函數(shù)的單調(diào)性與極值(2).ppt

1、 函數(shù)極值的概念,2 、 函數(shù)極值的求法,2.4 函數(shù)的極大值與極小值,教學目的：.理解極大值、極小值的概念.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值.掌握求可導函數(shù)的極值的方法步驟 . 教學重點：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導函數(shù)的極值的方法步驟. 教學難點：對極大值、極小值概念的正確理解.,復 習,函數(shù)單調(diào)遞減,、函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系,、用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法步驟,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,判定定理：,設函數(shù) y = f (x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù).,如果在這個區(qū)間內(nèi) y 0， 那么y=f (x)為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);,(2) 如果在這個區(qū)間內(nèi) y 0， 那么y=f (x)為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).,(3)如果在這個區(qū)間內(nèi) y= 0， 那么y=f(x)為這個區(qū)間內(nèi)的常數(shù)函數(shù).,觀察下面的函數(shù)圖象,a,b,可以看出: 函數(shù)在x=a的函數(shù)值f(a)比它臨近點的函數(shù)值都要大;在x= b的函數(shù)值f(b)比它臨近點的函數(shù)值都要小.象這樣的點我們把它叫做極值點. f(a)是函數(shù)的一個極大值, f(b)是函數(shù)的一個極小值.,學習新課,函數(shù)極值的概念,一般地,設函數(shù) y = f ( x )在x=x0及其附近有定義，,如果f ( x0 )的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都大， 我們就說 f ( x0 )是函數(shù)y= f ( x )的一個極大值， 記作：y極大值= f（x0），點 x0 是 f ( x )的一個極大值點;,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值. 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。,如果f ( x0 )的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都小， 我們就說 f ( x0 )是函數(shù)y= f ( x )的一個極小值， 記作：y極小值= f（x0），點 x0 是 f ( x )的一個極小值點；,觀察與思考：,在極值點處，曲線如果有切線，則切線是水平的。,換句話說,極值點處的導數(shù)都為零.,但是導數(shù)為零的點不一定是極值點.如圖中x=x5處不是極值點.,如何根據(jù)函數(shù)的導數(shù)確定函數(shù)的極值點呢?,1.圖中有幾個極值點? 2.極值與導數(shù)有何關系？,4個極值點.,繼續(xù)觀察可導函數(shù)的圖象,a,b,f (a) = 0,f (x) 0,f (x) 0,f (b) = 0,f (x) 0,f (x) 0,可以看出: 曲線在極值點處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點左側切線的斜率為正,右側為負.曲線在極小值點左側切線的斜率為負,右側為正.,x1,x2,在極大值點附近,在極小值點附近,f (x)0,f (x)0,f (x)0,f (x)0,也就是說，先求出y=0的根，再檢查y在方程y=0的根的左右附近的符號，就可以確定函數(shù)的極值了。,函數(shù)極值的判定定理,判別f(x0)是極大、極小值的方法:,函數(shù)極值的求法,(1) 確定函數(shù)的定義域；,求可導函數(shù) f (x) 的極值點和極值的方法步驟：,(2) 求導數(shù) f (x)；,(3) 求方程f (x)=0 的根;,檢查f (x) 在方程f (x)=0的根的左右的符號,如果在根的左側附近為正,右側附近為負,那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極大值; 如果在根的左側附近為負,在根的右側附近為正,那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極小值. 如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值 .,當 x 變化時, y, y 的變化情況如下表:,因此,當x = 2時y有極大值,并且y極大值=28/3; 當 x = 2時y有極小值,并且y極小值=-4/3.,解：函數(shù)y 的定義域為(,)；,y=x-4= (x-2)(x+2),令y = 0 得 x1 =2, x2 =2,例1,求函數(shù)y= x3-4x+4的極值.,極小值 -4/3,極大值28/3,+,-,+,例2 求y=(x2-1)3+1的極值.,解:函數(shù)的定義域為(-,+);,y=6x(x2-1)2,令y=0,解得 x1=-1,x2=0,x3=1.,當x變化時,y,y的變化情況如下表:,由上表知,當x=0時,y有極小值,并且y極小值=0.,關于函數(shù)極值概念的幾點說明:,(1)函數(shù)f(x)在點x0 及其附近有定義是指在點x0及其左右 鄰域都有定義.,(2)極值點是函數(shù)f(x)定義域中的內(nèi)點,因而閉區(qū)間的端點 不會是函數(shù)的極值點.,(3)極值是一個局部概念,是僅對某一點的左右兩側鄰域而言的.一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有多個極值點.,(4)函數(shù)的極大值與極小值沒有必然的大小聯(lián)系,函數(shù)的一個極小值可能大于它的一個極大值.,(5)可導函數(shù)的極值點一定是它導數(shù)為0的點.反之,函數(shù)的導數(shù)為0的點,不一定是該函數(shù)的極值點.因此導數(shù)為0的點僅是該點為極值點的必要條件.如:y=x3.,(6)某點為極值點的充分條件是這點兩側的導數(shù)異號.,課堂小結,1、函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法 .,2、求可導函數(shù)f(x)的極值的三個步驟:,(1) 求導數(shù)f(x); (2) 令f(x)=0,求方程的根; (3) 列表，檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在