1.1.1任意角 1.1.2弧度制（教、學(xué)案） .doc

1.1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函數(shù)”是本章教學(xué)內(nèi)容的基本概念，它又是學(xué)好本章教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵。它是學(xué)生在學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，對三角函數(shù)有一定的了解的基礎(chǔ)上，進(jìn)行的推廣。它又是下面學(xué)習(xí)平面向量、解析幾何等內(nèi)容的必要準(zhǔn)備。并且，通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生更加深入理解函數(shù)這一基本概念。二、教學(xué)目標(biāo)1.理解任意角的概念；2.學(xué)會建立直角坐標(biāo)系討論任意角，判斷象限角，掌握終邊相同角的集合的書寫。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1判斷已知角所在象限；2終邊相同的角的書寫。四、學(xué)情分析五、教學(xué)方法1.本節(jié)教學(xué)方法采用教師引導(dǎo)下的討論法，通過多媒體課件在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)就概念、就方法的不足之處，進(jìn)而探索新的方法，形成新的概念，突出數(shù)形結(jié)合思想與方法在概念形成與形式化、數(shù)量化過程中的作用，是一節(jié)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性、思想性比較強(qiáng)的課.2學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。3新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)合作探究、精講點(diǎn)撥反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)六、課前準(zhǔn)備七、課時安排：1課時八、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)引入：1初中所學(xué)角的概念。2實(shí)際生活中出現(xiàn)一系列關(guān)于角的問題。（二）新課講解：1角的定義：一條射線繞著它的端點(diǎn)，從起始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置，形成一個角，點(diǎn) 是角的頂點(diǎn)，射線分別是角的終邊、始邊。說明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為2角的分類：正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它為零角。說明：零角的始邊和終邊重合。3象限角：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)軸重合，則（1）象限角：若角的終邊（端點(diǎn)除外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。例如：都是第一象限角；是第四象限角。（2）非象限角（也稱象限間角、軸線角）：如角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何象限。例如：等等。說明：角的始邊“與軸的非負(fù)半軸重合”不能說成是“與軸的正半軸重合”。因?yàn)檩S的正半軸不包括原點(diǎn)，就不完全包括角的始邊，角的始邊是以角的頂點(diǎn)為其端點(diǎn)的射線。4終邊相同的角的集合：由特殊角看出：所有與角終邊相同的角，連同角自身在內(nèi)，都可以寫成的形式；反之，所有形如的角都與角的終邊相同。 從而得出一般規(guī)律：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合，即：任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和。說明：終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同。5例題分析：例1 在與范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角？ （1） （2） （3） 解：（1），所以，與角終邊相同的角是，它是第三象限角；（2），所以，與角終邊相同的角是角，它是第四象限角；（3），所以，角終邊相同的角是角，它是第二象限角。例2 若，試判斷角所在象限。解： 與終邊相同， 所以，在第三象限。例3 寫出下列各邊相同的角的集合，并把中適合不等式的元素寫出來： （1）； （2）； （3）解：（1），中適合的元素是 （2），s中適合的元素是 （3）s中適合的元素是 （三）反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測。教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)并對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行簡單的反饋糾正。（課堂實(shí)錄）（四）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。九、板書設(shè)計(jì)十、教學(xué)反思以學(xué)生的學(xué)習(xí)為視角，可以對這節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行如下反思：（1）學(xué)生對課堂提問，回答是否積極？學(xué)生能否獨(dú)立或通過合作探索出問題的結(jié)果？（2）學(xué)生處理課堂練習(xí)題情況如何？可能的原因是什么？（3）教學(xué)任務(wù)是否完成？下面我們著重分析一下提問的效果。在回答教學(xué)設(shè)計(jì)中的各項(xiàng)提問時，大多數(shù)學(xué)生存在一定困難，特別是“問題1：任意畫一個銳角，借助三角板，找出sin的近似值”和“問題5：現(xiàn)在，角的范圍擴(kuò)大了，由銳角擴(kuò)展到了0360內(nèi)的角，又?jǐn)U展到了任意角，并且在直角坐標(biāo)系中，使得角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合在這樣的環(huán)境中，你認(rèn)為，對于任意角，sin怎樣定義好呢？”對于問題1，除了由于時間久而遺忘有關(guān)知識外，學(xué)生不熟悉獨(dú)立地由一個銳角，構(gòu)造直角三角形并求銳角三角函數(shù)的過程是主要原因，他們更習(xí)慣于在給定的直角三角形中解決問題。對于問題5，教師強(qiáng)調(diào)“在坐標(biāo)系下怎么樣？”后，有學(xué)生開始嘗試回答。這說明這個問題要求的思維概括水平較高，學(xué)生僅利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識，難以形成當(dāng)前研究任意角三角函數(shù)的思想方法。因此，教師必須要提供必要的腳手架。 在后面的教學(xué)過程中會繼續(xù)研究本節(jié)課，爭取設(shè)計(jì)的更科學(xué)，更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，也希望大家提出寶貴意見，共同完善，共同進(jìn)步!十一、學(xué)案設(shè)計(jì)(見下頁)臨清三中數(shù)學(xué)組 編寫人：孫文森 審稿人： 龐紅玲 李懷奎1.1.1任意角課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)1、認(rèn)識角擴(kuò)充的必要性，了解任意角的概念，與過去學(xué)習(xí)過的一些容易混淆的概念相區(qū)分；2、能用集合和數(shù)學(xué)符號表示終邊相同的角，體會終邊相同角的周期性；3、能用集合和數(shù)學(xué)符號表示象限角；4、能用集合和數(shù)學(xué)符號表示終邊滿足一定條件的角.二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1回憶：初中是任何定義角的？一條射線由原來的位置oa，繞著它的端點(diǎn)o按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置ob，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時的射線oa叫做角的始邊，ob叫終邊，射線的端點(diǎn)o叫做叫的頂點(diǎn)。 在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體720o” （即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080o”（即轉(zhuǎn)體3周）；再如時鐘快了5分鐘，現(xiàn)要校正，需將分針怎樣旋轉(zhuǎn)？如果慢了5分鐘，又該如何校正？2.角的概念的推廣：3正角、負(fù)角、零角概念 4.象限角思考三個問題：1.定義中說：角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，如果改為與x軸的正半軸重合行不行，為什么？2.定義中有個小括號，內(nèi)容是：除端點(diǎn)外，請問課本為什么要加這四個字？3.是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？4.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.5.終邊相同的角的表示三、提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）推廣角的概念，理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有與角a終邊相同的角（包括角a）的表示方法；學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：理解正角、負(fù)角和零角和象限角的定義，掌握終邊相同角的表示方法及判斷。難點(diǎn): 把終邊相同的角用集合和數(shù)學(xué)符號語言表示出來。二、學(xué)習(xí)過程例1. 例1在范圍內(nèi)，找出與角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.（注：是指）例2.寫出終邊在軸上的角的集合.例3.寫出終邊直線在上的角的集合,并把中適合不等式的元素寫出來.（三）【回顧小結(jié)】1.嘗試練習(xí)（1）教材第3、4、5題. （2）補(bǔ)充：時針經(jīng)過3小時20分，則時針轉(zhuǎn)過的角度為 ，分針轉(zhuǎn)過的角度為 。注意: （1）；（2）是任意角（正角、負(fù)角、零角）；（3）終邊相同的角不一定相等；但相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差的整數(shù)倍.2.學(xué)習(xí)小結(jié)(1) 你知道角是如何推廣的嗎?(2) 象限角是如何定義的呢?(3)你熟練掌握具有相同終邊角a的表示了嗎?(四)當(dāng)堂檢測1設(shè)， ，那么有（ ）abc（ ）d 2用集合表示：（1）各象限的角組成的集合（2）終邊落在 軸右側(cè)的角的集合3在 間，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角（1） ；（2） ；（3） 3.解：（1） 與 角終邊相同的角是 角，它是第三象限的角；（2） 與 終邊相同的角是 ，它是第四象限的角；（3） 所以與 角終邊相同的角是 ，它是第二象限角課后練習(xí)與提高1. 若時針走過2小時40分，則分針走過的角是多少？2. 下列命題正確的是： （ ） （a）終邊相同的角一定相等。 （b）第一象限的角都是銳角。 （c）銳角都是第一象限的角。 （d）小于的角都是銳角。3. 若a是第一象限的角，則是第 象限角。4.一角為 ，其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為_ _5.集合m=k，kz中，各角的終邊都在（ ）a軸正半軸上，b軸正半軸上，c 軸或 軸上，d 軸正半軸或 軸正半軸上6.設(shè) ， c|= k180o+45o ,kz ， 則相等的角集合為_ _參考答案1. 解：2小時40分=小時， 故分針走過的角為480。 2. c 3. 一或三 4. 5. c 6. _bd，ce 1.1.2 弧度制 【教學(xué)目標(biāo)】 了解弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的換算. 認(rèn)識弧長公式，能進(jìn)行簡單應(yīng)用. 對弧長公式只要求了解，會進(jìn)行簡單應(yīng)用，不必在應(yīng)用方面加深.了解角的集合與實(shí)數(shù)集建立了一一對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用函數(shù)的觀點(diǎn)分析、解決問題. 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn)：了解弧度制，并能進(jìn)行弧度與角度的換算. 難點(diǎn)：弧度的概念及其與角度的關(guān)系. 【教學(xué)過程】（一）復(fù)習(xí)引入. 復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過的知識：角的度量、圓心角的度數(shù)與弧的度數(shù)及弧長的關(guān)系 提出問題：初中的角是如何度量的？度量單位是什么？ 1的角是如何定義的？弧長公式是什么？ 角的范圍是什么？如何分類的？（二）概念形成 初中學(xué)習(xí)中我們知道角的度量單位是度、分、秒，它們是60進(jìn)制，角是否可以用其它單位度量，是否可以采用10進(jìn)制？1自學(xué)課本第7、8頁.通過自學(xué)回答以下問題：(1)角的弧度制是如何引入的？(2)為什么要引入弧度制？好處是什么？(3)弧度是如何定義的？(4)角度制與弧度制的區(qū)別與聯(lián)系?2學(xué)生動手畫圖來探究：(1)平角、周角的弧度數(shù)(2)角的弧度制與角的大小有關(guān)，與角所在圓的半徑的大小是否有關(guān)？(3)角的弧度與角所在圓的半徑、角所對的弧長有何關(guān)系？3角度制與弧度制如何換算？ rad 1=歸納：把角從弧度化為度的方法是： 把角從度化為弧度的方法是： 一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互相轉(zhuǎn)化,請補(bǔ)充完整30901201502700例1、把下列各角從度化為弧度：(1) （2） (3) (4)解：(1) （2） (3) (4) 變式練習(xí)：把下列各角從度化為弧度： (1)22 30 （2）210 (3)1200 解：(1) （2） (3) 例2、把下列各角從弧度化為度：（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)解：（1）108 (2)200.5 (3)114.6 (4)45 變式練習(xí)：把下列各角從弧度化為度： （1） （2） （3） 解：（1）15 （2）-240 （3）54 正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)弧度數(shù)表示弧長與半徑的比,是一個實(shí)數(shù),這樣在角集合與實(shí)數(shù)集之間就建立了一個一一對應(yīng)關(guān)系.弧度下的弧長公式和扇形面積公式弧長公式：因?yàn)椋ㄆ渲斜硎舅鶎Φ幕￠L），所以，弧長公式為扇形面積公式：說明：以上公式中的必須為弧度單位 例3、知扇形的周長為8，圓心角為2rad，求該扇形的面積。解：因?yàn)?r+2r=8,所以r=2,s=4變式練習(xí)：1、半徑為120mm的圓上，有一條弧的長是144mm，求該弧所對的圓心角的弧度數(shù)。答案：2、半徑變?yōu)樵瓉淼?，而弧長不變，則該弧所對的圓心角是原來的2 倍。3、若2弧度的圓心角所對的弧長是，則這個圓心角所在的扇形面積是 4cm2 4、以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓中，一條弦的長度為，所對的圓心角的弧度數(shù)為 (三） 課堂小結(jié)：1、弧度制的定義；2、弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換與區(qū)別；3、牢記弧度制下的弧長公式和扇形面積公式，并靈活運(yùn)用；（四）作業(yè)布置 習(xí)題1.1a組第7，8，9題。（五）課后檢測1在中，若，求a，b，c弧度數(shù)。答案：a= b= c=2直徑為20cm的滑輪，每秒鐘旋轉(zhuǎn)，則滑輪上一點(diǎn)經(jīng)過5秒鐘轉(zhuǎn)過的弧長是多少？答案：3選做題如圖，扇形的面積是，它的周長是，求扇形的中心角及弦的長。答案：板書設(shè)計(jì)1.1.2 弧度制（一）復(fù)習(xí)引入（二） 概念形成 例1 例2（三）弧度下的弧長公式和扇形面積公式例3 小結(jié)： 臨清三中數(shù)學(xué)組 編寫人：郭振宇 審稿人： 龐紅玲 李懷奎1.1.2 弧度制課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)： 1.了解弧度制的表示方法；2.知道弧長公式和扇形面積公式.二、預(yù)習(xí)內(nèi)容 初中學(xué)習(xí)中我們知道角的度量單位是度、分、秒，它們是60進(jìn)制，角是否可以用其它單位度量，是否可以采用10進(jìn)制？ 自學(xué)課本第7、8頁.通過自學(xué)回答以下問題：1、 角的弧度制是如何引入的？2、 為什么要引入弧度制？好處是什么？3、 弧度是如何定義的？4、 角度制與弧度制的區(qū)別與聯(lián)系?三、提出疑惑1、平角、周角的弧度數(shù)？2、角的弧度制與角的大小有關(guān)，與角所在圓的半徑的大小是否有關(guān)？3、角的弧度與角所在圓的半徑、角所對的弧長有何關(guān)系？課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解弧度制的意義；2.能正確的應(yīng)用弧度與角度之間的換算；3.記住公式（為以.作為圓心角時所對圓弧的長，為圓半徑）；4熟練掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式及其應(yīng)用。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)弧度與角度之間的換算；弧長公式、扇形面積公式的應(yīng)用。三、學(xué)習(xí)過程（一）復(fù)習(xí)：初中時所學(xué)的角度制，是怎么規(guī)定角的？角度制的單位有哪些，是多少進(jìn)制的？（二）為了使用方便，我們經(jīng)常會用到一種十進(jìn)制的度量角的單位制弧度制。 叫做1弧度的角，用符號 表示，讀作 。練習(xí)：圓的半徑為，圓弧長為、的弧所對的圓心角分別為多少？：圓心角的弧度數(shù)與半徑的大小有關(guān)嗎？由上可知：如果半徑為r的園的圓心角所對的弧長為,那么，角的弧度數(shù)的絕對值是： ，的正負(fù)由 決定。正角的弧度數(shù)是一個 ，負(fù)角的弧度數(shù)是一個 ，零角的弧度數(shù)是 。：我們用弧度制表示角的時候，“弧度”或經(jīng)常省略，即只寫一實(shí)數(shù)表示角的度量。例如：當(dāng)弧長且所對的圓心角表示負(fù)角時，這個圓心角的弧度數(shù)是 （三）角度與弧度的換算 rad 1=歸納：把角從弧度化為度的方法是： 把角從度化為弧度的方法是： ：一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互相轉(zhuǎn)化,請補(bǔ)充完整3