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第四章 桿件的變形計(jì)算,本部分主要內(nèi)容: 拉壓桿的軸向變形 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與相對扭轉(zhuǎn)角 梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程 用積分法求梁的彎曲變形 用疊加法求梁的彎曲變形,直桿在其軸線的外力作用下,縱向發(fā)生伸長或縮短變形,而其橫向變形相應(yīng)變細(xì)或變粗,桿件在軸線方向的伸長,縱向應(yīng)變,由胡克定律,得到軸向拉壓變形公式,第一節(jié) 拉壓桿的軸向變形,公式的適用條件:,1)線彈性范圍以內(nèi),材料符合胡克定律,2)在計(jì)算桿件的伸長時(shí),l 長度內(nèi)其FN、A、l 均應(yīng)為常數(shù),若為變截面桿或階梯桿,則應(yīng)進(jìn)行分段計(jì)算或積分計(jì)算。,橫向也會(huì)發(fā)生變形,橫向應(yīng)變,通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)材料在彈性范圍內(nèi)時(shí),拉壓桿的縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變存在如下的比例關(guān)系,泊松比,泊松比 、彈性模量 E 、切變模量G 都是材料的彈性常數(shù),可以通過實(shí)驗(yàn)測得。對于各向同性材料,可以證明三者之間存在著下面的關(guān)系,例題4-1 (教材70頁),如圖所示階梯形直桿,已知該桿AB段橫截面面積A1=800mm2,BC段橫截面面積A2=240mm2,桿件材料的彈性模量E=200GPa,求該桿的總伸長量。,1)求出軸力,并畫出軸力圖,2)求伸長量,mm,伸長,縮短,縮短,例4-2 節(jié)點(diǎn)位移問題(教材70頁),如圖所示桁架,鋼桿AC的橫截面面積A1=960mm2,彈性模量E1=200GPa。木桿BC的橫截面面積A2=25000mm2,長1m,彈性模量E2=10GPa。求鉸接點(diǎn)C的位移。F = 40 kN。,分析,通過節(jié)點(diǎn)C的受力分析可以判斷AC桿受拉而BC桿受壓,AC桿將伸長,而BC桿將縮短。,因此,C節(jié)點(diǎn)變形后將位于C3點(diǎn),由于材料力學(xué)中的小變形假設(shè),可以近似用C1和C2處的圓弧的切線來代替圓弧(以切代弧法),得到交點(diǎn)C0,解,1)分析節(jié)點(diǎn)C,求AC和BC的軸力(均預(yù)先設(shè)為拉力),拉,壓,伸長,縮短,2)求AC和BC桿分別的變形量,3)分別作AC1和BC2的垂線交于C0,C點(diǎn)總位移:,(此問題若用圓弧精確求解),第二節(jié) 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對扭轉(zhuǎn)角,在談到圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的推導(dǎo)時(shí),相距 為 dx 的兩個(gè)相鄰截面之間有相對轉(zhuǎn)角dj,取,單位長度扭轉(zhuǎn)角 用來表示扭轉(zhuǎn)變形的大小,單位長度扭轉(zhuǎn)角的單位: rad/m,抗扭剛度,越大,單位長度扭轉(zhuǎn)角越小,在一段軸上,對單位長度扭轉(zhuǎn)角公式進(jìn)行積分,就可得到兩端相對扭轉(zhuǎn)角j 。,相對扭轉(zhuǎn)角的單位: rad,當(dāng) 為常數(shù)時(shí):,請注意單位長度扭轉(zhuǎn)角和相對扭轉(zhuǎn)角的區(qū)別,同種材料階梯軸扭轉(zhuǎn)時(shí):,例4-3 一受扭圓軸如圖所示,已知:T1=1400Nm, T2=600Nm, T3=800Nm, d1=60mm,d2=40mm,剪切彈性模量G=80GPa,計(jì)算最大單位長度扭轉(zhuǎn)角。,1)根據(jù)題意,首先畫出扭矩圖,2)AB 段單位長度扭轉(zhuǎn)角:,3)BC 段單位長度扭轉(zhuǎn)角:,綜合兩段,最大單位長度扭轉(zhuǎn)角應(yīng)在BC 段 為 0.03978 rad/m,例4-4 圖示一等直圓桿,已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, j DB=1 , 求 : 1) 最大切應(yīng)力; 2)j AC,1)畫出扭矩圖,2)求最大切應(yīng)力,首先要求出M 的數(shù)值,梁還必須有足夠的剛度,即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形,否則構(gòu)件將無法正常工作。例如軋鋼機(jī)的軋輥,若彎曲變形過大,軋出的鋼板將薄厚不均勻,產(chǎn)品不合格;如果是機(jī)床的主軸,則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度。,一、梁的變形,第三節(jié) 梁的彎曲變形,撓曲線近似微分方程,梁在平面內(nèi)彎曲時(shí),梁軸線從原來沿 x 軸方向的直線變成一條在 xy 平面內(nèi)的曲線,該曲線稱為撓曲線。,某截面的豎向位移,稱為該截面的撓度,某截面的法線方向與x軸的夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角,撓度和轉(zhuǎn)角的大小和截面所處的 x 方向的位置有關(guān),可以表示為關(guān)于 x 的函數(shù)。,撓度方程(撓曲線方程),轉(zhuǎn)角方程,撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定:,在圖示的坐標(biāo)系中, 撓度 w 向上為正,向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角規(guī)定截面法線與 x 軸夾角,逆時(shí)針為正,順時(shí)針為負(fù),即在圖示坐標(biāo)系中撓曲線具有正斜率時(shí)轉(zhuǎn)角 q 為正。,撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系,在小變形假設(shè)條件下,撓曲線的斜率(一階導(dǎo)數(shù))近似等于截面的轉(zhuǎn)角,二、撓曲線近似微分方程,純彎曲情況下 梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的關(guān)系是:,橫力彎曲情況下,若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的高度時(shí),剪力對梁的變形可以忽略不計(jì)。但此時(shí)彎矩不再為常數(shù)。,高等數(shù)學(xué)中,關(guān)于曲率的公式,在梁小變形情況下,,梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為,梁的撓曲線近似微分方程,對上式進(jìn)行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程(等直梁 EI 為常數(shù)),再進(jìn)行一次積分,可得到撓度方程,其中, C 和 D 是積分常數(shù),需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其大小。,第四節(jié) 用積分法求梁的彎曲變形,邊界條件,在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定,連續(xù)條件,在梁的彎矩方程分段處,截面轉(zhuǎn)角相等,撓度相等。若梁分為n 段積分,則要出現(xiàn)2n 個(gè)待定常數(shù),總可找到2n 個(gè)相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。,(1)按照圖示坐標(biāo)系建立彎矩方程 請同學(xué)們自己做一下(時(shí)間:1分鐘),(2)撓曲線近似微分方程,(3)積分,(4)確定積分常數(shù) 由邊界條件,代入上面兩式,(5)列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程,將 C、D 的值代入方程,(6)求B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角,在自由端 , x = l,例4-6(教材75頁例4-5) 如圖所示,簡支梁受集中力F 作用,已知EI 為常量。試求B 端轉(zhuǎn)角和跨中撓度。,(1)求約束反力,(2)列出彎矩方程,AC段,CB段,(3)建立撓曲線微分方程并積分;由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段,故應(yīng)對AC和CB分別計(jì)算,(3)建立撓曲線微分方程并積分;由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段,故應(yīng)對AC和CB分別計(jì)算,AC段,CB段,利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個(gè)積分常數(shù),邊界條件:,連續(xù)條件:,由于撓曲線在C點(diǎn)處是連續(xù)光滑的,因此其左右兩側(cè)轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)相等。 即,代入上面的式子,得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,AC段,CB段,(5)求指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角,若,通過積分法我們可以求出梁任意一截面上的撓度和轉(zhuǎn)角,但是當(dāng)載荷情況復(fù)雜時(shí),彎矩方程分段就很多,導(dǎo)致出現(xiàn)大量積分常數(shù),運(yùn)算較為繁瑣。而在工程中,較多情況下并不需要得出整個(gè)梁的撓曲線方程,只需要某指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角,或者梁截面的最大撓度和轉(zhuǎn)角,這時(shí)采用疊加法比積分法方便。,在桿件符合線彈性、小變形的前提下,變形與載荷成線性關(guān)系,即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形,將其相加,就可以得到這些載荷共同作用時(shí)桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。,用疊加法求等截面梁的變形時(shí),每個(gè)載荷作用下的變形可查教材7879頁表4-2計(jì)算得出。查表時(shí)應(yīng)注意載荷的方向、跨長及字符一一對應(yīng)。,第五節(jié) 用疊加法求梁的彎曲變形,例4-7 求圖中所示梁跨中點(diǎn)的撓度及 A 點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。已知 ,梁的抗彎剛度EI 為常數(shù) 。,=,+,例4-8 如圖,梁的左半段受到均布載荷q 的作用,求 B 端的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度EI 為常數(shù) 。,考慮其變形:,由于CB 段梁上沒有載荷,各截面的彎矩均為零,說明在彎曲過程中此段并不產(chǎn)生變形,即CB 仍為直線。根據(jù)幾何關(guān)系可知:,由于在小變形的假設(shè)前提下,查表:,代入上面的計(jì)算式,在使用疊加法求解梁的變形時(shí),我們通常需要參考教材表4-2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點(diǎn)的位移。,類似于外伸梁和其它一些較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的梁的問題中,有些梁是不能直接查表進(jìn)行位移的疊加計(jì)算,需要經(jīng)過分析和處理才能查表計(jì)算。,一般的處理方式是把梁分段,并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁,然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復(fù)雜梁的各段逐段剛化求解位移,最后進(jìn)行疊加來處理(逐段剛化法)。,例4-9 求圖11-4所示外伸梁的 C截面的撓度轉(zhuǎn)角 EI 為常數(shù)。,怎樣應(yīng)用表4-2中已有的結(jié)果?,對梁進(jìn)行分段剛化,利用受力與變形等效的原則來處理,首先剛化AB段,這樣BC段就可以作為一個(gè)懸臂梁來研究,,再剛化BC段,由于BC段被剛化,可將作用于BC段的均布載荷簡化到B支座 ,得到
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