【高考輔導資料】高中物理競賽教程：3.4《磁場對運動電荷的作用》

3.4 磁場對運動電荷的作用341、洛倫茲力載流導線所受的安培力，我們可看為是磁場作用給運動電荷即自由電子的力，經(jīng)自由電子與導體晶格的碰撞而傳遞給導線的。根據(jù)安培定律，而電流強度與運動電荷有關系，角既是O圖3-4-1電流元與B的夾角，也可視為帶電粒子的速度與之間的夾角，長導線中有粒子數(shù)，則每個電子受到的力即洛倫茲力為洛倫茲力總是與粒子速度垂直，因此洛倫茲力不作功，不能改變運動電荷速度的大小，只能改變速度的方向，使路徑發(fā)生彎曲。洛倫茲力的方向從圖3-4-1可以看出，它一定與磁場(B)的方向垂直，也與粒子運動()方向垂直，即與、B所在的平面垂直，具體方向可用左手定則判定。但應注意，這里所說的粒子運動方向是指正電荷運動的方向，它恰與負電荷沿相反方向運動等效。342、帶電粒子在勻強磁場中的運動規(guī)律帶電粒子在勻強磁場中的運動規(guī)律與粒子的初始狀態(tài)有關具體如下：如果帶電粒子原來靜止，它即使在磁場中也不會受洛倫磁力的作用，因而保持靜止。如果帶電粒子運動的方向恰與磁場方向在一條直線上，該粒子仍不受洛倫磁力的作用，粒子就以這個速度在磁場中做勻速直線運動。ABOAA圖3-4-2帶電粒子速度方向與磁場方向垂直，帶電粒子在垂直于磁場方向的平面內以入射速度作勻速圓周運動。帶電粒子在勻強磁場中作勻速圓周運動的四個基本公式。(1)向心力公式：(2)軌道半徑公式：(3)周期、頻率和角頻率公式，即：，(4) 動能公式：如圖3-4-2所示，在洛倫茲力作用下，一個作勻速圓周運動的粒子，不論沿順時針方向運動還是沿逆時針方向運動，從A點到B點，均具有下述特點：(1)軌道圓心(O)總是位于A、B兩點洛倫茲力(f)的交點上或AB弦的中垂線與任一個f的交點上。(2)粒子的速度偏向角等于回旋角，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角)的兩倍，即。磁場中帶電粒子運動的方向一般是任意的，但任何一個帶電粒子運動的速度()都可以在垂直于磁場方向和平行于磁場方向進行分解，得vvvfBr圖3-4-3到和兩個分速度。根據(jù)運動的獨立性可知，這樣的帶電粒子一方面以在磁場方向上作勻速運動，一方面又在垂直于磁場的方向上作速率為的勻速圓周運動。實際上粒子作螺旋線運動(如圖3-4-3)，這種螺旋線運動的周期和螺距大小讀者自己分析并不難解決。其螺旋運動的周期，其運動規(guī)律：螺旋運動回旋半徑：螺旋運動螺距：343、霍爾效應圖3-4-4將一載流導體放在磁場中，由于洛倫茲力的作用，會使帶電粒子(或別的載流子)發(fā)生橫向偏轉，在磁場和電流二者垂直的方向上出現(xiàn)橫向電勢差，這一現(xiàn)象稱為霍爾效應。如圖3-4-4所示，電流I在導體中流動，設導體橫截面高h、寬為d勻強磁場方向垂直與導線前、后兩表面向外，磁感強度為B，導體內自由電子密度為n，定向移動速度由于洛倫茲力作用，自由電子向上表面聚集，下表面留下正離子，結果上下表面間形成電場，存在電勢差U，這個電場對電子的作用力方向向下，大小為當F與洛倫磁力f相平衡時，上、下表面電荷達到穩(wěn)定，則有圖3-4-5如果導電的載流子是正電荷，則上表面聚集正電荷，下表面為負電勢，電勢差正、負也正好相反。下面來分析霍爾電勢差，求出霍爾系數(shù)。在圖3-4-5中，設大塊導體的長和寬分別為L和d，單位體積自由電荷密度為n，電荷定向移動速率為，則電流。假定形成電流的電荷是正電荷，其定向移動方向就是電流方向。根據(jù)左手定則，正電荷向上積聚，下表面附近缺少正電荷則呈現(xiàn)負電荷積聚，上正下負電壓為，正電荷受到跟磁場力反向的電場力的作用。電場對正電荷向上的偏移積聚起阻礙作用，當最后達到平衡時，可得。可見，理論推導的結果跟實驗結果完全一致，系數(shù)。既然k跟n有關，n表征電荷濃度，那么通過實驗測定k值可以確定導體或半導體的電荷濃度n，半導體的n值比金屬導體小得多，所以k值也大得多。此外根據(jù)左手定則還可知，即使電流I就是圖3-4-6中的流向，如果參與流動的是正電荷，那么電壓就是上正下負；如果參與定向移動的是自由電子，那么電壓就是上負下正了?；魻栯妱莸母叩透雽w是p型的還是n型的有如此的關系：上正下負的是p型半導體，定向載流子是帶正電的空穴：上負下正的是n型半導體，如果k值小得多就是金屬導體，定向載流子是自由電子。344、磁聚焦運動電荷在磁場中的螺旋運動被應用于“磁聚焦技術”。如圖3-4-7，電子束經(jīng)過a、b板上恒定電場加速后，進入c、d極板之間電場，c、d板上加交變電壓，所以飛出c、d板后粒子速度方向不同，從A孔穿入螺線管磁場中，由于大小差不多，且與B夾角很小，則圖3-4-7由于速度分量不同，在磁場中它們將沿不同半徑的螺旋線運動。但由于它們速度分量近似相等，經(jīng)過后又相聚于點，這與光束經(jīng)透鏡后聚焦的現(xiàn)象有些類似，所以叫做磁聚焦現(xiàn)象。磁聚焦原理被廣泛地應用于電真空器件如電子顯微鏡。345、復合場中離子的運動xyPQ圖3-4-81電場和磁場區(qū)域獨立磁場與電場不同，磁場中，洛倫磁力對運動電荷不做功，只改變帶電粒子速度方向，所以在勻強磁場中帶電粒子的運動主要表現(xiàn)為：勻速圓周運動、螺旋運動、勻速直線運動。而電場中，電荷受到電場力作用，電場力可能對電荷做功，因而改變速度大小和方向，但電場是保守場，電場力做功與運動路徑無關。處理獨立的電場和磁場中運動電荷問題，是分開獨立處理。例：如圖3-3-8所示，在平面內，yO區(qū)域有勻強電場，方向沿-y方向，大小為E，yO區(qū)域有勻強磁場，方向垂直紙面向里，大小為B，一帶電+q、質量為m的粒子從y軸上一點P由靜止釋放，要求粒子能經(jīng)過x軸上Q點，Q坐標為(L，O)，試求粒子最初釋放點P的坐標。分析：解決上述問題關鍵是明確帶電粒子的受力和運動特點。從y軸上釋放后，只受電場力加速做直線運動，從O點射入磁場，然后做勻速圓周運動，半圈后可能恰好擊中Q點，也可能返回電場中，再減速、加速做直線運動，然后又返回磁場中，再經(jīng)半圓有可能擊中Q點，。那么擊中Q點應滿足的條件。2空間區(qū)域同時存在電場和磁場（1） 電場和磁場正交如圖3-4-9所示，空間存在著正交的電場和磁場區(qū)域，電場平行于紙面平面向下，大小為E，磁場垂直于紙面向內，磁感強度為B，一帶電粒子以初速進入磁場，圖3-4-9，設粒子電量+q，則受力：洛=方向向上，F(xiàn)電=qE方向向下。若滿足：=qE=E/B則帶電粒子將受平衡力作用做勻速直線運動，這是一個速度選擇器模型。若粒子進入正交電磁場速度，則可將分解為，粒子的運動可看成是與兩個運動的合運動，因而粒子受到的洛倫茲力可看成是與的合力，而與電場力qE平衡，粒子在電場中所受合力為，結果粒子的運動是以的勻速直線運動和以速度所做勻速圓周運動的合運動。例：如圖3-4-10正交電磁場中，質量m、帶電量+q粒子由一點P靜止釋放，分析它的運動。分析：粒子初速為零釋放，它的運動軌跡是如圖3-4-10所示的周期性的曲線。初速為零，亦可看成是向右的與向左-兩個運動的合運動，其中大小為：=E/B圖3-4-10所以+q粒子可看成是向右勻速直線運動和逆時針的勻速圓周運動的合運動。電場方向上向下最大位移一個周期向右移動距離L即PP之距為圖3-4-11代入，得： 最低點Q點速度 （2） 電場和磁場平行如圖3-4-11所示的空間區(qū)域有相互平行的電場和磁場E、B一帶電+q粒子以初速射入場區(qū)(或B)。則帶電粒子在磁場力作用下將做圓周運動，電場力作用下向上做加速運動，由于向上運動速度分量始終與B平行，故粒子受洛倫磁力大小恒為，結果粒子運動是垂直于E(或B)平面的半徑R=m/qB的勻速圓周運動和沿E方向勻加速直線運動的合運動，即一個螺距逐漸增大的螺旋運動。（3） 電場力、洛倫磁力都與方向垂直，粒子做勻速圓周運動。例如電子繞原子核做勻速圓周運動，電子質量m，電量為e，現(xiàn)在垂直軌道平面方向加一勻強磁場，磁感強度大小為B，而電子軌道半徑不變，已知電場力3倍與洛倫磁力，試確定電子的角速度。在這里電子繞核旋轉，電場力、洛倫磁力提供運動所需向心力，即電+洛=而f洛可能指向圓心，也可能沿半徑向外的，因而可能是或典型例題例1在如圖3-4-12所示的直角坐標系中，坐標原點O固定電量為Q的正點電荷，另有指向y軸正方向(豎直向圖3-4-12上方向)，磁感應強度大小為B的勻強磁場，因而另一個質量為m、電量力為q的正點電荷微粒恰好能以y軸上的點為圓心作勻速圓周運動，其軌道平面(水平面)與平面平行，角速度為，試求圓心的坐標值。分析：帶電微粒作勻速圓周運動，可以確定在只有洛倫磁力和庫侖力的情況下除非與O不重合，必須要考慮第三個力即重力。只有這樣，才能使三者的合力保證它繞在水平面內作勻速圓周運動。解：設帶電微粒作勻速圓周運動半徑為R，圓心的縱坐標為y，圓周上一點與坐標原點的連線和y軸夾角為，那么有 帶電粒子受力如圖3-4-13所示，列出動力學方程為mg=F電cos (1)圖3-4-13f洛-F電 (2)f洛= (3)將(2)式變換得f洛-F電 (4)將(3)代入(4)，且(1)(4)得消去R得 圖3-4-14例2如圖3-4-14所示，被1000V的電勢差加速的電子從電子槍發(fā)射出來，沿直線方向運動，要求電子擊中在方向、距離槍口5cm的靶M，對以下兩種情形求出所用的均勻磁場的磁感應強度B（1）磁場垂直于由直線與點M所確定的平面。（2）磁場平行于TM。解： （1）從幾何考慮得出電子的圓軌道的半徑為(如圖3-4-15) 圖3-4-15按能量守恒定律，電荷Q通過電勢差U后的速度v為 即 作用在電荷Q上的洛倫磁力為 這個力等于向心力 故所需的磁感應強度為 用上面的半徑和速度值，得到 由于，所以 B=0.0037T（2）在磁場施加的力與速度垂直，所以均勻恒定磁場只改變電子速度的方向，不改變速度的大小。我們把電子槍發(fā)射的電子速度分解成兩個直線分量：沿磁場B方向的和垂直磁場的，因為在磁場的方向上，磁場對它沒有作用力(圖3-4-16)。圖3-4-16電子經(jīng)過d/時間后到達目標M。由于磁場B和垂直的速度分量，電子在圓軌道上運動，由得到圓半徑為電子在目標M的方向上也具有速度，結果是電子繞B方向作螺旋線運動。電在在d/時間內，在繞了k圈后擊中目標。K是一個整數(shù)。圓的周長為 由于繞圓周運動的速度是，故繞一周的時間是 這個值乘上整數(shù)k，應等于 d/因此，所需的磁感應強度為 k=1時，電子轉一圈后擊中目標：k=2時，電子轉兩圈后擊中目標，等等。只要角度相同，磁場方向相反與否，無關緊要。用給出的數(shù)據(jù)代入，得 B=k0.0067T圖3-4-17例3一根邊長為a、b、c(abc)的矩形截面長棒，如圖3-4-17所示，由半導體銻化銦制成，棒中有平行于a邊的電流I通過，該棒放在垂直于c邊向外的磁場B中，電流I所產(chǎn)生的磁場忽略不計。該電流的載流子為電子，在只有電場存在時，電子在半導體中的平均速度，其中為遷移率。（1） 確定棒中所產(chǎn)生上述電流的總電場的大小和方向。（2） 計算夾c邊的兩表面上相對兩點之間的電勢差。（3） 如果電流和磁場都是交變的，且分別為，)，求(2)中電勢差的直流分量的表達式。已知數(shù)據(jù)：電子遷移率，電子密度，I=1. 0A，B=0.1T，b=1.0cm，c=1.0mm，e=1.610-19C分析： 這是一個有關霍爾效應的問題，沿電流方向，導體內存在電場，又因為霍爾效應，使得電子偏轉，在垂直電流方向產(chǎn)生電場，兩側面間有電勢差的存在解： (1)因為 所以電場沿方向分量沿c方向的分量 總電場大?。弘妶龇较蚺c邊夾角，=(2) 上、下兩表面電勢差(3)加上交變電流和交變磁場后，有前面討論的上、下表面電勢差表達式，可得：=圖3-4-18因此的直流分量為 直=例4如圖3-4-18所示，空間有互相正交的勻強電場E和勻強磁場B，E沿+y方向，B沿+z方向，一個帶正電+q、質量為m的粒子(設重力可以忽略)，從坐標圓點O開始無初速出發(fā)，求粒子坐標和時間的函數(shù)關系，以及粒子的運動軌跡。圖3-4-19分析：正離子以O點起無初速出發(fā)，受恒定電場力作用沿+y方向運動，因為速度v的大小、方向都改變，洛倫茲力僅在xOy平面上起作用，粒子軌跡一定不會離開xOy平面且一定以O為起點。既然粒子僅受的兩個力中一個是恒力一個是變力，作為解題思路，利用獨立性與疊加原理，我們設想把洛倫茲力分解為兩個分力，使一個分力跟恒電場力抵消，就把這個實際受力簡化為只受一個洛倫茲力分力的問題。注意此處不是場的分解和抵消，而是通過先分解速度達到對力進行分解和疊加。我們都知道，符合一定大小要求的彼此正交的勻強復合電磁場能起速度選擇器作用。受其原理啟發(fā)，設想正離子從O點起(此處)就有一個沿x軸正方向、大小為的始終不變的速度，當然在O點同時應有一個沿-x方向的大小也是的速度，保證在O點，則，沿-y方向，qE沿+y方向，彼此抵消，可寫成。因任一時刻，所以，或改寫成：。始終的三個速度和都在xOy平面上，其物理意義是：正離子在復合場中受的兩個真實的力()和F(E)的矢量和，可以用一個洛倫磁力分力來代替，這樣做的一個先決條件是把正離子運動看成以下兩個分運動的合成：沿+x方向的=E/B的勻速直線運動；在xOy平面上的一個勻速圓周運動，其理由是：是平面力，軌跡又是平面的不是三維空間的，所以必與垂直，在O點就是-，之后不對離子作功，大小不變，充當向心力。這個圓周運動特征量是：，。解：t=0時刻，正離子位于O點，此時起離子具有兩個速度：一是速度方向始終不變、大小為=E/B的速度。由這個速度引起的洛倫磁