幾何與代數(shù)》科學(xué)出版社第六章二次型與二次曲面.ppt

,幾何與代數(shù),主講: 關(guān)秀翠,東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,東 南 大 學(xué) 線 性 代 數(shù) 課 程,第六章 二次型與二次曲面,球面、旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、錐面,A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0,x2 + y2 = 2pz,x2 + y2 = k2 z2,y2 = 2px,球面:,旋轉(zhuǎn)曲面,r=3,r=2,柱面,r=2,r=1,錐面：,一直線過(guò)定點(diǎn)沿一條定曲線移動(dòng)所產(chǎn)生的曲面,6.3 二次曲面,一. 二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,1. 橢球面,b,c,當(dāng)a = b = c = R時(shí)半徑為R的球面,當(dāng)a, b, c中有兩個(gè)相等時(shí)旋轉(zhuǎn)橢球面,x = 0,y = 0,z = 0,6.3 二次曲面,第六章 二次型與二次曲面,2. 單葉雙曲面,x = 0,y = 0,z = 0,當(dāng)a, b相等時(shí)旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,6.3 二次曲面,第六章 二次型與二次曲面,3. 雙葉雙曲面,x = 0,y = 0,z = 0,當(dāng)a, b相等時(shí)旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,無(wú)交,z = k, |k|c,6.3 二次曲面,第六章 二次型與二次曲面,4. 二次錐面,x = 0,y = 0,z = 0,當(dāng)a, b相等時(shí)圓錐面,z = k,(0,0,0),6.3 二次曲面,第六章 二次型與二次曲面,5. 橢圓拋物面,x = 0,y = 0,z = 0,當(dāng)a, b相等時(shí)旋轉(zhuǎn)拋物面,(0,0,0),z = k0,6.3 二次曲面,第六章 二次型與二次曲面,6. 雙曲拋物面,(a0, b0),(馬鞍面),y2 = 2b2z,x = 0,y = 0,z = 0,x2 =2a2z,當(dāng)a, b相等時(shí)也不是旋轉(zhuǎn)曲面,z = k,6.3 二次曲面,第六章 二次型與二次曲面,7. 橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面 x2 = 2py (p 0),6.3 二次曲面,第六章 二次型與二次曲面,二. 一般方程表示的二次曲面,a11x2 + a22y2 + a33z2,+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz,+ b1x + b2y + b3z + c = 0,一般方程,二次型,xTAx,+ + c = 0,BTx,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0,x = Qy,作直角系的旋轉(zhuǎn)變換,作坐標(biāo)軸的平移,g(y) = yTy + BTy + c = 0,y = z+,1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d,Q正交,二. 一般方程表示的二次曲面,即1y12 +2y22 +3y32 + b1y1 + b2y2 + b3y3 + c = 0,標(biāo)準(zhǔn)方程,Q正交且|Q|=1 右手系右手系,p=3,q=0,r(g)=3, b=0,橢球面,球面,p=2, q=1,d0,p=0,q=3,d0,單葉雙曲面,d0,d0,雙葉雙曲面,d=0,二次錐面,r(g)=2, b0,d=0,p=2, q=0,橢圓拋物面,p=1, q=1,雙曲拋物面,r(g)=2, b=0,d0,p=2, q=0,橢圓柱面,p=1, q=1,雙曲柱面,r(g)=1,d=0,p=1, q=0,p=0, q=1,拋物柱面,6.3 二次曲面,第六章 二次型與二次曲面,例1. 請(qǐng)指出曲面z = xy的類型.,其中|Q| = 1.,6.3 二次曲面,第六章 二次型與二次曲面,可見(jiàn)原方程表示一個(gè)雙曲拋物面.,則原方程化為 x2 y2 = 2z,x y z,令,=,0,0,0 0 1,x y z,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,f(x1, x2, x3) = 2x12+x22+x32+2x1x2+kx2x3 = 1,例2. 求k的值使下面的方程表示一個(gè)橢球面.,上述方程表示一個(gè)橢球面 A正定,而1 = 2 0,3 = |A| = 1k2/2.,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,x2+y2+z22xz+4x+2y4z5 = 0,例3. 試用直角坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)下面的方程.,|Q| = 1.,這表示一個(gè)橢圓柱面.,則原方程化為,令,再配方可得,第六章 二次型與二次曲面,6.3 二次曲面,可得x2 + 2z2 = 10,所作的直角坐標(biāo)變換公式為,6.3 二次曲面,第六章 二次型與二次曲面,例4.試用直角坐標(biāo)變換化簡(jiǎn) x2 + y + z 2 = 0.,則原方程化為 x2 + 2(y 1) = 0.,再作平移變