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第2講函數(shù)的應(yīng)用考情考向分析1.求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間、零點(diǎn)個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型,主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).2.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體,主要考查函數(shù)的最值問題熱點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)1零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)f(b)1f(3),g(5)3log251f(5),可得有兩個交點(diǎn),所以選B.(2)已知函數(shù)f(x)滿足:定義域?yàn)镽;xR,都有f(x2)f(x);當(dāng)x1,1時,f(x)|x|1,則方程f(x)log2|x|在區(qū)間3,5內(nèi)解的個數(shù)是()A5 B6 C7 D8答案A解析畫出函數(shù)圖象如圖所示,由圖可知,共有5個解熱點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)與參數(shù)的范圍解決由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題,關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解例2(1)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x1),且當(dāng)x1,0時,f(x)x2,若在區(qū)間1,3內(nèi),函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(3,5)解析偶函數(shù)f(x)滿足f(x1),且當(dāng)x1,0時,f(x)x2,f(x2)f(x11)f(x),函數(shù)f(x)的周期為2,在區(qū)間1,3內(nèi)函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)f(x)的圖象與yloga(x2)的圖象在區(qū)間1,3內(nèi)有3個交點(diǎn)當(dāng)0a1且解得3a5.(2)(2018全國)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點(diǎn),則a的取值范圍是()A1,0) B0,)C1,) D1,)答案C解析令h(x)xa,則g(x)f(x)h(x)在同一坐標(biāo)系中畫出yf(x),yh(x)圖象的示意圖,如圖所示若g(x)存在2個零點(diǎn),則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個交點(diǎn),平移yh(x)的圖象可知,當(dāng)直線yxa過點(diǎn)(0,1)時,有2個交點(diǎn),此時10a,a1.當(dāng)yxa在yx1上方,即a1時,有2個交點(diǎn),符合題意綜上,a的取值范圍為1,)故選C.思維升華(1)方程f(x)g(x)根的個數(shù)即為函數(shù)yf(x)和yg(x)圖象交點(diǎn)的個數(shù)(2)關(guān)于x的方程f(x)m0有解,m的范圍就是函數(shù)yf(x)的值域跟蹤演練2(1)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k0有唯一一個實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案0,1)(2,)解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,結(jié)合圖象可以看出當(dāng)0k2時符合題設(shè)(2)(2018天津)已知a0,函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)ax恰有2個互異的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是_答案(4,8)解析作出函數(shù)f(x)的示意圖,如圖l1是過原點(diǎn)且與拋物線yx22ax2a相切的直線,l2是過原點(diǎn)且與拋物線yx22axa相切的直線由圖可知,當(dāng)直線yax在l1,l2之間(不含直線l1,l2)變動時,符合題意由消去y,整理得x2ax2a0.由10,得a8(a0舍去)由消去y,整理得x2axa0.由20,得a4(a0舍去)綜上,得4a8.熱點(diǎn)三函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問題,首先考慮題目考查的函數(shù)模型,并要注意定義域其解題步驟是:(1)閱讀理解,審清題意:分析出已知什么,求什么,從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題(2)數(shù)學(xué)建模:弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式(3)解函數(shù)模型:利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果(4)實(shí)際問題作答:將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實(shí)際問題作出解答例3經(jīng)測算,某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(升)與速度x(千米/時)(50x120)的關(guān)系可近似表示為:y(1)該型號汽車速度為多少時,可使得每小時耗油量最低?(2)已知A,B兩地相距120千米,假定該型號汽車勻速從A地駛向B地,則汽車速度為多少時總耗油量最少?解(1)當(dāng)x50,80)時,y(x2130x4 900)(x65)2675,當(dāng)x65時,y有最小值6759.當(dāng)x80,120時,函數(shù)單調(diào)遞減,故當(dāng)x120時,y有最小值10.因?yàn)?10,故當(dāng)x65時每小時耗油量最低(2)設(shè)總耗油量為l,由題意可知ly.當(dāng)x50,80)時,ly16,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x70時,l取得最小值16.當(dāng)x80,120時,ly2為減函數(shù)當(dāng)x120時,l取得最小值10.因?yàn)?00,xR)若f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒有零點(diǎn),則的取值范圍是_答案解析f(x)sin x(sin xcos x)sin.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒有零點(diǎn),所以2,所以,所以01.當(dāng)x(,2)時,x,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)有零點(diǎn),則k2(kZ),即k(kZ)當(dāng)k0時,;當(dāng)k1時,.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒有零點(diǎn)時,0或.2(2017山東改編)已知當(dāng)x0,1時,函數(shù)y(mx1)2的圖象與ym的圖象有且只有一個交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(0,13,)解析設(shè)f(x)(mx1)2,g(x)m,在同一直角坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)f(x)(mx1)2m22與g(x)m的大致圖象分兩種情形:(1)當(dāng)01時,01,如圖,要使f(x)與g(x)的圖象在0,1上只有一個交點(diǎn),只需g(1)f(1),即1m(m1)2,解得m3或m0(舍去)綜上所述,m(0,13,)3(2017江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間0,1)上,f(x)其中集合D,則方程f(x)lg x0的解的個數(shù)是_答案8解析由于f(x)0,1),則只需考慮1x10的情況,在此范圍內(nèi),當(dāng)xQ,且xZ時,設(shè)x,p,qN*,p2且p,q互質(zhì)若lg xQ,則由lg x(0,1),可設(shè)lg x,m,nN*,m2且m,n互質(zhì)因此,則10nm,此時左邊為整數(shù),右邊為非整數(shù),矛盾因此lg xQ,因此lg x不可能與每個周期內(nèi)xD對應(yīng)的部分相等,只需考慮lg x與每個周期內(nèi)xD部分的交點(diǎn),畫出函數(shù)草圖圖中交點(diǎn)除(1,0)外其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù),屬于每個周期內(nèi)xD部分,且x1處(lg x)g,g(4)32,g(1)2,所以兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)一共有5個,所以f(x)2sin xx1的零點(diǎn)個數(shù)為5.2已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)2x恰有三個不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1,1) B0,2C(2,2 D1,2)押題依據(jù)利用函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)可以得到函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù),進(jìn)而確定參數(shù)范圍,較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想答案D解析g(x)f(x)2x要使函數(shù)g(x)恰有三個不同的零點(diǎn),只需g(x)0恰有三個不同的實(shí)數(shù)根,所以或所以g(x)0的三個不同的實(shí)數(shù)根為x2(xa),x1(xa),x2(xa)再借助數(shù)軸,可得1a2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,2),故選D.3在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為_m.押題依據(jù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是高考的必考點(diǎn),函數(shù)的最值問題是應(yīng)用問題考查的熱點(diǎn)答案20解析如圖,過A作AHBC交BC于點(diǎn)H,交DE于點(diǎn)F,易知,AFx,F(xiàn)H40x(0x40),則矩形花園的面積Sx(40x)2,當(dāng)且僅當(dāng)40xx,即x20時取等號,所以滿足題意的邊長x為20 m.A組專題通關(guān)1如圖是函數(shù)f(x)x2axb的部分圖象,則函數(shù)g(x)ln xf(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B.C(1,2) D(2,3)答案B解析由函數(shù)圖象可知即函數(shù)g(x)ln x2xaln x2x1b,gln 11bln 2b0,所以零點(diǎn)所在的一個區(qū)間為,故選B.2某企業(yè)為節(jié)能減排,用9萬元購進(jìn)一臺新設(shè)備用于生產(chǎn),第一年需運(yùn)營費(fèi)用2萬元,從第二年起,每年運(yùn)營費(fèi)用均比上一年增加3萬元,該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為21萬元,設(shè)該設(shè)備使用了n(nN*)年后,盈利總額達(dá)到最大值(盈利額等于收入減去成本),則n等于()A6 B7 C8 D7或8答案B解析盈利總額為21n9n2n9,由于對稱軸為n,所以當(dāng)n7時,取最大值,故選B.3(2018湖南十四校聯(lián)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x0時,f(x)2x2x4,則f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是()A2 B3 C4 D5答案B解析由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),故f(0)0.由于ff(2)0時有1個零點(diǎn),根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知,當(dāng)x0時,也有1個零點(diǎn)故一共有3個零點(diǎn)4(2018烏魯木齊模擬)已知函數(shù)f(x)x22x(x0)與g(x)x2log2(xa)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn),則a的取值范圍是()A(,) B(,)C. D.答案B解析f(x)x22x(x0時,x0),所以f(x)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為h(x)f(x)x22x(x0),由題意得x22xx2log2(xa)在x0時有解,作出函數(shù)的圖象如圖所示,當(dāng)a0時,函數(shù)y2x與ylog2(xa)的圖象在(0,)上必有交點(diǎn),符合題意,若a0,若兩函數(shù)在(0,)上有交點(diǎn),則log2a,解得0a,綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,)5將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中,t min后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設(shè)過5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再過m min甲桶中的水只有升,則m的值為()A5 B6 C8 D10答案A解析根據(jù)題意知,因?yàn)? min后甲桶和乙桶的水量相等,所以函數(shù)f(x)aent滿足f(5)ae5na,可得nln ,因?yàn)楫?dāng)k min后甲桶中的水只有升,所以f(k),即ln kln ,所以ln k2ln ,解得k10,k55,即m5,故選A.6(2018湖南省三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)則方程f(f(x)20的實(shí)根個數(shù)為()A6 B5 C4 D3答案C解析令tf(x),則方程f(f(x)20等價(jià)于f(t)2t0,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出f(x)與直線y2x的圖象,由圖象可得有兩個交點(diǎn),且f(t)2t0的兩根分別為t10和1t20時,存在一個零點(diǎn),故當(dāng)x0時有兩個零點(diǎn),f(x)x33mx2(x0),f(x)3x23m(x0),若m0,則f(x)0,函數(shù)f(x)在(,0上單調(diào)遞增,不會有兩個零點(diǎn),故舍去;當(dāng)m0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,又f(0)20時有兩個零點(diǎn),解得m1,故m的取值范圍是(1,)9對于函數(shù)f(x)與g(x),若存在xR|f(x)0,xR|g(x)0,使得|1,則稱函數(shù)f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”,現(xiàn)已知函數(shù)f(x)ex2x3與g(x)x2axx4互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案3,4解析由題意知,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x2,設(shè)g(x)滿足|2|1的零點(diǎn)為,因?yàn)閨2|1,解得13.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象開口向上,所以要使g(x)的一個零點(diǎn)落在區(qū)間1,3上,則需滿足g(1)g(3)0或解得a4或3a,得3a4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為3,410(2018江西撫州七校聯(lián)考)食品安全問題越來越引起人們的重視,農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害,為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入200萬元,搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收益P、種黃瓜的年收益Q與投入a(單位:萬元)滿足P804,Qa120.設(shè)甲大棚的投入為x(單位:萬元),每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位:萬元)(1)求f(50)的值;(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入,才能使總收益f(x)最大?解(1)因?yàn)榧状笈锿度?0萬元,則乙大棚投入150萬元,所以f(50)804150120277.5.(2)f(x)804(200x)120x4250,依題意得解得20x180,故f(x)x4250(20x180)令t2,6,則yt24t250(t8)2282,當(dāng)t8,即x128時,f(x)max282,所以當(dāng)甲大棚投入128萬元,乙大棚投入72萬元時,總收益最大,且最大收益為282萬元B組能力提高11定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x0時,f(x)若關(guān)于x的方程f(x)a0(0a1)所有根之和為1,則實(shí)數(shù)a的值為()A. B. C. D.答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以當(dāng)x(1,0時,f(x)f(x)log(x1)log2(1x);當(dāng)x(,1時,f(x)f(x)(1|x3|)|x3|1,所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,令g(x)f(x)a,函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即為函數(shù)yf(x)與ya的交點(diǎn),如圖所示,共5個當(dāng)x(,1時,令|x3|1a,解得x14a,x2a2,當(dāng)x(1,0)時,令log2(1x)a,解得x312a;當(dāng)x1,)時,令1|x3|a,解得x44a,x5a2,所以所有零點(diǎn)之和為x1x2x3x4x54aa212a4aa212a1,a.12(2018山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)axln x有3個不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析函數(shù)f(x)axln x有3個不同的零點(diǎn),等價(jià)于a,x(0,)有3個不同解,令g(x),x(0,),則g(x),當(dāng)x(0,)時,令y2xln x,則y2,當(dāng)x時,y0,y單調(diào)遞增,則ymin1ln1ln 20,則當(dāng)x(0,)時,恒有2xln x0,令g(x)0,得x1或xe,且x(0,1)時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增;x時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞減,則g(x)的極小值為g(1)1,g(x)的極大值為g(e),當(dāng)
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