專題二平面向量

專題二平面向量【一】、知識歸納知識點1：平面向量的概念及其線性運算1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得ba.1作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向被減向量的終點；2在向量共線的重要條件中易忽視“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個；3要注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系試一試1若向量a與b不相等，則a與b一定()A有不相等的模B不共線C不可能都是零向量 D不可能都是單位向量答案：C2若菱形ABCD的邊長為2，則|_.解析：|2.答案：21向量的中線公式若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)一點，則()2三點共線等價關(guān)系A(chǔ)，P，B三點共線 (0)(1t)t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，tR)xy (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，xR，yR，xy1)練一練1D是ABC的邊AB上的中點，則向量等于()A BC D答案：A2已知a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.解析：由題意知abk(b3a)，所以解得答案：知點2：平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法：若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1若a、b為非零向量，當(dāng)ab時，a，b的夾角為0或180，求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯；2要區(qū)分點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2x2y10.試一試1若向量(2,3)，(4,7)，則()A(2，4)(2,4)C(6,10) (6，10)答案：A2(2013石家莊模擬)已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實數(shù)x的值是_解析：u(12x,4)，v(2x,3)，uv，84x36x，x.答案：用基向量表示所求向量時，注意方程思想的運用練一練設(shè)e1、e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1e2_a_b.解析：由題意，設(shè)e1e2manb.因為ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：知點3：平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例1平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，把數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab|a|b|cos ，規(guī)定0a0.2向量數(shù)量積的運算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc3平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件ab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|x1x2y1y2|1若a，b，c是實數(shù)，則abacbc(a0)；但對于向量就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c，若滿足abac(a0)，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量2數(shù)量積運算不適合結(jié)合律，即(ab)ca(bc)，這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，a(bc)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(ab)c與a(bc)不一定相等試一試1(2013廣州調(diào)研)已知向量a，b都是單位向量，且ab，則|2ab|的值為_解析：|2ab|.答案：2(2013山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(1，t)， (2,2)若ABO90，則實數(shù)t的值為_解析： (3,2t)，由題意知0，所以232(2t)0，t5. 答案：51明確兩個結(jié)論：(1)兩個向量a與b的夾角為銳角，則有ab0，反之不成立(因為夾角為0時不成立)；(2)兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有ab0，反之不成立(因為夾角為時不成立)2利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧練一練1已知向量a，b均為非零向量，(a2b)a，(b2a)b，則a，b的夾角為()A.B. C. D.解析：選B(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a|b|，故|a|22ab|a|22|a|2cosa，b0，可得cosa，b，又因為0a，b，所以a，b.2(2013福建高考)在四邊形ABCD中， (1,2)， (4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5 D10解析：選C依題意得，1(4)220，四邊形ABCD的面積為|5.【二】、基本題型考點一向量的有關(guān)概念1.給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號是()ABC D解析：選A不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.正確ab，a，b的長度相等且方向相同，又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件不正確考慮b0這種特殊情況綜上所述，正確命題的序號是.故選A.2設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3. 類題通法平面向量中常用的幾個結(jié)論(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時不要把它與函數(shù)圖像的平移混為一談(3)是與a同向的單位向量，是與a反向的單位向量考點二向量的線性運算典例(1)如圖，在正六邊形ABCDEF中，()A0BC D(2)(2013江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12 (1，2為實數(shù))，則12的值為_解析(1)如圖，在正六邊形ABCDEF中，.(2)由題意()，所以1，2，即12.答案(1)D(2)考點三共線向量定理的應(yīng)用典例設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點共線(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線解(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共線，又它們有公共點B，A，B，D三點共線(2)kab與akb共線，存在實數(shù)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共線的兩個非零向量，kk10，k210.k1. 類題通法1共線向量定理及其應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值(2)若a，b不共線，則ab0的充要條件是0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛2證明三點共線的方法若，則A、B、C三點共線針對訓(xùn)練已知a，b不共線，a，b，c，d，e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值，若不存在，請說明理由解：由題設(shè)知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因為a，b不共線，所以有解之得t.故存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上考點四平面向量的坐標(biāo)運算1.(2014昆明一中摸底)已知點M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點N的坐標(biāo)為()A(2,0)(3,6)C(6,2) (2,0)解析：選A3a3(1，2)(3,6)，設(shè)N(x，y)，則(x5，y(6)(3,6)，所以即選A.2(2013北京高考)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab(，R)，則_.解析：設(shè)i，j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根據(jù)平面向量基本定理得2，所以4.答案：43已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n.解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得類題通法1向量的坐標(biāo)運算實現(xiàn)了向量運算代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，從而可使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算2兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相同此時注意方程(組)思想的應(yīng)用考點五平面向量基本定理及其應(yīng)用典例如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點設(shè)a，b，試用a，b為基底表示向量，.解析babba，bba，bab.類題通法用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運算來解決(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便另外，要熟練運用平面幾何的一些性質(zhì)定理針對訓(xùn)練(2014濟(jì)南調(diào)研)如圖，在ABC中，P是BN上的一點，若m，則實數(shù)m的值為_解析：因為kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案：考點六平面向量共線的坐標(biāo)表示典例平面內(nèi)給定三個向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實數(shù)k；解(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由題意得2(34k)(5)(2k)0.k.在本例條件下，若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解：設(shè)d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由題意得得或d(3，1)或(5,3)類題通法1向量共線的兩種表示形式設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用.2兩向量共線的充要條件的作用判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點共線的問題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值針對訓(xùn)練已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點C的坐標(biāo)解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三點共線，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得點C的坐標(biāo)為(5，3)考點七平面向量的數(shù)量積的運算1.(2014滄州模擬)已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6.則的值為()A.BC. D解析：選B由已知得，向量a(x1，y1)與b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，得x1x2，y1y2，故.2(2014溫州適應(yīng)性測試)在ABC中，若A120，1，則|的最小值是()A. B2C. D6解析：選C1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.3(2013南昌模擬)已知向量e1，e2，則e1e2_.解析：由向量數(shù)量積公式得e1e2cos2sinsin4cos22.答案：24(2013全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則_.解析：因為，所以()()222.答案：2類題通法向量數(shù)量積的兩種運算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.運用兩向量的數(shù)量積可解決長度、夾角、垂直等問題，解題時應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解考點八平面向量數(shù)量積的性質(zhì)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)是高考的重點歸納起來常見的命題角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直角度一平面向量的模1(2013天津高考)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60 , E為CD的中點若1 , 則AB的長為_解析：由已知得，221|21|cos 60|21，|.答案：角度二平面向量的夾角2(1)已知平面向量a，b，|a|1，|b|，且|2ab|，則向量a與ab的夾角為()A. B.C. D解析：選B|2ab|24|a|24ab|b|27，|a|1，|b|，44ab37，ab0，ab.如圖所示，a與ab的夾角為COA. tanCOA，COA，即a與ab的夾角為.(2)(2014云南第一次檢測)若平面向量a與平面向量b的夾角等于，|a|2，|b|3，則2ab與a2b的夾角的余弦值等于()A. BC. D解析：選B記向量2ab與a2b的夾角為，又(2ab)242232423cos13，(a2b)222432423cos52，(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，故cos ，即向量2ab與a2b的夾角的余弦值是，因此選B.角度三平面向量的垂直3(1)(2013荊州高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查)已知向量a與b的夾角是，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，則實數(shù)_.解析：若a(2ab)，則a(2ab)0，即2|a|2|a|b|cos0，2140.1.答案：1(2)在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，則k的值為_解析：(1)當(dāng)A90時，0.213k0，解得k.(2)當(dāng)B90時，又(1，k)(2,3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，解得k.(3)當(dāng)C90時，1(1)k(k3)0，即k23k10.k.答案：或或.類題通法1求兩非零向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角2利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x，y)，則|a|.考點九平面向量與三角函數(shù)的綜合典例(2013江蘇高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值解(1)證明：由題意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因為a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因為ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos ()，由0，得0.又0，所以，. 類題通法平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等針對訓(xùn)練已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|,0，求的值解：(1)因為ab，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|，知sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.從而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin.又由0，知20，q0)，且滿足pq6時，求ABC面積的最大值第組：重點選做題1(2013湖南高考)已知a，b是單位向量，ab0.若向量c滿足|cab|1，則|c|的最大值為()A.1 B.C.1 D.22(2013天津一中月考)在四邊形ABCD中，(1,1)，則四邊形ABCD的面積為_答 案第組：全員必做題1選Da(ab)a(ab)a2ab|a|2|a|b|cosa，b0，故cosa，b，故所求夾角為.2選Bnn()nn(1，1)(1，1)2022.3選C設(shè)P點坐標(biāo)為(x,0)，則(x2，2)，(x4，1)(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21.當(dāng)x3時，有最小值1.此時點P坐標(biāo)為(3,0)，故選C.4選D如圖，.又2，()，即，C