人教版九年級數(shù)學第24章圓24.2 點和圓、直線和圓的位置的關系切線長定理講義

合作探究探究點1 直線與圓的三種位置關系及實際應用知識講解 (1)直線和圓的三種位置關系:相離:一條直線和圓沒有公共點.相切: 一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點.相交:一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線.(2)判斷直線和圓的位置關系:設的半徑為,圓心到直線的距離為.直線和相交；直線和相切；直線和相離.注意 要判斷一條直線與圓的位置關系有兩種方法:一看直線與圓的公共點的個數(shù);二看圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關系.典例剖析例1 如下圖，在中，以為圓心，為半徑的圓與直線有何位置關系？為什么？（1） ；（2）；（3）.解析 過作,垂足為，求出的長，比較與的大小即可判斷與直線的位置關系.答案 如圖，過作于.在中，則.又,所以.即,所以.（1） 當時，與直線相離.（2） 當時，與直線相切.（3） 當時，與直線相交.類題突破1 的半徑為，圓心到直線的距離為，且是方程的兩根，則直線為的位置關系是_.答案 相交或相離點撥 方程的兩根為，或.當時，直線為相交；當時，直線為相離.探究點2 切線的判定定理知識講解（1） 定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（2） 在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中明確指出圓與直線公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線.典型剖析例2 如下圖，是的直徑，點在的延長線上，點在圓上，直線是的切線嗎？為什么？解析 運用切線的判定方法，連接，說明答案 如圖，連接是的直徑，且，即為等邊三角形，又.根據(jù)經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線可知直線是的切線.規(guī)律總結 若已知一直線經(jīng)過圓上某一點，那么連接這點和圓心，說明該直線與半徑垂直即可判定該直線與圓相切.類題突破2 如下圖，為平分線上一點，于、為圓心、為半徑作.求證：與相切.答案 如圖，過作于.又為平分線上一點，,即點到的距離等于的半徑.與相切.點撥 如果不知直線與圓有無公共點，則過圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長等于半徑，從而證明直線為圓的切線.這是證明切線的另一種情形.要證與相切，只需證明點到的距離等于半徑即可.探究點3 切線的性質定理知識講解(1)切線的性質圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點.經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.(2)切線的性質可總結如下:如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是:a.直線過圓心;b.直線過切點;c.直線與圓的切線垂直.典例剖析例3 如下圖,是的直徑,為上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為,求證:平分.解析 是的切線，連接，則,再結合,問題即可解決.答案 如圖，連接. 是的切線,又，,即平分.類題突破3 如圖，是的兩條切線，是切點，連接，與直線交于,請你根據(jù)圓的對稱性，寫出中的三個正確的結論.結論（1）：_;結論（2）：_;結論（3）：_;答案 （1）是等腰三角形 （2）是軸對稱圖形 （3）平分（4）垂直平分線段等（只寫三個即可）點撥 根據(jù)切線定理和等腰三角形“三線合一”的性質，即可得到結論.探究點4 切線長定理知識講解圓的切線長:定義:經(jīng)過圓外-點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，注意:切線長不是切線的長度，圓的切線是直線，無法度量長度.典例剖析例4 如下圖所示，是的切線，切于點,交于點，交于點，若,試求的周長.解析 過圓外一點引圓的兩條切線很容易得出,求的周長也就轉化為求的長.答案 根據(jù)切線長定理,所以的周長為類題突破4 如圖所示，四邊形的邊和分別相切于點.求證：答案 因為都與相切，是切點，所以所以,即點撥 直接利用切線長定理，得出，進而得出結論.探究點5 三角形的內(nèi)切圓知識講解與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點.注意 任何一個三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形.典例剖析例5 如圖所示，已知的內(nèi)心為點,求的大小.解析 此例容易混淆了內(nèi)心和外心的概念，把點當成了的外心,要注意把內(nèi)心和外心這兩個概念區(qū)分開來:三角形的內(nèi)心是三角形的內(nèi)切圓的圓心，它是三角形三個內(nèi)角的平分線的交點，三角形的外心是三角形的外接圓的圓心，它是三角形三條邊的垂直平分線的交點。答案 因為點為的內(nèi)心，所以,所以.又因為，所以,所以.類題突破5 如右圖所示，是的內(nèi)切圓，為三個切點，若，則的度數(shù)是（ ）A. B. C. D.答案 A重點難點重難點1 直線和圓的位置關系的判定及性質設的半徑為，圓心到直線的距離為,直線和相交，直線和 相切，直線和相離.(1)“”左邊是直線和圓的位置關系，右邊是圓心到直線的距離與半徑的大小關系;(2)直線和圓的位置關系和圓心到直線的距離與半徑的大小關系是一一對應的;(3)從左邊推出右邊是直線和圓的位置關系的性質，從右邊推出左邊是直線和圓的位置關系的判定.例1 已知的圓心到直線上一點的距離等于的半徑，則直線和的位置關系是_.解析 要判斷直線和的位置關系，必須先弄清的圓心到直線的距離與半徑的大小關系，此題有兩個可能:一是直和相切;二是直線和相交.答案 相切或相交易錯警示 區(qū)分開的長度不一定是圓心到直線的距離.類題突破1 在 中，為邊上一點（不與點重合），的半徑，則在什么范圍內(nèi)取值時，直線與相交?相切?相離?思路圖示 過圓心作垂線計算OD的長比較OD的長與r的大小關系結論答案 如圖，過點作于點，則.當，即時，直線與相交；當，即時，直線與相切；當，即時，直線與相離.重難點2 切線的判定定理與性質定理的應用(1)在應用判定定理時注意:切線必須滿足兩個條件: (i)經(jīng)過半徑的外端;(ii)垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線，切線的判定定理實際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切”這個結論直接得出來的，在判定條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單地說成“無交點，作垂線段，證半徑”;當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”。(2) 在應用性質定理時應注意:切線和圓只有一個公共點;圓心到切線的距離等于半徑;經(jīng)過圓心并垂直于切線的直線必過切點;經(jīng)過切點并垂直于切線的直線必過圓心.例2 如圖所示，已知中，以為直徑作，交于，交于，過作于.（1） 求證：是的切線；（2） 求四邊形的面積.解析 （1）由題意知，與有公共點，故只需證即可.（2)用,得.答案 (1)如圖，連接.是的直徑，.又，又.又.即是的切線.（2）在中,.設,則,即，解得規(guī)律總結在切線的三種判定方法中，常用的有兩種;當題目中未出現(xiàn)直線與圓的公共點時，一般過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于半徑;當題目中出現(xiàn)了公共點時，往往連接該點與圓心，證明這條半徑與直線垂直即可，類題突破2 直線切于點,為的任一條直徑，點在直線上，且與不在同一條直線上),畫出圖形，試判斷四邊形是怎樣的特殊四邊形，證明你所得到的結論。答案 如圖(1)，當與直線不平行時，四邊形是直角梯形證明如下:在中,又，與直線相切于點，又與直線不平行，四邊形為直角梯形.如圖(2),當時，四邊形是正方形，證明如下:同(1)可證得.，四邊形為矩形，又,四邊形為正方形.點撥 本題可根據(jù)題意先畫出與它的切線,再畫直徑,最后根據(jù)來確定點的位置，在探索四邊形的形狀時，可轉動直徑,畫出幾個不同位置的圖形進行觀察和猜想，發(fā)現(xiàn)在一般情況下，四邊形是直角梯形，而當時，四邊形就變成了正方形，所以在解題時須分兩種情況進行分類討論。重難點3 切線長定理的應用(1)切線長要與切線區(qū)別開，切線是直線，不可以度量;切線長是切線上一條線段的長，可以度量，不要理解為切線長就是切線的長度.(2)經(jīng)過圓外一點，可以作兩條直線與該圓相切.(3)切線長的性質與切線的性質聯(lián)系非常密切，切線的所有性質仍然適合切線長.(4)切線長定理包含著一些隱含結論:垂直關系三處;全等關系三對;弧相等關系兩對,在一些證明求解問題中經(jīng)常用到.例3 如圖，都為的切線，切點分別為，則（1）求的周長；（2）求的度數(shù).解析 (1)根據(jù)切線長定理得到,于是得到,即可得到結論;(2)根據(jù)切線的性質得到,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到,即可得到結論.答案 (1)都為O的切線，即的周長為12.(2)如圖，連接OF.分別切0于A、B、F三點，類題突破3 如圖所示，為外一點,切于切于是直徑,請問:與平行嗎?為什么?答案 平行，理由:連接AB交OP于D.為的切線，是直徑，,易錯指導易錯點1 判斷直線和圓的位置關系時出錯例1的圓心到直線的距離為,的半徑為,若,是方程的兩個實數(shù)根，則直線和的位置關系是_.錯解相交錯因 分析產(chǎn)生錯解的原因是判斷直線和圓的位置關系時考慮問題不全面，求出一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以判斷相交，而沒有考慮到,的值有兩種情況.正解相交或相離糾錯心得 在解決問題的過程中，要注意分類討論，對直線與圓的位置關系進行正確判斷.易錯點2 對三角形的外心、內(nèi)心、垂心的概念混淆而導致出錯例2在中，若，點分別為的內(nèi)心外心、垂心時，則的度數(shù)分別為_.錯解80,80,80錯因分析 不能正確理解三角形的外心、內(nèi)心、垂心的概念，正解110,80,140 糾錯心得 要注意三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心;三條邊垂直平分線的交點叫做三角形的外心;三條高線的交點叫做三角形的垂心，正確區(qū)分它們