函數(shù)、極限與連續(xù)(3).ppt

1章 函數(shù)、極限與連續(xù),1.1 函數(shù)的概念與簡單性質 1.2 數(shù)列的極限 1.3 函數(shù)的極限 1.4 無窮小量和無窮大量 1.5 函數(shù)的連續(xù)性,1.1 函數(shù)的概念與簡單性質,1.1.1 集合、常量與變量 1.1.2 函數(shù)的概念 1.1.3 函數(shù)的簡單性質 1.1.4 反函數(shù)和復合函數(shù) 1.1.5 初等函數(shù),1.1.1 集合、常量與變量(1),1. 集合 具有某種特定性質事物的總體叫做集合. 組成這個集合的事物稱為該集合的元素. 一般用大寫字母A、B、C、表示集合，用小寫字母a、b、c、表示集合中的元素. 有限集；無限集.;空集，空集用 表示. 常見的數(shù)集有：全體自然數(shù)的集合記作N、全體整數(shù)的集合記作Z、全體有理數(shù)的集合記作Q，全體實數(shù)的集合記作R. ： ， 集合的運算主要有： 集合的并： 集合的交： 集合運算滿足交換律、結合律、分配律等一系列性質.,1.1.1 集合、常量與變量(2),2. 區(qū)間與鄰域 區(qū)間:開區(qū)間(a,b); 閉區(qū)間a,b; 半開區(qū)間a,b); 鄰域: 以點為中心的任何開區(qū)間稱為點的鄰域，記為 3. 常量與變量 在任何一個生產過程或科學實驗過程中，常常會遇到各種不同的量，其中有些量在過程中不起變化，也就是保持一定數(shù)值的量，這種量叫做常量；還有一些量在過程中是變化著的，也就是可以取不同數(shù)值的量，這種量叫做變量,圖1.1,1.1.2 函數(shù)的概念,定義 設和是兩個變量，是一個給定的數(shù)集. 如果對于每一個，變量按照一定的法則(或關系)總有唯一確定的數(shù)值與它對應，則稱是的函數(shù)，記為. 稱為自變量，稱為因變量(或函數(shù))，數(shù)集稱為這個函數(shù)的定義域，而因變量的變化范圍稱為函數(shù)的值域.函數(shù)中表示對應關系的記號也可以用 、 等其他字母表示，此時函數(shù)記作 、 等. 分段函數(shù)，即用幾個式子分段來表示一個函數(shù).,1.1.3 函數(shù)的簡單性質（1）,1. 單調性 單調增加和單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù). 從圖形上看，單調增加函數(shù)表現(xiàn)為曲線從左到右上升，單調減少函數(shù)表現(xiàn)為曲線從左到右下降. 圖1.5 圖1.6 圖1.7 圖1.8,1.1.3 函數(shù)的簡單性質（2）,2. 奇偶性 設函數(shù)f(x)的定義域D關于原點是對稱的，且對于任何xD，恒有f(-x)=f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；如果恒有f(-x)=-f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 圖1.9,1.1.3 函數(shù)的簡單性質（3）,3. 周期性 通常我們所說的周期指的是最小正周期. 4. 有界性 上界;下界,1.1.4 反函數(shù)和復合函數(shù),1. 反函數(shù),2. 復合函數(shù) 將一個函數(shù)代入另一個函數(shù)而得到的函數(shù)稱為上述兩個函數(shù)的復合函數(shù).,1.1.5 初等函數(shù)(1),1. 冪函數(shù) 2. 指數(shù)函數(shù) 3. 對數(shù)函數(shù):指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，記為 (a 是常數(shù)且a0, a1).,1.1.5 初等函數(shù)(2),4. 三角函數(shù) 三角函數(shù)在數(shù)學和其他學科中有著廣泛的應用. 自然界中有很多現(xiàn)象都可用三角函數(shù)來描述，如簡諧振動、交流電等. 三角函數(shù)有正弦函數(shù) 、余弦函數(shù) 、正切函數(shù) 、余切函數(shù) 、正割函數(shù) 、余割函數(shù) ，它們都是周期函數(shù). 5. 反三角函數(shù) 反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù). 三角函數(shù) 的反函數(shù)依次為反正弦函數(shù) 、反余弦函數(shù) 、反正切函數(shù) 、反余切函數(shù) . 其圖形分別如圖1.20、圖1.21、圖1.22和圖1.23所示. 6. 初等函數(shù) 由上述五類基本初等函數(shù)和常數(shù)經過有限次的四則運算和函數(shù)復合步驟構成的函數(shù)，稱為初等函數(shù). 7. 建立函數(shù)關系,1.2 數(shù)列的極限,1.2.1 數(shù)列極限的定義 1.2.2 收斂數(shù)列極限的性質 1.2.3 數(shù)列極限的存在準則 1.2.4 數(shù)列極限的四則運算法則,1.2.1 數(shù)列極限的定義,設有數(shù)列 ，如果對于任意給定的正數(shù) (無論它多么小)，總存在一個正整數(shù)N，使得當時nN，不等式 恒成立，則稱常數(shù)a為數(shù)列 的極限，或稱數(shù)列 收斂于a，記為 或 幾何解釋,1.2.2 收斂數(shù)列極限的性質,定理1(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列 收斂，則數(shù)列 一定有界. 定理2 收斂數(shù)列 的極限是唯一的. 推論(1) 如果數(shù)列 無界，則它一定發(fā)散. 推論(2) 如果在兩個不同的點附近都密集的分布著 的無窮多個點，則該數(shù)列一定發(fā)散.,1.2.3 數(shù)列極限的存在準則,定理3(單調有界準則) 單調有界數(shù)列必有極限. 定理4(夾逼準則) 如果數(shù)列 、 和 滿足下列條件. (1) (2) 則數(shù)列 的極限存在，且,1.2.4 數(shù)列極限的四則運算法則,定理5(數(shù)列極限的四則運算法則) 若 ， ，則 (1) (2) (3),1.3 函數(shù)的極限,1.3.1 x時函數(shù)的極限 1.3.2 xx0時函數(shù)的極限 1.3.3 函數(shù)極限的運算法則 定理2(函數(shù)極限的四則運算法則) 定理3(復合函數(shù)的極限運算法則) 1.3.4 兩個重要極限 定理4(函數(shù)極限的夾逼準則),1.3.1 x時函數(shù)的極限,定義1 設函數(shù)f(x)當 時有定義，如果對于任意給定的正數(shù) (無論它有多么小)，總存在一個正數(shù)X，使得對滿足不等式 的一切x，對應的函數(shù)值f(x)都滿足 ，則常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)當 時的極限，記作 或,1.3.2 xx0時函數(shù)的極限,定義2 設函數(shù)f(x)在點 的某一去心鄰域內有定義，如果對于任意給定的正數(shù) (無論它多么小)，總存在正數(shù) ，使得對于滿足不等式 的所有x，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式 ，則常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)當 時的極限，記作 或 .,1.4 無窮小量和無窮大量,1.4.1 無窮小量 定義1 定理1 定理2 定義2 定理3 定理4 1.4.2 無窮大量 定義3 定理5,1.5 函數(shù)的連續(xù)性,1.5.1 函數(shù)的連續(xù)性 1.5.2 函數(shù)的間斷點 1.5.3 初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的性質 1.5.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,1.5.1 函數(shù)的連續(xù)性,定義1 設函數(shù) 在點 的某一鄰域內有定義，如果 ，則稱函數(shù)在點 處連續(xù). 定義2 設函數(shù) 在點的某一鄰域內有定義，如果 ，則稱函數(shù) 在點 處連續(xù). 定義3 若 ，則稱函數(shù) 在點 處左連續(xù)；若 ，則稱函數(shù) 在點 處右連續(xù).,1.5.2 函數(shù)的間斷點,設函數(shù) 在點 的某一去心鄰域內有定義，如果函數(shù)f(x)在點 不連續(xù)，則 稱是函數(shù)f(x)一個間斷點. 無窮間斷點 可去間斷點 第一類間斷點 第二類間斷點,1.5.3 初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的性質,定理1 設函數(shù)f(x)和g(x)在 處連續(xù)，則 、 、 在 連續(xù). 定理2 設函數(shù) 在點 連續(xù)，且 ，而函數(shù) 在 處連續(xù)，則復合函數(shù) 在 處也連續(xù). 定理3 若函數(shù)y=f(x)在 區(qū)間上連續(xù)且單調增加(減少)，則其反函數(shù) 也在對應的區(qū)間 上連續(xù)且單調增加(減少).,1.5.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,定理4(最大值最小值定理)