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第三章 行列式,3.1 行列式的定義 3.2 行列式的性質及應用 3.3 克萊姆（Cramer）法則 3.4 行列式的計算 3.5 應用實例 3.6 習題,3.1 行列式的定義,3.1.1 二、三階行列式的定義 引入記號： ，稱它為二階行列式 其值規(guī)定為：,把 的連線稱為二階行列式的主對角線， 把 的連線稱為二階行列式的副對角線， 那么二階行列式的值就等于主對角線上元素 的乘積減去副對角線上元素的乘積。 例3.2 在平面上有一個平行四邊形OACB， A、B兩點的坐標分別為： 、 ，如圖 3.1所示，求平行四邊形OACB的面積。,圖3.1 二階行列式等價于平行四邊形面積 解：過點A做x軸垂線，交x軸于點E；過點B 做平行x軸直線與過點C做平行y軸直線相交于 點D。顯然可以得到三角形CDB和三角形AEO 全等，則有： （3-2）,根據(jù)二階行列式的定義，該平行四邊形的面 積剛好是以A、B兩點坐標所構成的二階行列 式： 例3.3 求下面三元線性方程組的解：,解：利用消元法可以得到： （3-3） 當 之前的系數(shù)不為零時，可以解出 的值 但這個結果很難記憶，為此引進三階行列式 的定義，我們稱： 是一個三階行列式,其值規(guī)定為： （3-4） 圖3.2給出了它的圖示計算規(guī)則（稱為沙路 法）。 圖3.2 三階行列式的計算規(guī)則,有了三階行列式的定義，我們可以把式（3- 3）寫為： 當方程組（3-2）的系數(shù)行列式 時，可以得到它的解。,3.1.2 n階行列式的定義 把三階行列式定義式（3-4）改寫為如下形 式： 則有： （3-5）,定義3.1 在n階行列式中，劃去元素 所在的 第i行和第j列元素后，余下的元素按原來次序 構成的n-1階行列式，稱為元素 的余子式 記作 ，稱為元素 的代數(shù)余子式。 根據(jù)定義3.1，可以把式（3-5）變?yōu)椋?定義3.2 由 個數(shù)組成的 階行列式 是一個算式，當 時， ；當 時， （3-6）,3.1.3 行列式定義的進一步討論 定義3.3 由n個自然數(shù)1、2、3、n組成 的一個有序數(shù)組，稱為一個n元排列。 例如，1 2 3、132、213、231、312、321都 是3元排列。 在n元排列的n！個排列中，123n是唯一一 個按從小到大排列的n元排列，稱為標準排列 （或自然排列）,定義3.4 一個排列中任兩個數(shù)，如果排在前 面的數(shù)大于排在后面的數(shù)，則稱這兩個數(shù)構 成一個逆序。一個排列中逆序的總數(shù)，稱為 這個排列的逆序數(shù)。 排列的逆序數(shù)記為 例如，五元排列25341，1和2、5、3、4有四 個逆序，4和5有一個逆序，3和5有一個逆 序，則排列25341的逆序數(shù)為4116。,定義3.5 （行列式的另一種定義方法）： 由 個數(shù)組成的 階行列式： (3-7) 其中 是一個n元排列， 表示對 所有n元排列（n！個）求和。,例3.4 寫出四階行列式中含有 的項。 解：四階行列式共有24項，其中含有 的項 為： ，我們只要分析列標排列 1x2y的各種情況，顯然有1324和1423兩種情況，1324逆序數(shù)為1，1423逆序數(shù)為2，則四階行列式中含有 的項為： 和 。,3.1.4 矩陣與行列式的關系 矩陣是一個數(shù)表，而行列式是一個算式，即 它是一個值。 在比較兩個矩陣是否相等時，不僅要求兩個 矩陣同型，而且要求兩個矩陣所有對應元素 相等。 而兩個行列式是否相等，只需分析其值是否 相等。 矩陣是由一對方括號（或圓括號）括起，而 行列式是由一對豎線括起。,矩陣的行數(shù)和列數(shù)不做任何限制，而行列式 的行數(shù)與列數(shù)必須相等。 當討論的矩陣A是方陣時，把A的一對方括號 去掉，加上一對豎線，就變成了行列式，我 們把這個行列式稱為方陣A的行列式， 記作： 或 。,例3.5 證明n階下三角矩陣 的行列式 。 證明：用數(shù)學歸納法證明，當 、 時，結論顯然成立。 假設結論對 階下三角行列式成立，則由定義3.2得：,右端行列式是 階下三角行列式，根據(jù)歸 納假設得： 同理可證，n階對角矩陣的行列式（也稱n階 對角行列式）,3.1.5 行列式按行（列）展開 定理3.1 n階行列式D等于它的任一行（列） 的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和， 即： 或：,例3.6 計算行列式 解：此行列式第3列只有一個非零元素，故應 把行列式按第三列展開。得到的三階行列式 中的第3列又只有一個非零元素，再得：,3.2 行列式的性質及應用,3.2.1 行列式的性質 性質1 行列式 與它的轉置行列式 相等。 行列式的轉置和矩陣的轉置概念相同。 如：,性質2 互換行列式的兩行（列），行列式變 號。 如： 推論1 如果行列式有兩行（列）完全相同， 則此行列式為零。 推論2 n階行列式D的任一行（列）的各元素 與另一行（列）對應元素的代數(shù)余子式乘積 之和等于零，即：,或： 例3.7 已知四階行列式 ， 求 ，（其中 為行列式D 的代數(shù)余子式）。 解：可以先求出行列式D的第四行各元素的代 數(shù)余子式，然后再進一步求得題目的答案。 也可以利用代數(shù)余子式的性質來分析此題。,構造行列式 ，行列式 按第四 行的展開式，剛好就是,性質3 用數(shù)k乘以行列式D，等于D中某一行 （列）的所有元素同乘以數(shù)k。 如下等式中，把數(shù)3乘到了行列式的第二列 中： 推論1 行列式某一行（列）中所有元素的公 因子可以提到行列式的外面。,推論2 如果行列式的任意兩行（列）對應元 素成比例，則行列式為零。 下列行列式的第一行和第三行所有對應元素 成比例，故知： 性質4 行列式可以按某一行（列）拆分成兩 個行列式之和。,具體拆分方法用4階行列式說明如下： 性質5 把行列式的某一行（列）的各元素乘 以同一數(shù)后加到另一行（列）對應的元素上 去，行列式值不變。如：,3.2.2 方陣行列式的性質 設A、B為n階方陣，k是數(shù)，根據(jù)行列式的性 質可以得到方陣的行列式有如下性質： （1） （2） （3） （4） （5）,3.2.3 方陣可逆的充要條件 定義3.6 設矩陣 ,且 的代數(shù) 余子式為 ，則稱矩 為 的伴 隨矩陣。記為 ，或 。,伴隨矩陣的重要性質： 定理3.2 n階方陣 為可逆矩陣的充要條件 是 。當 可逆時， 。 證：充分性，當 時， 知 故結論成立； 必要性， 設 可逆，有 ，兩邊同取 行列式 ，故,推論 若 和 為同階方陣，且滿足 ， 則 ，即矩陣 和矩陣 互逆。 例3.8 判斷三階方陣 ，是否可逆； 若可逆，求 解：因為 ，所以 可逆。 中各元素的代數(shù)余子式分別為,則： 例3.9 設 為n階可逆方陣， 證明（1） 也是可逆矩陣且 （2） 證：（1）因為矩陣 為可逆方陣，則 又根據(jù)伴隨矩陣的性質,知 ，故 是可逆矩 陣且 （2）對等式 兩邊取行列式， 有 又因為矩陣 為可逆方陣，則 故有,3.3 克萊姆（Cramer）法則,討論用行列式來求解含有n個方程n個變量的 線性方程組 （3-7） 方程組（3-7）也可以寫成矩陣形式： （3-8）,其中： 行列式 ，稱為方程組（3-7）的系數(shù)行 列式。 定理3.3（克萊姆法則） 若方程組（3-7）的 系數(shù)行列式 ，則該方程組有唯一解： ， ， ， （3-9）,其中 是把 中第 列的元素用 方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列 式，即： 第 列 定理3.3的逆否定理為：如果線性方程組（3- 7）無解或有超過一個以上的解，則它的系數(shù) 行列式必為零。,把常數(shù)項全為零的線性方程組 稱為齊次線性方程組； 把常數(shù)項不全為零的線性方程組 稱為非齊次線性方程組。 推論1 對于nn齊次線性方程組 ，當 系數(shù)行列式 時， 只有一個零解。 推論2 若nn齊次線性方程組 ，有 非零解，則必有 。,例3.10 已知齊次線性方程組 有非零解，問 應取何值？ 解：根據(jù)推論2，知方程組系數(shù)行列式必為 零，故有： 得： 或,3.4 行列式的計算,3.4.1 行列式的筆算技巧 主要的方法是把矩陣變換為行階梯形（三角 形），然后計算其主對角線元素的連乘積； 其次是充分利用含零元素較多的行或列進行 展開； 其他還有加邊法、公式法、遞推法、數(shù)學歸 納法等等。,例3.12 計算四階行列式 解：利用行列式性質把行列式化為三角行列 式（性質法、三角化法）,例3.13 證明： 證：利用行列式性質及行列式按列展開（性 質法、展開法）,此例中的四階行列式，稱為四階范德蒙 （Vander Monde）行列式, n階范德蒙行列 式為：,例3.14 計算n階行列式（空白處都為零） ： 解：其中只有n個非0元素，這n個元素之積正 是行列式唯一的非零項，再由列下標全排 列（n-1,n-2,2,1,n）的逆序數(shù)確定該項的 正負。,例3.15 計算5階行列式： 解：由分塊矩陣行列式公式： 則得,例3.16 計算5階行列式： 解：該行列式稱為三對角行列式，通?？梢?用遞推法來求解,例3.17 設 ， 均為n階方陣， 求： 解：由于 ， 則有：,例3.18 設矩陣 ， 矩陣 滿 足： ，其中 為單位矩陣， 是 的伴隨矩陣，求 。 解：由于 ，則存在 ，且有 即有： 兩邊取行列式，有： 而 則,例3.19 設 ， 為三階方陣且 ， ，求 。 解：根據(jù)分塊矩陣的乘法概念，有： 則,3.4.2 用MATLAB計算行列式 考慮的問題主要是計算速度和計算精度問題 一初等矩陣的行列式 對于第一類初等矩陣E1，即行交換變換，它 的行列式等于-1。 det(E1)=-1 (3-11) 對于第二類初等矩陣E2，即行數(shù)乘變換，它 的行列式等于k。 det(E2)=k (3-12） 對于第三類初等矩陣E3，即行的乘加變換， 它的行列式仍等于1。det(E3)=1 (3-13）,二把方陣變換為上三角矩陣LU分解 如果不考慮出現(xiàn)基準元素為零或很小的情況 時，連第一類初等變換都用不到。這樣，通 過N=(n-1)2/2次使用第三類初等矩陣E3，就 可以把主對角線左下方的N個元素全變?yōu)榱恪?寫成 (3-14） 其中U是一個上三角矩陣，所有的E3矩陣也 是上三角矩陣。,由于初等變換矩陣都是可逆的，其乘積也是 可逆的，設其逆矩陣為L，它應該是一個下三 角矩陣，于是此式可寫成 (3-15） 這種把矩陣A通過第三種初等矩陣左乘分解為 一個下三角矩陣和一個上三角矩陣乘積的變 換稱為LU變換。 其中下三角矩陣L的行列式為1，因而上三角 矩陣的行列式就等于原矩陣的行列式，即 det(A)= det(L)*det(U)= det(U),在實際工程中為了保證計算結果的精度，計 算軟件在做行階梯變換時還是要把基準元素 取為每列的絕對值最大項，所以還是使用了 行交換變換。因為其行列式等于-1，每多一 次交換，就改變一次符號。它并不影響行列 式的絕對值，但影響其正負號。 另外在(3-14）式左端的連乘積中，多了若干 個交換矩陣。會使得最后的下三角矩陣L不那 末標準，各行有些顛倒，常常稱之為準下三 角矩陣。,MATLAB提供了矩陣的三角分解函數(shù)lu.m， 其調用格式為： L,U=lu(A) 它返回的結果就是一個準下三角矩陣L和一個 上三角矩陣U。因為這個函數(shù)并不專為行列式 計算之用，有一定的普遍性，所以它不限定A 為方陣。 另一種調用格式能同時給出真正的下三角矩 陣L和交換矩陣P,其形式為： L,U,P = lu(A) 此時，它滿足 P*A = L*U （3-16）,三求出上三角方陣的行列式 由(3-15）式知道，det(U)決定了det(A)的絕 對值。因U是一個上三角矩陣，它的行列式為 其對角元素的連乘積。 在不計正負號的時候，可以寫出： 用MATLAB語句表示為 D=prod(diag(U),在必須知道行列式的正負號時，必須知道lu分 解過程中進行了多少次交換，每一次交換就 改變一次正負號。 lu子程序沒有給出這個數(shù)據(jù)，所以解決不了問 題。其實MATLAB已經把上述過程集成在一 起，給出了直接計算方陣行列式的函數(shù)det.m 其調用格式為： D=det(A) 這個函數(shù)要求輸入變元必須是方陣,3.5 應用實例,3.5.1 用LU分解計算行列式 例3.14 用化簡為三角矩陣的方法求下列矩陣 的行列式 解：列出程序： A10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1; L,Ulu(A), % 分解為上三角矩陣U和準下三角矩陣L dU diag(U); % 取上三角矩陣U主對角線上元素向量,Dprod(dU) % 求主對角元素的連乘積 程序運行的結果如下： dU 10 4.8 10.625 9.4824 1.2349 D 5.9720e003 5972,3.5.2 行列式奇異性對計算精度的影響 例3.15 設線性方程組 中， 是一個6階 的hilbert矩陣，就是說它的下標為(i,j)的元素 值為1/(i+j-1)，系數(shù)A,b1及其增量b2=b1+b 如下： 計算解x1,x2，分析兩個解的差與系數(shù)差 之間的關系。,解：用MATLAB寫出程序ea344如下： A=hilb(6), b1=1;2;1;1.732;1;2; b2=1;2;1;1.7321;1;2; x1=inv(A)*b1, x2= inv(A)*b2 dx=x2-x1, db=b2-b1 程序運行的結果為：,由于系數(shù)b的萬分之一的變化，引起解x的誤 差dx最大可達近400。 主要因為行列式D=det(A)很接近于零。本題 中的矩陣系數(shù)是hilbert矩陣，它的主要特點就 是行列式很接近于零。這樣的矩陣方程，我 們就稱之為病態(tài)的，或很接近于奇異的，對 它的解是否正確，要保持一定的懷疑。 為了定量地分析解的誤差和可信度，應該用 相對誤差做標準。b的相對誤差是 x的相對誤差是,兩者之間是以條件數(shù)(Condition Number)相關 聯(lián)的，條件數(shù)與行列式有關，它隨著行列式 的減小而減?。?（3-17） 例3.16 設 ，求其逆陣V 解：輸入A的數(shù)據(jù)后，鍵入Vinv(A)，程序 為： A=-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9, V=inv(A),運行后得到警告信息： Warning: Matrix is close to singular or badly scaled Results may be inaccurate. RCOND 6.042030e018. det(A)=0，故它是一個奇異矩陣，其逆不存 在。在用數(shù)值方法求矩陣的逆時，由于計算 中存在方法和截斷誤差，故矩陣是否奇異， 結果不是絕對的。為了評價矩陣接近“奇異”的 程度MATLAB用了“逆條件數(shù)”作為衡量指標。,3.5.3 用逆陣進行保密編譯碼 把消息中的英文字母用一個整數(shù)來表示。然 后傳送這組整數(shù)。 例如“SEND MONEY”這九個字母就用下面九 個數(shù)來表示； 5,8,10,21,7,2,10,8,3。5代表S，8代表 E，等等。 這種方法是很容易被破譯的。在一個很長的 消息中，根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)的頻率，往