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1,一、單調性的判別法,三、小結及作業(yè),2,一、單調性的判別法,定理,3,證,應用拉氏定理,得,4,5,例2,解,注意:函數的單調性是一個區(qū)間上的性質，要用導數在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區(qū)間上的單調性,6,（2）函數在整個定義域上不一定是單調的，但在不同的區(qū)間上具有單調性，且改變單調性的點只可能是的 點及導數不存在的點,7,（3）討論函數單調性的步驟： ） 1）確定函數的定義域； 2）求函數導數為零的點及一階導數不存在的點； 3）這些點將定義域分成若干個小區(qū)間，列表討論。,（4）區(qū)間內個別點導數為零,不影響區(qū)間的單調性.,例如,8,例3. 確定函數,的單調區(qū)間.,解:,令,得,故,的單調增區(qū)間為,的單調減區(qū)間為,9,例4,解,單調區(qū)間為,10,例5,證,11,證明：,因此，,單調減少,f(x) 單調減少,也就是,12,13,問題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位 于所張弦的上方,圖形上任意弧段位 于所張弦的下方,14,1. 曲線的凹凸與拐點的定義,定義 1. 設函數,在區(qū)間 上連續(xù) ,(1) 若恒有,則稱 的圖形,是凹的;,(2) 若恒有,則稱 的圖形,函數圖形上凹凸的分界點稱為拐點 .,是凸的 .,15,2、曲線凹凸的判定,定理1,16,證:,利用一階泰勒公式可得,兩式相加,17,例1.判斷曲線,的凹凸性.,解:,時,故曲線,在,上是向上凹的.,說明,(1) 在個別二階導數為 0 的點, 若此點兩側二階導數不變號, 則不改變曲線的凹凸性 .,18,例2,解,注意到,19,例3.求曲線,的拐點.,解:,不存在,因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線,的拐點 .,20,（3）判別曲線的凹凸性及拐點的方法步驟： （a）求出 ； （b）求出使 的點及 不存在的點； （c）檢查在這些點左右兩邊的符號，從而決定曲線 的凹凸區(qū)間及拐點。,21,例4.求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點.,解:,1) 求,2) 求拐點可疑點坐標,令,得,對應,3) 列表判別,點 ( 0 , 1 ) 及,均為拐點.,故該曲線在,上凸,22,證明：,23,24,三、小結,單調性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應用.,定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論仍然成立.,應用：利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數和證明不等式.,曲線的彎曲方向凹凸性;,凹凸性的判定.,改變彎曲方向的點拐點;,拐點的求法1, 2.,25,26,思考題,27,思考題解答,例,28,練 習 題,29,30,練習題答案,31,32,思考題,33,思考題解答,不能斷定.,例,但,34,當 時，,

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