函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(3).ppt

1,函數(shù)單調(diào)性的判別法,函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,小結(jié) 思考題 作業(yè),6.4 函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性,曲線凹凸性的判別法,曲線的拐點(diǎn)及其求法,第6章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,2,定理6.8,單調(diào)增加;,單調(diào)減少.,一、函數(shù)單調(diào)性的判別法,設(shè)函數(shù)y = f (x)在a, b上連續(xù),在,(a, b)內(nèi)可導(dǎo).,那末函數(shù)y = f (x),在a, b上,那末函數(shù)y = f (x),在a, b上,3,證,拉氏定理,(1),(2),此定理不論對(duì)于開(kāi)、閉、有限或無(wú)窮區(qū)間都正確.,若在(a, b)內(nèi),若在(a, b)內(nèi),因?yàn)?所以y = f (x)在a, b上單調(diào)增加;,因?yàn)?所以y = f (x)在a, b上單調(diào)減少.,4,例,解,定義域?yàn)?因?yàn)?所以,所以,5,方法,問(wèn)題,如上例, 函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的,若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo),數(shù)的符號(hào).,的分界點(diǎn),二、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào).,則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),可能是單調(diào)區(qū)間,的點(diǎn)劃分函數(shù)f (x)的定義區(qū)間,6,例,解,定義域,單調(diào)區(qū)間為,單調(diào)區(qū)間.,7,例,解,單調(diào)減少區(qū)間為,定義域,單調(diào)增加區(qū)間為,導(dǎo)數(shù)不存在.,8,區(qū)間內(nèi)有限個(gè)或無(wú)窮多個(gè)離散點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零,如,不影響區(qū)間的單調(diào)性.,單調(diào)增加.,又如,可導(dǎo), 且,等號(hào)只在,(無(wú)窮多個(gè)離散點(diǎn))處成立,故,內(nèi)單調(diào)增加.,9,例,證,因?yàn)?因?yàn)?10,例,證,定不出符號(hào),11,即,12,證,練習(xí),若令,則只須證明g(x)單調(diào)增加.,而,拉氏定理,g(x)單調(diào)增加.,從而,13,考研數(shù)學(xué)(一, 二) 12分,練習(xí),證,法一,則,所以,單調(diào)減少,從而,單調(diào)增加.,因此,即,故,14,練習(xí),證,法二,對(duì)函數(shù),所以,單調(diào)減少,從而,在a, b上應(yīng)用拉氏定理, 得,設(shè),則,即,即,考研數(shù)學(xué)(一, 二) 12分,15,考研數(shù)學(xué)(一, 二) 選擇題4分,設(shè)函數(shù) f (x)連續(xù),則存在,使得,16,?,(concave and convex),三、曲線凹凸性的判別法,1. 定義,如何研究曲線的彎曲方向,17,定義6.1,恒有,凹,(凸),圖形上任意弧段 位于所張弦的下方,圖形上任意弧段 位于所張弦的上方,如果對(duì)(a, b)內(nèi)任意,兩點(diǎn)x1, x2,那么稱f (x)在(a, b)內(nèi)的圖形是 的.,18,曲線弧上每一點(diǎn)的切線都在曲線的下,或定義,(上),方,稱為凹 弧.,(凸),凹弧的曲線段,f (x)的切線斜率是單增的,是單增的,弧的切線斜率是單減的,是單減的.,而凸,利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性,從幾何直觀上,隨著x的增大,19,定理6.9,具有二階導(dǎo)數(shù),凹,(凸),2. 凹凸性的判別法,如果 f (x)在a, b上連續(xù),在(a, b)內(nèi),在(a, b)內(nèi),在a, b上的圖形是 的.,則 f (x),20,證,即,這說(shuō)明切線位于曲線的下方,泰勒公式,即f (x)是凹的.,21,即,例,證,設(shè),圖形是凹的.,利用函數(shù)圖形的凹凸性證明不等式:,22,例,解,凸,變,凹,的分界點(diǎn).,點(diǎn)(0, 0)是曲線由,23,練習(xí),考研數(shù)學(xué)(一,二, 三,四)填空4分,設(shè)函數(shù) y = f (x)具有二階導(dǎo)數(shù),分別為 f (x)在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分,則,24,1. 定義,連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的,拐點(diǎn).,幾何上,四、曲線的拐點(diǎn)及其求法,(inflection point),拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線.,25,拐點(diǎn)的充分條件,2. 拐點(diǎn)的求法,拐點(diǎn)也可能出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處.,拐點(diǎn)的必要條件,若f (x)具有二階導(dǎo)數(shù),則點(diǎn),(1),(2),(x0, f (x0)是拐點(diǎn)的必要條件為,(或x0為二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)),設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0鄰域內(nèi)二階,可導(dǎo),點(diǎn)(x0, f (x0)即為拐點(diǎn);,點(diǎn)(x0, f (x0)不是拐點(diǎn).,26,例,解,不存在,定義域?yàn)?(1),(2),(3),列表,拐點(diǎn),拐點(diǎn),27,例,解,拐點(diǎn)的第二充分條件,設(shè)函數(shù)f (x)在x0的鄰域內(nèi),是曲線 y = f (x)的拐點(diǎn).,三階可導(dǎo),那末(x0, f (x0),28,例,解,29,證,法一,用單調(diào)性證.,法二,用凹凸性證.,例,設(shè),則,即,所以f (x)的圖形是凸的.,30,例,的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).,解,不存在,不存在,拐點(diǎn),單調(diào)增加區(qū)間,單調(diào)減少區(qū)間,凸區(qū)間,凹區(qū)間,31,練習(xí),考研數(shù)學(xué)( 三,四)10分,設(shè)函數(shù) y = y (x)由方程,確定,試判斷曲線 y = y (x)在點(diǎn)(1,1)附近的凹凸性.,解,兩邊對(duì)x求導(dǎo)得,解得,兩邊對(duì)x再求導(dǎo)得,32,練習(xí),考研數(shù)學(xué)( 三,四)10分,設(shè)函數(shù) y = y (x)由方程,確定,試判斷曲線 y = y (x)在點(diǎn)(1,1)附近的凹凸性.,由于二階導(dǎo)函數(shù),的附近是連續(xù)函數(shù),所以由,的附近,故曲線 y = y (x)在點(diǎn)(1,1)附近是凸.,33,五、小結(jié),單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要,單調(diào)性的應(yīng)用:,改變彎曲方向的點(diǎn):,凹凸性;,拐點(diǎn);,利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根,的個(gè)數(shù)和證明不等式.,研究曲線的彎曲方向:,凹凸性的應(yīng)用:,利用凹凸性證明不等式.,應(yīng)用.,34,證,只要證,令,則,所以,即,有,得,思考題1,也即,35,思考題2,考研數(shù)學(xué)二, 8分,證明不等式,證,先證右邊不等式.,設(shè),單調(diào)減少,故有,即,36,思考題2,考研數(shù)學(xué)二, 8分,