電子輸運(yùn)理論及性質(zhì).ppt

固體物理 （II）,第八章 電子輸運(yùn)理論及性質(zhì) 第九章 半導(dǎo)體電子論 第十章 固體的磁性 第十一章 超導(dǎo)電性,第八章 電子輸運(yùn)理論及性質(zhì),能帶結(jié)構(gòu),輸運(yùn)性質(zhì),載流子受到的散射或碰撞,外場下作用下載流子的運(yùn)動規(guī)律,外場和碰撞同時(shí)作用對載流子輸運(yùn)性質(zhì)的影響,引入馳豫時(shí)間描述,采用半經(jīng)典模型,引入分布函數(shù)，并將這些影響歸結(jié)到對分布函數(shù)的影響,8.1 外場下Bloch電子運(yùn)動的半經(jīng)典模型 8.2 Boltzmann方程 8.3 外場和碰撞作用 8.4 馳豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)理論 8.5 電-聲子相互作用 8.6 金屬電導(dǎo)率 電阻率 8.8 磁輸運(yùn)性質(zhì) 霍爾效應(yīng) 磁電阻效應(yīng) 8.9 熱輸運(yùn)性質(zhì) 熱電效應(yīng) 熱導(dǎo)率 熱電勢,對外電場、磁場采用經(jīng)典方式處理,對晶格周期場采用能帶論量子力學(xué)方式處理,模型,每個(gè)電子具有確定的位置 r 、波矢 k 和能帶指標(biāo)n,建立模型描述r 、 k 和n 隨時(shí)間的變化規(guī)律,能帶指標(biāo),電子的速度,波矢隨時(shí)間的變化,(1)電子總呆在同一能帶中 (2)忽略不同帶間的躍遷,8.1 Bloch電子運(yùn)動的半經(jīng)典模型,對晶格周期場的量子力學(xué)處理全部概括在 函數(shù)中,能帶結(jié)構(gòu),輸運(yùn)性質(zhì),能帶結(jié)構(gòu),同基于理論得到的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較從而驗(yàn)證能帶結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)的正確與否,提供了從能帶結(jié)構(gòu)推斷出電子輸運(yùn)性質(zhì)的理論基礎(chǔ),基于輸運(yùn)性質(zhì)的測量結(jié)果,推斷出電子的能帶結(jié)構(gòu),8.2 Boltzmann方程,對固體中電子輸運(yùn)性質(zhì)的了解，除載流子受到的散射或碰撞外，需要知道外場作用下載流子的運(yùn)動規(guī)律以及外場和碰撞同時(shí)作用對載流子輸運(yùn)性質(zhì)的影響。,外場下載流子運(yùn)動規(guī)律可基于半經(jīng)典模型,現(xiàn)在要解決的是如何考慮碰撞以及碰撞和外場同時(shí)作用對載流子運(yùn)動規(guī)律的影響？,引入分布函數(shù)，并將這些影響歸結(jié)到對分布函數(shù)的影響,對于單位體積樣品，t時(shí)刻、第n個(gè)能帶中，在（r,k） 處 相空間體積內(nèi)的電子數(shù)為：,每一個(gè)電子對電流密度的貢獻(xiàn)為,所以總電流密度為,碰撞以及碰撞和外場同時(shí)作用對 f 的影響？,在熱平衡情況下，即溫度均勻且沒有外場作用，電子系統(tǒng)的分布函數(shù)為費(fèi)米分布函數(shù),與位置無關(guān)。,有外場/溫度不均勻時(shí)，電子將偏離熱平衡，相應(yīng)的分布函數(shù),如何隨時(shí)間變化呢？,t 時(shí)刻（r,k）處的電子,由于碰撞的存在，dt 時(shí)間內(nèi)從（r-dr,k-dk）處出發(fā)的電子并不都能到達(dá)（r,k）處，另一方面， t 時(shí)刻（r,k）處的電子也并非都來自t-dt 時(shí)刻（r-dr,k-dk）處漂移來的電子，因此有：,若將因碰撞引起的 f 變化寫成 則有,必來自t-dt 時(shí)刻（r-dr,k-dk）處漂移來的電子,若沒有碰撞，則有,玻爾茲曼方程,對于穩(wěn)態(tài),Boltzmann方程,決定于體系的能帶結(jié)構(gòu),與外場有關(guān),因此，Boltzmann方程將能帶結(jié)構(gòu)、外場作用以及碰撞作用通過引入分布函數(shù)而相聯(lián)系，成為研究固體電子輸運(yùn)性質(zhì)的理論基礎(chǔ),8.3 外場和碰撞作用,(1)溫度場,溫度梯度的存在引起不均勻的分布函數(shù),通常假定非平衡的穩(wěn)態(tài)分布相對于平衡分布偏離甚少,(2)電場,忽略掉溫度梯度對f1的影響,(1)溫度場,(2)電場,(3)磁場,(3)磁場,玻爾茲曼方程最復(fù)雜的是碰撞項(xiàng)的處理，為了方便，可以做一些簡化。,假設(shè)沒有外場，也沒有溫度梯度，那么如果電子的分布函數(shù)偏離了平衡值，系統(tǒng)必須以碰撞機(jī)制來恢復(fù)平衡態(tài)的分布。,(4)碰撞,方程的解：,該方程說明：由于碰撞作用，系統(tǒng)將以時(shí)間常數(shù) 弛豫回到平衡分布。,一般可以用弛豫時(shí)間 來描述這個(gè)恢復(fù)過程：,溫度場、電場、磁場及碰撞作用同時(shí)存在下的Boltzmann方程,溫度場,電場,磁場,碰撞,8.4 固體電阻率,在沒有溫度場、磁場的情況下，僅有電場時(shí)的Boltzmann方程為,泰勒定理：,因此，該式相當(dāng)于上述泰勒展開式的一級近似,借助分布函數(shù)電流密度可表示為,同時(shí)注意到,8.4.1 直流電導(dǎo)率,說明：在電場作用下，分布函數(shù)相當(dāng)于平衡分布函數(shù)沿著外場相反的方向剛性移動了,或者說，在k空間中，外加電場引起費(fèi)米球剛性平移了,注意到,知道了分布函數(shù)就可以很方便的求出電流密度，只需對分布函數(shù)在相空間求積分：,兩個(gè)等能面之間的距離為dk 面元為ds,體積元為,由于：,而：,考慮K空間的兩個(gè)等能面,由于 只在費(fèi)米面附近才不為零，即,所以積分只需考慮在費(fèi)米面附近進(jìn)行,考慮一個(gè)立方體晶體，外場方向沿著Ox方向，電流沿著Ox,所以立方體晶體的電導(dǎo)率,利用對稱性,以及關(guān)系,利用,得到,得到,和在自由電子氣模型中得到的結(jié)果形式上相同，不同之處有兩點(diǎn)，一是電子的質(zhì)量為有效質(zhì)量，二是馳豫時(shí)間為費(fèi)米面上電子的馳豫時(shí)間。,在多種散射機(jī)制存在下，總的散射幾率是：,總散射馳豫時(shí)間,電阻率源于傳導(dǎo)電子的散射，固體因缺陷、雜質(zhì)、晶格振動、庫侖作用等，往往存在著多種散射機(jī)制,Pi代表第i 種機(jī)制單位時(shí)間內(nèi)的散射幾率,意味著總電阻率是不同散射機(jī)制引起的電阻率之和,馬西森(Matthiessen)定則,剩余電阻率,聲子散射有關(guān)的電阻率,電子電子相互作用有關(guān)的電阻率,磁散射有關(guān)的電阻率,導(dǎo)體,雜質(zhì)、缺陷等散射 電子聲子相互作用 電子電子相互作用 磁散射,導(dǎo)體電阻率至少包含四個(gè)部分,8.4.2 導(dǎo)體電阻率,常見的散射機(jī)制,導(dǎo)體中或多或少存在缺陷或結(jié)構(gòu)不完整或含有雜質(zhì)離子，這些缺陷、結(jié)構(gòu)不完整性和雜質(zhì)將對傳導(dǎo)電子產(chǎn)生散射，引起電阻。,與此相對應(yīng)的電阻率稱為剩余電阻率，記為0,剩余電阻率與樣品質(zhì)量有關(guān)，是一個(gè)與溫度無關(guān)的常數(shù)。,通過低溫下電阻率隨溫度關(guān)系的測量并外推到絕對零度，即可得到剩余電阻率。,很明顯，樣品質(zhì)量越好，也就是說，盡可能少的缺陷、結(jié)構(gòu)盡可能完整、沒有雜質(zhì)的存在，0則越小。如果是理想導(dǎo)體，則剩余電阻率趨向于零。,1、剩余電阻率,2、磁散射有關(guān)的電阻率,電子不僅攜帶電荷 而且還攜帶自旋,因此，電阻率應(yīng)包含一項(xiàng)與自旋散射或磁散射有關(guān)的部分,電子的自旋自旋散射,磁性離子對傳導(dǎo)電子的散射,磁性雜質(zhì)對傳導(dǎo)電子的散射,自旋波對傳導(dǎo)電子的散射引起的電阻率隨溫度按T2關(guān)系變化，即：,在高溫（TTc）時(shí)，磁自旋無序散射引起電阻率，對溫度的依賴性不強(qiáng)。,磁性離子對傳導(dǎo)電子的散射,非磁金屬,電阻率,明顯地，式中的物理量均與電子自旋是無關(guān)的,因此，在非磁性金屬中，電子的輸運(yùn)與電子的自旋無關(guān),電子的自旋自旋散射,鐵磁金屬,Stoner 提出了能帶劈裂交換模型 對于鐵磁過渡金屬來說, 交換作用能與動能的平衡使系統(tǒng)不同自旋的子帶發(fā)生交換劈裂, 自旋向上的子帶與自旋向下的子帶發(fā)生相對位移, 引起自發(fā)磁化, 這樣一來系統(tǒng)的動能雖然增加了, 但由于其3d 電子在費(fèi)密面附近具有非常大的態(tài)密度, 動能的增加不大,而交換作用能卻大大減小, 因而系統(tǒng)的總能量有所下降。交換劈裂使自旋向上的子帶(多數(shù)自旋) 全部或絕大部分被電子占據(jù), 而自旋向下的子帶(少數(shù)自旋) 僅部分被電子占據(jù)。二者的差異造成了鐵磁過渡金屬元素原子磁矩的非整數(shù)性.兩子帶的占據(jù)電子總數(shù)之差正比于它的磁矩。,通常定義自旋極化度為,N和N分別表示自旋向上和向下的電子數(shù)， D和D分別表示自旋向上和向下子帶的態(tài)密度,材料 Ni Co Fe Ni80Fe20 Co50Fe50 Co84Fe16 自旋極化度() 33 45 44 48 51 49,例如,或,電阻率,由于能帶中的電子濃度、有效質(zhì)量、散射的馳豫時(shí)間、電子運(yùn)動的平均自由程以及費(fèi)米面附近的電子態(tài)密度均與電子自旋的取向有關(guān)，因此，在過渡族金屬及其合金中的電阻率應(yīng)與電子自旋的取向有關(guān)。,高阻態(tài)：自旋取向無序；低阻態(tài)：自旋鐵磁性取向,磁場可部分引起自旋鐵磁性取向，導(dǎo)致電阻率變小， 從而鐵磁金屬及其合金可表現(xiàn)出負(fù)磁電阻效應(yīng),金屬中摻有少量磁性雜質(zhì)，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，電阻率隨溫度降低而變小，在某一溫度附近達(dá)到最小，然后隨溫度進(jìn)一步降低而增加,這些反?，F(xiàn)象實(shí)驗(yàn)上早已觀察，多年來一直是金屬研究中的一個(gè)疑難問題，直到1964年，近藤（J. Kondo）提出理論對電阻極小現(xiàn)象以解釋。,磁性雜質(zhì)對傳導(dǎo)電子的散射,金屬中摻入少量磁性雜質(zhì)引起低溫下出現(xiàn)電阻極小的現(xiàn)象，以及與此相關(guān)的一系列低溫反?，F(xiàn)象，稱為近藤效應(yīng)。,近藤效應(yīng),而聲子散射有關(guān)的電阻率隨T降低而減少,傳導(dǎo)電子本身攜帶自旋 磁性雜質(zhì)具有局域磁矩 雜質(zhì)磁矩與傳導(dǎo)電子自旋之間存在相互作用 這一作用引起對傳導(dǎo)電子額外的散射，導(dǎo)致額外的電阻率：,近藤理論,ni雜質(zhì)濃度，J交換積分，D導(dǎo)帶半寬度,兩者的競爭必然在某一溫度達(dá)到極小,1） 電子-電子相互吸引作用的簡單模型,1950年弗烈里希(Frolich)指出：電子-聲子相互作用能把兩個(gè)電子耦合在一起，這種耦合就好像兩個(gè)電子之間有相互作用一樣,為了明確其物理圖像，弗烈里希給出如下一個(gè)物理模型,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)電子通過晶格時(shí)，電子與離子點(diǎn)陣的庫侖作用使晶格畸變,當(dāng)?shù)诙€(gè)電子通過畸變的晶格時(shí)，受到畸變場作用，畸變場吸引這第二個(gè)電子,如果我們忘記第一個(gè)電子對晶格造成畸變的過程，而只看最后結(jié)果，將是第一個(gè)電子吸引第二個(gè)電子,3、聲子散射有關(guān)的電阻率,當(dāng)溫度不為零時(shí)，離子實(shí)會在平衡位置附近發(fā)生小的振動，使得電子勢變成,晶體中共有化運(yùn)動的電子是在和晶格具有相同周期的勢場中運(yùn)動：,對理想完整的晶體，絕對零度時(shí)離子實(shí)處在嚴(yán)格周期排列的位置,在這樣的周期場中運(yùn)動的電子，其狀態(tài)是由確定能量和確定波矢的Bloch波所描述的穩(wěn)定態(tài)，這種穩(wěn)定態(tài)不會發(fā)生變化。,明顯地，周期勢場因晶格振動而被破壞，附加的偏離周期性勢場,2） 電-聲子相互作用的理論描述,可看作為微擾，它使得電子從一個(gè)穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)，即出現(xiàn)散射,假設(shè)偏離很小，則有,為簡單起見，只考慮簡單格子，此時(shí)僅有聲學(xué)支,將波矢q、頻率的簡正模引起的原子位移寫成實(shí)數(shù)形式,為振動方向上的單位矢量,這是量子力學(xué)中典型的含時(shí)周期性微擾問題,在這樣的微擾下，電子從k態(tài)躍遷到k態(tài)的幾率為,函數(shù)保證了躍遷過程中能量是守恒的，即,離子實(shí)偏離平衡位置的運(yùn)動組成晶體中的格波，格波的能量是量子化的。,格波的量子稱為聲子,因此晶格振動對電子的散射實(shí)際上就是聲子對電子的散射。,晶格運(yùn)動對電子的散射過程相當(dāng)于電子通過吸收（+）或發(fā)射聲子（-），從一個(gè)穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)的過程。,散射矩陣元,由于晶格平移對稱性，求和部分僅僅當(dāng)波矢之和為倒格矢方不為零，由此給出晶格動量守恒關(guān)系，即,能量守恒關(guān)系,動量守恒關(guān)系,正常過程或N過程,此時(shí),說明電子在初態(tài)k吸收（+）或發(fā)射（-）一個(gè)波矢為q的聲子躍遷到末態(tài)k的過程能量和動量均是守恒的。,倒逆過程或U過程,說明電子在初態(tài)k吸收（+）或發(fā)射（-）一個(gè)波矢為q的聲子躍遷到末態(tài)k的過程能量是守恒的，但動量并不守恒。,7.4.3 馳豫時(shí)間,碰撞項(xiàng),該方程說明：由于碰撞作用，系統(tǒng)將以時(shí)間常數(shù) 弛豫回到平衡分布。,另外一方面，碰撞項(xiàng)也可以表示為：,代表單位時(shí)間內(nèi)因碰撞進(jìn)入（r，k）處相空間單位體積中的電子數(shù),代表單位時(shí)間內(nèi)因碰撞離開（r，k）處相空間單位體積中的電子數(shù),若電子從k態(tài)躍遷到k態(tài)的幾率為wk,k，計(jì)及泡利不相容原理，則有,同理有,因此,在外加電場下,對球形費(fèi)米面,如取電場方向?yàn)閗方向，則有,為k和k之間的夾角,寫成積分形式,3） 聲子散射有關(guān)的電阻率,故電阻率不僅與躍遷幾率有關(guān)，還涉及（1-cos）的權(quán)重因子,很明顯小角度的散射對產(chǎn)生電阻幾乎沒有貢獻(xiàn)，起重要作用的則是大角度散射，它使電子沿電場方向的速度有大的改變。,由前面得分析看到，電子和格波的一個(gè)簡正模（即一個(gè)聲子）相互作用導(dǎo)致電子從k態(tài)到k態(tài)的躍遷，其躍遷幾率正比于該格波振幅的平方,對 所描述的格波模 晶格中每個(gè)原子的振動動能,對時(shí)間平均后得到,N個(gè)原子總的振動動能為,可見，振幅的平方與相應(yīng)格波模的能量相聯(lián)系，用聲子語言，則是比例于相應(yīng)的聲子數(shù),頻率為的格波的聲子數(shù),按德拜模型，總的聲子數(shù)為,高溫,低溫,同時(shí)，高溫下涉及的聲子波矢較大，(1-cos)與溫度幾乎無關(guān)，因此，電阻率正比于溫度，即,另外一方面，低溫下涉及的聲子波矢小，需要考慮(1-cos)因子的影響,布洛赫-格林艾森T5定律,更一般情況下電子受聲子的散射引起的電阻率為：,A為材料有關(guān)的常數(shù)，M原子質(zhì)量，D為德拜溫度,意味著高溫時(shí)，因電聲子相互作用引起的電阻率隨溫度降低而線性減小,意味著低溫時(shí)，因電聲子相互作用引起的電阻率按T5關(guān)系隨溫度降低而減少,稱為布洛赫-格林艾森公式,4、 電子電子相互作用有關(guān)的電阻率,金屬中的傳導(dǎo)電子雖擁在一起，彼此僅相距0.2nm，但在兩次相互碰撞之間卻運(yùn)動了相當(dāng)長的距離。,這是金屬的一個(gè)令人驚異的性質(zhì)！為什么？,注意到：正是因?yàn)槿绱碎L的平均自由程，才使得自由電子模型在很多方面給金屬性質(zhì)以令人滿意的描述,泡利不相容原理降低了電子的碰撞幾率,兩電子之間庫侖相互作用的屏蔽,波矢為k1的電子與波矢為k2的電子碰撞,根據(jù)泡利不相容原理，只允許這樣的碰撞發(fā)生，即其終態(tài)k3和k4在碰撞以前是未被電子占據(jù)的態(tài)。,碰撞后波矢分別變成k3和k4,這樣，電子1的能量E1為正，電子2的能量E2為負(fù)。,根據(jù)不相容原理，碰撞后電子的軌道3和4必定在費(fèi)米球外，相應(yīng)的能量E3和E4均為正值。,因此，處在充滿軌道中的電子，僅僅部分電子才可能成為電子1的碰撞靶體，這部分作為靶體的電子占總數(shù)的比例約為,即使處在上述能殼中的電子可作為電子1的碰撞靶體，但碰撞過程還要求滿足動量守恒，因此，處在上述能殼中的電子也只有部分參與了和電子1的碰撞，這部分電子所占的比例近似為,用熱能kBT代替E1，則降低因子可近似為,能量守恒,動量守恒,在盧瑟福碰撞截面計(jì)算中，電子被看成是一個(gè)未屏蔽的點(diǎn)電荷，相應(yīng)的庫侖勢為：,然而，電子的運(yùn)動是關(guān)聯(lián)的，關(guān)聯(lián)的后果是使得點(diǎn)電荷產(chǎn)生的庫侖勢受到屏蔽，成為屏蔽庫侖勢,兩電子之間庫侖相互作用的屏蔽,泡利因子的出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)了電子電子相互作用的重要性，而屏蔽效應(yīng)引起碰撞截面的減小因而降低了電子電子相互作用的重要性,因此，考慮電子電子相互作用后，有效碰撞截面近似為,泡利因子,屏蔽庫侖相互作用下的碰撞截面,屏蔽效應(yīng)在電子電子碰撞過程中所起的作用是降低碰撞截面 Q0，使之小于未屏蔽庫侖勢的盧瑟福碰撞方程所估計(jì)的碰撞截面,由于電子電子相互作用，使得有效碰撞截面正比于溫度的平方，因此，電子電子相互作用有關(guān)的電阻率為,1、基本概念,極化場：離子晶體中的導(dǎo)電電子在移動時(shí)將使周圍晶格極化，正離子被吸向電子，負(fù)離子被電子排斥。這種正、負(fù)離子的相對位移，形成一個(gè)圍繞電子的極化場。,極化子：離子晶體中，導(dǎo)電電子與它周圍的極化場所構(gòu)成的一個(gè)互相作用的整體，稱為極化子。,從場論角度看，極化子是慢運(yùn)動電子與光學(xué)模縱聲子（LO聲子）相互作用系統(tǒng)的準(zhǔn)粒子。,大極化子與小極化子：極化子的尺寸由電子（或空穴）周圍晶格畸變區(qū)域的大小決定。當(dāng)這個(gè)區(qū)域比晶格常數(shù)大得多時(shí)稱為大極化子。當(dāng)電子周圍的晶格畸變區(qū)小于或等于晶格常數(shù)量級時(shí)稱為小極化子。,8.4.3 極化子(polarons) 有關(guān)的電阻率,極化子的尺寸：極化場中的晶格畸變可以解釋為電子在其周圍激發(fā)LO虛聲子。因此，極化子的尺寸可以由電子發(fā)射或吸收LO虛聲子后的位置不確定度估計(jì)。,式中k, m, L依次是電子發(fā)射或吸收LO虛聲子后的波數(shù)不確定度、電子的有效質(zhì)量、聲子的圓頻率。,對極性離子晶體半導(dǎo)體，如VI和V族化合物，能帶電子的有效質(zhì)量比自由電子質(zhì)量小一百倍，極化子的尺寸約為100，遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)，這些材料中的載流子是大極化子。,對于多數(shù)離子晶體，如堿金屬的鹵化物，其能帶電子的有效質(zhì)量可近似取自由電子質(zhì)量，這樣算出的極化子尺寸略大于晶格常數(shù)，載流子近似為小極化子。,以離子晶體為例說明一個(gè)極化子的形成過程,對于窄帶半導(dǎo)體，如NiO，能帶電子的有效質(zhì)量較大，r小于或等于晶格常數(shù)，屬于小極化子情形。,一般來說，小極化子出現(xiàn)在具有窄帶和強(qiáng)耦合的系統(tǒng)中。,2、極化子形成過程,KCl形成彈性點(diǎn)陣,由于K離子帶正電，如果傳導(dǎo)電子出現(xiàn)在K離子附近,意味著，在彈性點(diǎn)陣情況下， K或Cl離子會因?yàn)橥瑐鲗?dǎo)電子之間的庫侖力作用而發(fā)生位移，即所謂的晶格應(yīng)變,同樣由于Cl離子帶負(fù)電，當(dāng)傳導(dǎo)電子經(jīng)過時(shí)，傳導(dǎo)電子和Cl離子之間的庫侖排斥力作用使得Cl離子遠(yuǎn)離傳導(dǎo)電子,則傳導(dǎo)電子和K離子之間的庫侖吸引力作用，使得K離子向傳導(dǎo)電子靠近,電子加上與之聯(lián)系的應(yīng)變場稱為一個(gè)極化子,離子的位移增大了電子的有效慣性，因此也就增大了它的有效質(zhì)量，從而使得傳導(dǎo)電子的運(yùn)動速度變緩。,在極端情況下，傳導(dǎo)電子自陷于應(yīng)變場中，或者說傳導(dǎo)電子被因晶格畸變而產(chǎn)生的應(yīng)變場所捕獲，成為束縛態(tài)電子。,現(xiàn)在所關(guān)心的是，電子如何從一個(gè)束縛態(tài)過渡到另一個(gè)束縛態(tài),極化子有關(guān)的電阻率,高溫下，傳導(dǎo)電子借助于熱激活機(jī)理可以從一個(gè)束縛態(tài)過渡到另一個(gè)束縛態(tài),高溫,無外場時(shí)勢能曲線,傳導(dǎo)電子越過勢壘向左和向右的幾率勢一樣的,傳導(dǎo)電子右端勢壘高度由原來的E0下降至,而傳導(dǎo)左端勢壘高度增至,外場的作用使勢壘不再對稱,因此，傳導(dǎo)越過勢壘向右的凈幾率為,而電阻率,在弱場或高溫下,低溫,低溫下傳導(dǎo)電子借助隧穿機(jī)理而緩慢地通過晶體,三十年多前，基于極化子隧穿機(jī)理提出極化子輸運(yùn)理論,按照該理論，低溫（kT2tp）下電阻率,I. G. Lang and Yu. A Firsov, Sov. Phys. JEPT 16, 1301(1963),其中tP是極化子跳躍積分，a為晶格常數(shù)，為馳豫率,光學(xué)聲子模的平均頻率，A為常數(shù)，取決于裸帶寬和電聲子耦合強(qiáng)度,低溫下只有低頻模式才對電阻率有貢獻(xiàn)，而高頻模式可忽略不考慮，因此，,其中s為軟光學(xué)模式的平均頻率，C為正比于極化子有效質(zhì)量的常數(shù),8.5 磁場中電子的運(yùn)動,磁場中電子運(yùn)動的基本方程,1、 自由電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動,自由電子的能量,回轉(zhuǎn)頻率,可見 k空間電子在 面上做圓周運(yùn)動,實(shí)空間電子的運(yùn)動,對時(shí)間求導(dǎo),可見在(x, y)平面做勻速圓周運(yùn)動,回轉(zhuǎn)頻率,2、自由電子情況的量子理論,無磁場時(shí)自由電子哈密頓算符,為整數(shù),N個(gè)電子基態(tài)從能量最低k=0態(tài)開始，按能量由低到高依次填充，最后得到一個(gè)費(fèi)米球。,電子的本征能量,磁場中電子的動量包含兩部分,運(yùn)動動量,勢動量（場動量）,因此磁場中電子的哈密頓算符,外加磁場，假設(shè)磁場沿z軸，,則可取矢勢,因此，磁場中運(yùn)動的電子滿足的薛定鄂方程為,令,代入得到應(yīng)滿足的方程,令,顯然，這是簡諧振子的薛定鄂方程,諧振子波函數(shù),諧振子的能量,而電子波函數(shù),電子的能量,電子波函數(shù),電子的能量,這些量子化的能級稱為朗道能級,表明：沿磁場方向（z方向）電子保持自由運(yùn)動， 相應(yīng)的動能為,在垂直磁場的(x, y)平面上，電子運(yùn)動是量子化的， 從準(zhǔn)連續(xù)的能量 變成,在垂直于磁場方向上，無磁場時(shí)的動能按,這樣在k空間中，許可態(tài)的代表點(diǎn)將簡并到Landua管上，其截面為Landau環(huán)，如圖。,3、晶體中電子的情況,晶體中電子在磁場中的運(yùn)動時(shí)，其哈密頓算符,處理思路：將周期性勢場的影響概括為有效質(zhì)量的變化 有效質(zhì)量近似方法,哈密頓量,采用有效質(zhì)量近似后，晶體中的電子可視為“自由電子”，正是此電子的質(zhì)量是有效質(zhì)量m*,回轉(zhuǎn)頻率,磁場下晶體中電子的波函數(shù),能量本征值,在垂直于磁場方向上，無磁場時(shí)的動能按,4、回旋共振,晶體中電子在磁場中運(yùn)動，采用有效質(zhì)量近似后，電子做螺旋運(yùn)動，回轉(zhuǎn)頻率,在垂直于磁場的方向施加一個(gè)交變電場，當(dāng),電子將吸收交變電場的能量,電子發(fā)生共振吸收，稱為回旋共振,電子吸收電場的能量，電子實(shí)現(xiàn)了從一個(gè)朗道能級躍遷到更高能量的朗道能級上，通過測量回旋共振頻率，可以確定電子的有效質(zhì)量,半導(dǎo)體材料中能帶底和能帶頂附近，電子的有效質(zhì)量不同，具有不同的回旋共振頻率,8.6 磁輸運(yùn)性質(zhì),7.6.1 Boltzmann方程及解,一般情況下Boltzmann方程,若沒有溫度梯度，只有磁場和電場作用，則,類似于在電場下的討論，我們得到電場和磁場同時(shí)存在時(shí)的電流密度為,若寫成形式,則有,8.6.2 Hall電阻與歐姆電阻,假定磁場沿z軸，電流在垂直于z軸的平面上，如圖。,與磁場無關(guān)！,正比于磁場,8.6.3 磁電阻效應(yīng),磁場引起的電阻變化，稱之為磁電阻效應(yīng),從推導(dǎo)中看到，,與磁場無關(guān)的量，意味著,之所以得出磁電阻為零的結(jié)論，主要是因?yàn)椋?費(fèi)米面為球形 對電流貢獻(xiàn)的電子來自于同一能帶中 只有費(fèi)米面附近、速度等于費(fèi)米速度的電子才參與導(dǎo)電，它們感受到同樣的洛倫玆力，雖然這種洛倫玆力作用下電子軌道會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，但恰好為霍爾場的作用所抵消，結(jié)果相當(dāng)于磁場并不存在。,費(fèi)米面并非嚴(yán)格球形,實(shí)際情況是所有的金屬均表現(xiàn)出不為零的磁電阻效應(yīng),參與導(dǎo)電的電子并非僅僅來自單一能帶,因此電子速度、有效質(zhì)量與方向和能量有關(guān)，僅部分電子的運(yùn)動滿足洛倫玆力與霍爾場力的平衡，其余電子的軌跡發(fā)生了變化。,假設(shè)參與導(dǎo)電的電子來自兩個(gè)各向同性的能帶,這樣就有兩組不同有效質(zhì)量和不同速度的載流子,總電流,Ji、i和Di分別為第i帶的電流密度、電導(dǎo)率和D矢量,由于這一原因，磁電阻測量常常成為研究費(fèi)米面形狀的最有效實(shí)驗(yàn)手段,考慮磁場沿z軸 電場在xy平面,令Jy=0，則從第二式可得到Hall電場Ey,將Ey代入第一式則得到Jx 與Ex的關(guān)系：,磁場下的電導(dǎo)率,則有,任意場強(qiáng)時(shí)公式很復(fù)雜，現(xiàn)在考慮低磁場情況。所謂低場是相對而言的，即滿足：,磁電導(dǎo),低場下,磁電阻,所以在兩帶模型下我們得到磁電阻為,在兩帶模型中，參與對輸運(yùn)貢獻(xiàn)的電子來源于兩個(gè)不同的各向同性的能帶，在這種情況下，我們得到,意味著磁場引起電阻的增大，其起因是由于洛倫玆力的存在引起電子的運(yùn)動軌跡發(fā)生了變化,為了和通常講到的與自旋有關(guān)的磁電阻效應(yīng)進(jìn)行區(qū)別，通常稱洛倫玆力有關(guān)的磁電阻效應(yīng)為正常磁電阻效應(yīng)。,由于,由于MR僅為的函數(shù)，而,由科勒定則看到，相同的磁場下，零場下電阻率越小，則磁電阻越明顯，而金屬電阻隨溫度降低而變小