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文檔簡介
第四章 桿件的變形計算,本部分主要內容: 拉壓桿的軸向變形 圓軸的扭轉變形與相對扭轉角 梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程 用積分法求梁的彎曲變形 用疊加法求梁的彎曲變形,直桿在其軸線的外力作用下,縱向發(fā)生伸長或縮短變形,而其橫向變形相應變細或變粗,桿件在軸線方向的伸長,縱向應變,由胡克定律,得到軸向拉壓變形公式,第一節(jié) 拉壓桿的軸向變形,公式的適用條件:,1)線彈性范圍以內,材料符合胡克定律,2)在計算桿件的伸長時,l 長度內其FN、A、l 均應為常數(shù),若為變截面桿或階梯桿,則應進行分段計算或積分計算。,橫向也會發(fā)生變形,橫向應變,通過試驗發(fā)現(xiàn),當材料在彈性范圍內時,拉壓桿的縱向應變和橫向應變存在如下的比例關系,泊松比,泊松比 、彈性模量 E 、切變模量G 都是材料的彈性常數(shù),可以通過實驗測得。對于各向同性材料,可以證明三者之間存在著下面的關系,例題4-1 (教材70頁),如圖所示階梯形直桿,已知該桿AB段橫截面面積A1=800mm2,BC段橫截面面積A2=240mm2,桿件材料的彈性模量E=200GPa,求該桿的總伸長量。,1)求出軸力,并畫出軸力圖,2)求伸長量,mm,伸長,縮短,縮短,例4-2 節(jié)點位移問題(教材70頁),如圖所示桁架,鋼桿AC的橫截面面積A1=960mm2,彈性模量E1=200GPa。木桿BC的橫截面面積A2=25000mm2,長1m,彈性模量E2=10GPa。求鉸接點C的位移。F = 40 kN。,分析,通過節(jié)點C的受力分析可以判斷AC桿受拉而BC桿受壓,AC桿將伸長,而BC桿將縮短。,因此,C節(jié)點變形后將位于C3點,由于材料力學中的小變形假設,可以近似用C1和C2處的圓弧的切線來代替圓?。ㄒ郧写》ǎ?,得到交點C0,解,1)分析節(jié)點C,求AC和BC的軸力(均預先設為拉力),拉,壓,伸長,縮短,2)求AC和BC桿分別的變形量,3)分別作AC1和BC2的垂線交于C0,C點總位移:,(此問題若用圓弧精確求解),第二節(jié) 圓軸的扭轉變形及相對扭轉角,在談到圓軸扭轉切應力公式的推導時,相距 為 dx 的兩個相鄰截面之間有相對轉角dj,取,單位長度扭轉角 用來表示扭轉變形的大小,單位長度扭轉角的單位: rad/m,抗扭剛度,越大,單位長度扭轉角越小,在一段軸上,對單位長度扭轉角公式進行積分,就可得到兩端相對扭轉角j 。,相對扭轉角的單位: rad,當 為常數(shù)時:,請注意單位長度扭轉角和相對扭轉角的區(qū)別,同種材料階梯軸扭轉時:,例4-3 一受扭圓軸如圖所示,已知:T1=1400Nm, T2=600Nm, T3=800Nm, d1=60mm,d2=40mm,剪切彈性模量G=80GPa,計算最大單位長度扭轉角。,1)根據(jù)題意,首先畫出扭矩圖,2)AB 段單位長度扭轉角:,3)BC 段單位長度扭轉角:,綜合兩段,最大單位長度扭轉角應在BC 段 為 0.03978 rad/m,例4-4 圖示一等直圓桿,已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, j DB=1 , 求 : 1) 最大切應力; 2)j AC,1)畫出扭矩圖,2)求最大切應力,首先要求出M 的數(shù)值,梁還必須有足夠的剛度,即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形,否則構件將無法正常工作。例如軋鋼機的軋輥,若彎曲變形過大,軋出的鋼板將薄厚不均勻,產品不合格;如果是機床的主軸,則將嚴重影響機床的加工精度。,一、梁的變形,第三節(jié) 梁的彎曲變形,撓曲線近似微分方程,梁在平面內彎曲時,梁軸線從原來沿 x 軸方向的直線變成一條在 xy 平面內的曲線,該曲線稱為撓曲線。,某截面的豎向位移,稱為該截面的撓度,某截面的法線方向與x軸的夾角稱為該截面的轉角,撓度和轉角的大小和截面所處的 x 方向的位置有關,可以表示為關于 x 的函數(shù)。,撓度方程(撓曲線方程),轉角方程,撓度和轉角的正負號規(guī)定:,在圖示的坐標系中, 撓度 w 向上為正,向下為負。轉角規(guī)定截面法線與 x 軸夾角,逆時針為正,順時針為負,即在圖示坐標系中撓曲線具有正斜率時轉角 q 為正。,撓度和轉角的關系,在小變形假設條件下,撓曲線的斜率(一階導數(shù))近似等于截面的轉角,二、撓曲線近似微分方程,純彎曲情況下 梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的關系是:,橫力彎曲情況下,若梁的跨度遠大于梁的高度時,剪力對梁的變形可以忽略不計。但此時彎矩不再為常數(shù)。,高等數(shù)學中,關于曲率的公式,在梁小變形情況下,,梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為,梁的撓曲線近似微分方程,對上式進行一次積分,可得到轉角方程(等直梁 EI 為常數(shù)),再進行一次積分,可得到撓度方程,其中, C 和 D 是積分常數(shù),需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其大小。,第四節(jié) 用積分法求梁的彎曲變形,邊界條件,在約束處的轉角或撓度可以確定,連續(xù)條件,在梁的彎矩方程分段處,截面轉角相等,撓度相等。若梁分為n 段積分,則要出現(xiàn)2n 個待定常數(shù),總可找到2n 個相應的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。,(1)按照圖示坐標系建立彎矩方程 請同學們自己做一下(時間:1分鐘),(2)撓曲線近似微分方程,(3)積分,(4)確定積分常數(shù) 由邊界條件,代入上面兩式,(5)列出轉角方程和撓曲線方程,將 C、D 的值代入方程,(6)求B點的撓度和轉角,在自由端 , x = l,例4-6(教材75頁例4-5) 如圖所示,簡支梁受集中力F 作用,已知EI 為常量。試求B 端轉角和跨中撓度。,(1)求約束反力,(2)列出彎矩方程,AC段,CB段,(3)建立撓曲線微分方程并積分;由于彎矩方程在C點處分段,故應對AC和CB分別計算,(3)建立撓曲線微分方程并積分;由于彎矩方程在C點處分段,故應對AC和CB分別計算,AC段,CB段,利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個積分常數(shù),邊界條件:,連續(xù)條件:,由于撓曲線在C點處是連續(xù)光滑的,因此其左右兩側轉角和撓度應相等。 即,代入上面的式子,得到轉角方程和撓度方程,AC段,CB段,(5)求指定截面處的撓度和轉角,若,通過積分法我們可以求出梁任意一截面上的撓度和轉角,但是當載荷情況復雜時,彎矩方程分段就很多,導致出現(xiàn)大量積分常數(shù),運算較為繁瑣。而在工程中,較多情況下并不需要得出整個梁的撓曲線方程,只需要某指定截面的撓度和轉角,或者梁截面的最大撓度和轉角,這時采用疊加法比積分法方便。,在桿件符合線彈性、小變形的前提下,變形與載荷成線性關系,即任一載荷使桿件產生的變形均與其他載荷無關。這樣只要分別求出桿件上每個載荷單獨作用產生的變形,將其相加,就可以得到這些載荷共同作用時桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。,用疊加法求等截面梁的變形時,每個載荷作用下的變形可查教材7879頁表4-2計算得出。查表時應注意載荷的方向、跨長及字符一一對應。,第五節(jié) 用疊加法求梁的彎曲變形,例4-7 求圖中所示梁跨中點的撓度及 A 點的轉角。已知 ,梁的抗彎剛度EI 為常數(shù) 。,=,+,例4-8 如圖,梁的左半段受到均布載荷q 的作用,求 B 端的撓度和轉角。梁的抗彎剛度EI 為常數(shù) 。,考慮其變形:,由于CB 段梁上沒有載荷,各截面的彎矩均為零,說明在彎曲過程中此段并不產生變形,即CB 仍為直線。根據(jù)幾何關系可知:,由于在小變形的假設前提下,查表:,代入上面的計算式,在使用疊加法求解梁的變形時,我們通常需要參考教材表4-2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點的位移。,類似于外伸梁和其它一些較為復雜結構的梁的問題中,有些梁是不能直接查表進行位移的疊加計算,需要經(jīng)過分析和處理才能查表計算。,一般的處理方式是把梁分段,并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁,然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復雜梁的各段逐段剛化求解位移,最后進行疊加來處理(逐段剛化法)。,例4-9 求圖11-4所示外伸梁的 C截面的撓度轉角 EI 為常數(shù)。,怎樣應用表4-2中已有的結果?,對梁進行分段剛化,利用受力與變形等效的原則來處理,首先剛化AB段,這樣BC段就可以作為一個懸臂梁來研究,,再剛化BC段,由于BC段被剛化,可將作用于BC段的均布載荷簡化到B支座 ,得到
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