《差商及其性質》PPT課件.pptVIP

4.1 差商（均差）及性質,1 差商（均差）,即有定義：,4 差商與牛頓插值多項式,定義4,即,2 基本性質,定理5,均差與節(jié)點順序無關，即,例如：,共6個,的線性組合，即,分析 ：,當k =1時,(1)可用歸納法證明。(2)利用(1)很容易得到。只證(1),證明：,（1）當k =1時,表2.4,3 差商表,計算順序:同列維爾法，即每次用前一列同行的差商與前一列 上一行的差商再作差商。,4.2 牛頓插值多項式,由差商定義及對稱性，得,1 牛頓插值多項式的推導,將(b)式兩邊同乘以,(d)式兩邊同乘以,把所有式子相加,得,(c)式兩邊同乘以,記,- 牛頓插值多項式,- 牛頓插值余項,可得以下結論。,定理6,（牛頓插值多項式）,- 牛頓插值余項,2 n +1階差商函數(shù)與導數(shù)的關系,由n次插值多項式的唯一性，則有, 牛頓插值多項式,只是表達方式不同.,?,因為,而 的基函數(shù)可為:,已知 函數(shù)表,階導數(shù)存在時，由插值多項式的唯一性有余項公式,n+1階差商函數(shù),導數(shù),則n 階差商與導數(shù),的關系為,其中,n +1階差商函數(shù)與導數(shù)的關系,定理7,計算步驟:,(2) 用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計算 .,3 牛頓插值多項式計算次數(shù)(當k =n 時),(1) 計算差商表(計算 的系數(shù)),除法次數(shù)(k =n):,(2) 用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計算 .,乘法次數(shù): n,優(yōu)點:,(1)計算量小,較 L- 插值法減少了3-4倍.,(2)當需要增加一個插值節(jié)點時,只需再計算一項,即,- 遞推公式,(適合計算機計算).,乘除法次數(shù)大約為:,4 兩函數(shù)相乘的差商,定理8（兩函數(shù)相乘的差商）,顯然公式成立。,事實上，,一般情況，可用歸納法證明。 #,設,證明：,階差商為,5 重節(jié)點差商,（通過差商極限定義）,定義5 (重節(jié)點差商),若 ,互異，有了重節(jié)點差商的定義，該式中的節(jié)點可以相同。,說明：,?,則定義,類似的有,其中,- 牛頓插值多項式,- 牛頓插值余項,4 差商與牛頓插值多項式,牛頓插值公式,5 重節(jié)點差商,定義5 (重節(jié)點差商),若 ,?,則定義,類似的有,證明：,(2)首先,由定義,泰勒展開式,本課重點：,1、理解差商定義,3、會用牛頓插值多項式解簡單題目。,2、掌握牛頓插值公式,- 牛頓插值余項,一、 Lagrange 插值多項式,， k = 0, 1 , n .,復習：,過n +1個節(jié)點，滿足插值條件：L j( xj)= yj(j=0,1, n )的n次插值,或,插值 基函數(shù),優(yōu)點：,計算量大,缺點：,乘除法次數(shù)：,多項式Ln(x)：,二、列維爾(Nevi