chap22-離散時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析.ppt

2.3 離散時(shí)間系統(tǒng)（數(shù)字濾波器）,離散時(shí)間系統(tǒng)的例子 累加器 滑動(dòng)平均濾波器 指數(shù)加權(quán)的移動(dòng)平均濾波器 線性內(nèi)插器 中值濾波器,離散時(shí)間系統(tǒng)的分類 線性系統(tǒng) 移不變系統(tǒng) 因果系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng) 無(wú)源和無(wú)損系統(tǒng) 沖激和階躍響應(yīng),2.3 離散系統(tǒng)及其普遍關(guān)系,1.離散系統(tǒng)的定義 離散系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的惟一性變換或運(yùn)算。亦即將一個(gè)序列變換成另一個(gè)序列的系統(tǒng)，記為 y(n)=Tx(n) 通常將上式表示成圖2-20所示的框圖。,離散時(shí)間系統(tǒng)的功能是對(duì)給定的輸入序列進(jìn)行處理得到輸出序列，所以離散時(shí)間系統(tǒng)就表示對(duì)輸入序列xn的運(yùn)算，即yn= Txn，其結(jié)果也是一個(gè)序列yn。 算子T表示將輸入序列xn映射為單一輸出序列yn的變換。 通常，離散時(shí)間系統(tǒng)處理的信號(hào)都是數(shù)字信號(hào)，產(chǎn)生的信號(hào)也是數(shù)字信號(hào)，因此，又稱作數(shù)字濾波器。,輸入序列,輸出序列,2.3 離散系統(tǒng)及其普遍關(guān)系,圖2-20 離散系統(tǒng)的模型,2.3.1 離散時(shí)間系統(tǒng)的例子,累加器,其輸入輸出關(guān)系定義如下,2.3.1 離散時(shí)間系統(tǒng)的例子,2. 滑動(dòng)平均濾波器,在平均處理中，有對(duì)同組數(shù)據(jù)多次檢測(cè)，再總體平均得到不受干擾的信號(hào)的例子，在很多情況下，不能對(duì)數(shù)據(jù)重復(fù)測(cè)量，所以，一般用滑動(dòng)平均濾波的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行估計(jì)(注意兩者區(qū)別),2.3.1 離散時(shí)間系統(tǒng)的例子,3.指數(shù)加權(quán)的移動(dòng)平均濾波器,思考：若1會(huì)出現(xiàn)什么情況？,2.3.1 離散時(shí)間系統(tǒng)的例子,4.線性內(nèi)插器 用于估計(jì)離散時(shí)間系統(tǒng)中相鄰一對(duì)樣本值之間的樣本值大小 xn上抽樣（補(bǔ)零）xun線性內(nèi)插 用于圖像放大過(guò)程等。,2.3.1 離散時(shí)間系統(tǒng)的例子,5.中值濾波器 中值長(zhǎng)度為2K+1的序列xn中，如果該序列中K個(gè)數(shù)據(jù)大于序列中的某個(gè)數(shù)據(jù)，剩下的K個(gè)數(shù)據(jù)小于該數(shù)據(jù)，則該數(shù)據(jù)稱為中值，表示為medxn。 常用于去除加性隨機(jī)突發(fā)噪聲。,5.中值濾波舉例,x = 2 80 6 3 y1 = Median2 2 80 = 2 y2 = Median2 80 6 = Median2 6 80 = 6 y3 = Median80 6 3 = Median3 6 80 = 6 y4 = Median6 3 3 = Median3 3 6 = 3,2.3.2 離散時(shí)間系統(tǒng)分類,線性系統(tǒng)（滿足疊加原理的系統(tǒng)） Tax1n+bx2n=aTx1n+bTx2n,2 系統(tǒng)的非移變特性 系統(tǒng)的非移變是指系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而變化。用數(shù)學(xué)表示為 Tx(nn0)=y(nn0) 即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，輸出信號(hào)響應(yīng)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同。 要證明一個(gè)系統(tǒng)是時(shí)不變的，必須解出Txn-m和 yn-m，看兩者是否相等 。 注意：前者僅考慮輸入，后者考慮所有變量影響。 線性時(shí)不變系統(tǒng)（Linear Time Invariant）既滿足迭加原理又具有時(shí)不變性的系統(tǒng)。,圖2-22 離散系統(tǒng)的非移變特性,(2) 線性非移變系統(tǒng) 線性非移變系統(tǒng)就是既滿足迭加原理 又具有非移變特性的系統(tǒng)，如圖2-24所示。,圖2-23 線性非移變系統(tǒng)模型,線性系統(tǒng)的例子累加器,3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性 (1) 穩(wěn)定性 對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入序列是有界時(shí)，其輸出也是有界的，則稱它是穩(wěn)定系統(tǒng)。用數(shù)學(xué)描述則為 如果 x(n)對(duì)于一切n 則 y(n)對(duì)于一切n,因?yàn)?其中假設(shè)x(n)M。,穩(wěn)定系統(tǒng) 當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)有界輸入序列都產(chǎn)生一個(gè)有界的輸出序列時(shí)，則稱該系統(tǒng)在有界輸入有界輸出（BIBO, Bounded-Input-Bounded-Output）意義下穩(wěn)定。 也就是說(shuō)，如果存在某個(gè)固定的有限正數(shù)Bx，使得 | xn| Bx ，for all n 則稱輸入xn有界。 如果在輸入xn有界條件下，存在固定的有限正數(shù)By，使得： | yn| By ，for all n 則稱系統(tǒng)穩(wěn)定。,因果系統(tǒng) 如果對(duì)每一個(gè)選取的n0，輸出序列在n= n0的值僅僅取決于輸入序列在n n0的值，則該系統(tǒng)就是因果的。 也就是說(shuō)，該序列是不可預(yù)知的。 在因果系統(tǒng)中，輸出的變化不會(huì)先于輸入的變化。,（2）因果性 一個(gè)系統(tǒng)如果其輸出變化不會(huì)發(fā)生在輸入變化之前，則稱它是因果的。這就是說(shuō)對(duì)于因果系統(tǒng)，如果取n0 ,當(dāng)n n0時(shí)，x1(n) = x2(n),則n n0時(shí)，y1(n)=y2(n)。一個(gè)線性非移變系統(tǒng)當(dāng)n0時(shí)的因果充要條件是其單位取樣響應(yīng)等于零,即 h(n)=0 n0 這個(gè)充要條件可以從y（n） x(n)*h(n) 的解析式中導(dǎo)出。,4.系統(tǒng)的差分方程描述 (1) 非遞歸型(FIR) 非遞歸型因果系統(tǒng)是輸出的現(xiàn)在值僅僅取決于輸入的現(xiàn)在值與輸入的過(guò)去值的系統(tǒng)。非遞歸，即輸出對(duì)輸入無(wú)反饋。因此，設(shè)在n時(shí)刻輸入x(n)與輸出y(n)的關(guān)系為 y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1), 若系統(tǒng)是線性非移變的，y(n)可表示為,(2) 遞歸型(IIR) 遞歸型因果系統(tǒng)輸出的現(xiàn)在值不僅取決于輸入的現(xiàn)在值與過(guò)去值，還取決于輸出的過(guò)去值。 y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1), +g,y(n-1),y(n+1),同理，在系統(tǒng)為線性、非移變、因果時(shí)，可推得,常系數(shù)線性差分方程,無(wú)源和無(wú)損系統(tǒng) 無(wú)源指輸入能量有限且輸出序列的能量不超過(guò)輸入序列的能量。 無(wú)損指對(duì)于每一個(gè)輸入序列，輸出序列的能量等于輸入序列的能量。,2.3.3 系統(tǒng)的沖激和階躍響應(yīng),沖激響應(yīng)（單位抽樣響應(yīng)）h(n) 當(dāng)輸入為單位抽樣序列(n)，其輸出h(n)稱為沖激響應(yīng)（單位抽樣響應(yīng)），即 h(n)=T(n),2.3.3 系統(tǒng)的沖激和階躍響應(yīng),階躍響應(yīng)s(n) 當(dāng)輸入為單位階躍序列u(n)，其輸出s(n)稱為階躍響應(yīng)，即 s(n)=Tu(n),總結(jié)：線性時(shí)不變系統(tǒng)判斷,2.4 LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域特性,LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 輸出序列為輸入序列與沖激響應(yīng)序列的卷積和 卷積和的性質(zhì)：交換律，結(jié)合律，分配律，etc 穩(wěn)定條件和因果條件 常系數(shù)差分方程,LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 沖激響應(yīng),LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的性質(zhì)決定了它可以由其沖激響應(yīng)hn完全描述，即已知hn ，可以得到系統(tǒng)對(duì)任意輸入的輸出響應(yīng)。 下面給出詳細(xì)推導(dǎo)。 設(shè)LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為hn，則有 。,由于任意序列可表示成單位抽樣序列的時(shí)移加權(quán)和，因此，任意輸入序列xn可以表示為 則 LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出序列，可以表示為輸入序列與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積和。,卷積和的性質(zhì),交換律 結(jié)合律 分配律,卷積和的性質(zhì),平移性 與單位脈沖的卷積和,兩個(gè)有限長(zhǎng)序列卷積的結(jié)果仍是有限長(zhǎng)序列，通常，兩序列長(zhǎng)度為M、N時(shí)，卷積得到的序列長(zhǎng)度是M+N-1,卷積和的過(guò)程,卷積和求解過(guò)程： 設(shè)序列xn,h n,它們的卷積和yn定義為 卷積和計(jì)算分四步：時(shí)間反轉(zhuǎn)(折疊)，時(shí)移，相乘，相加。,信號(hào)的相關(guān)與卷積,相關(guān)的意義：計(jì)算信號(hào)之間的相似性,1.定義,互相關(guān)序列 表示一對(duì)能量信號(hào)xn和yn之間相似性的量度，定義如下：,參數(shù) l 稱為時(shí)延，表示這一對(duì)信號(hào)間的相對(duì)時(shí)移。l0,yn相對(duì)xn右移 l 個(gè)樣本 l0,yn相對(duì)xn左移 l 個(gè)樣本,下標(biāo)xy表示x為參考序列，下標(biāo)yx的互相關(guān)如下,信號(hào)xn自相關(guān)定義,即互相關(guān)定義中，令yn=xn,2.相關(guān)和卷積的關(guān)系,讓序列xn通過(guò)沖激響應(yīng)為y-n的系統(tǒng)，得到的輸出序列即為xn與yn的互相關(guān)。,有限維 LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 線性常系數(shù)差分方程,線性常系數(shù)差分方程 離散變量n的函數(shù)xn及其位移函數(shù)xn-m 線性疊加而構(gòu)成的方程. 一.表示法與解法 1.表示法,* 常系數(shù)：a0,a1,aN ; b0,b1,bM 均是常數(shù)（不含n）. *階數(shù)：max(N,M)，系統(tǒng)和差分方程的階數(shù) *線性：yn-k,xn-m各項(xiàng)只有一次冪,不含它們的乘積項(xiàng)。 2.解法 時(shí)域：迭代法，卷積和法; 變換域：Z變換法.,二.用迭代法求解差分方程,1.“松弛”系統(tǒng)的輸出 起始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，這種系統(tǒng) 用的較多，其輸出就是 。 因此，已知hn就可求出yn，所以必須知道hn的求法.,2.迭代法（以求hn為例） 例: 已知因果系統(tǒng)的常系數(shù)線性差分方程為yn-ayn-1=xn，試求單位沖激 響應(yīng)hn. 解：因果系統(tǒng)有hn=0,n0 ; 方程可寫 作: yn=ayn-1+xn,注意： 1.一個(gè)常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件（初始）所決定。 2.我們討論的系統(tǒng)都假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。,1. 指系統(tǒng)的輸入與輸出的運(yùn)算關(guān)系的表述方法。 2. 差分方程可直接得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。 例：yn=b0xn-a1yn-1 用表示相加器； 用 表示乘法器； 用 表示一位延時(shí)單元。,三.系統(tǒng)結(jié)構(gòu),例：差分方程yn= b0 xn-a1yn-1表示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為：,LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的分類,按沖激響應(yīng)長(zhǎng)度分：FIR和IIR 按輸出計(jì)算過(guò)程分：遞歸和非遞歸 按沖擊相應(yīng)系數(shù)分：實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù),本章綜述： 離散信號(hào)的傅氏變換及離散系統(tǒng),1.變換關(guān)系 對(duì)于連續(xù)信號(hào)xa(t)與其頻譜Xa()之間存在著傅氏變換關(guān)系，如圖2-28所示。前邊已經(jīng)討論了