310.33333工人3320468109工人4322374.3333337.33333工人5322976.3333322.33333方差分析差異源行10.533325.2666670.092371列161.0667440.266670.706226誤差456.1333857.01667總計(jì)627.733314從表中可知：接受，沒有證據(jù)證明三臺(tái)設(shè)備對(duì)日產(chǎn)量有顯著影響；，接受，也沒有證據(jù)證明五名工人的技術(shù)對(duì)日產(chǎn)量有顯著影響.7.2 有交互作用的方差分析：為了研究?jī)蓚€(gè)因素是否獨(dú)立，有無交互作用，我們需要在各個(gè)因素水平的組合下，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)；因此，有交互作用時(shí)，方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)果不同于無交互作用的情形.設(shè)因素與因素每一對(duì)水平搭配下重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)都是，得試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表11：表11因素因素表中的表示的是在因素水平組合下第次試驗(yàn)的結(jié)果.在此組合下試驗(yàn)結(jié)果的平均值為：進(jìn)一步記：則我們類似有以下的離差平方和分解形式：式中 ，與無交互作用的雙因素方差分解相比，這里多出了一項(xiàng)，它剛好反映了兩個(gè)因素交互作用的結(jié)果.離差平方和，和的自由度分別是.我們得到如下的均方差： 則檢驗(yàn)因素與影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量分別是： .檢驗(yàn)交互影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量是：.例6：為了分析光照因素與噪音因素對(duì)工人生產(chǎn)有無影響，光照效應(yīng)與噪音效應(yīng)應(yīng)有交互作用，在此兩因素不同的水平組合下做試驗(yàn)，結(jié)果如表12：表12因素因素15 15 1719 19 1616 18 2117 17 1715 15 1519 22 2215 17 1618 17 1618 18 1818 20 2015 16 1717 17 17 解： 檢驗(yàn)的假設(shè)有三個(gè)： ：光照因素對(duì)產(chǎn)量沒有顯著影響； ：光照因素對(duì)產(chǎn)量有顯著影響； ：噪音因素對(duì)產(chǎn)量沒有顯著影響； ：噪音因素對(duì)產(chǎn)量有顯著影響；：光照效應(yīng)與噪音效應(yīng)沒有交互作用；：光照效應(yīng)與噪音效應(yīng)有交互作用.將以上數(shù)據(jù)輸入excel表格中，進(jìn)行“有重復(fù)雙因素分析”，輸出的方差分析表13：表13方差分析：可重復(fù)雙因素分析SUMMARY總計(jì) 觀測(cè)數(shù)333312求和47514858204平均15.66667171619.3333317方差1.333333011.3333332.90909 觀測(cè)數(shù)333312求和54455148198平均1815171616.5方差30112.27273 觀測(cè)數(shù)333312求和55635451223平均18.3333321181718.5833方差6.3333333004.08333總計(jì)觀測(cè)數(shù)9999求和156159153157平均17.3333317.666671717.44444方差4.257.751.252.777778 方差分析差異源-value樣本28.38889214.194449.4629630.00093列2.08333330.6944440.4629630.71077交互63.83333610.638897.0925930.0002內(nèi)部36241.5總計(jì)130.305635接受，沒有充分證據(jù)證明光照對(duì)產(chǎn)量有顯著影響；，拒絕，有充分證據(jù)說明噪音對(duì)產(chǎn)量有顯著影響；，拒絕，有充分證據(jù)說明光照與噪音存在交互作用并由此對(duì)產(chǎn)量產(chǎn)生顯著影響.8 方差齊性檢驗(yàn)，正態(tài)性檢驗(yàn)與診斷 以上分析都是基于方差分析中對(duì)數(shù)據(jù)的三項(xiàng)假定（正態(tài)性，方差齊性與數(shù)據(jù)間獨(dú)立性）成立下進(jìn)行的.那么這些假定是否滿足？只有試驗(yàn)是按隨機(jī)次序進(jìn)行的，那么獨(dú)立性一般不成問題.下面先討論方差齊性.設(shè)第個(gè)總體的分布為，從中獲得的樣本是，記樣本方差為，則方差齊性所要檢驗(yàn)的假設(shè)可以表示為：，對(duì)此通常采用Bartlett檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：其中，對(duì)給定的顯著性水平，拒絕域?yàn)椋海摍z驗(yàn)不管重復(fù)數(shù)是否相等均可使用.例7：如在上面的化油器問題中，檢驗(yàn)三個(gè)總體的方差是否相等. 解：本題中所涉及的三個(gè)總體對(duì)應(yīng)的樣本方差分別為：由上面可知：在0.05水平上拒絕域?yàn)?現(xiàn)在，則 樣本未落在拒絕域中，所以在0.05水平上可以認(rèn)為所涉及的三個(gè)總體的方差相等.下面做正態(tài)性檢驗(yàn)與診斷.關(guān)于數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布的檢驗(yàn)可分兩種情況處理.（1）若各個(gè)水平下重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不少于8，可對(duì)每水平下的數(shù)據(jù)分別用正態(tài)概率紙作檢驗(yàn).注：若把各個(gè)水平下的數(shù)據(jù)畫在同一張正態(tài)概率紙上，且每一水平下的點(diǎn)各自呈現(xiàn)在一條直線附近，此時(shí)r條直線近似平行，還可以看出它們的方差近似相等.（2）若各個(gè)水平下重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)少于8，那么可以計(jì)算每一數(shù)據(jù)的殘差這時(shí)共有個(gè)殘差，它們可近似看作來自同一個(gè)正態(tài)總體，用此個(gè)殘差作正態(tài)概率圖，若個(gè)點(diǎn)呈直線狀即可認(rèn)為正態(tài)性假設(shè)成立.注：所謂殘差是指觀察值與擬合值之差，在單因子方差分析中每水平的第個(gè)觀察值為，其擬合值（即的估計(jì)）是，因此殘差，利用殘差進(jìn)行判斷的方法稱為診斷.參考文獻(xiàn)1茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍編著.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程M.高等教育出版社，2004.(7).80120.2王松桂，陳敏，陳立革編著.線性統(tǒng)計(jì)模型M.高等教育出版社，1999.(9).5070. 3曾五一主編.統(tǒng)計(jì)學(xué)概論M.首都經(jīng)貿(mào)大學(xué)出版社，2008.(5) .70110. 4周紀(jì)薌，茆詩(shī)松主編.質(zhì)量管理統(tǒng)計(jì)方法M.中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2008.(10). 75120. 5黃良文,曾五一.統(tǒng)計(jì)學(xué)原理M.中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,