前言(金融衍生品定價理論講義)

前 言衍生證券已經(jīng)有很長的歷史。期權(quán)和期貨是所有衍生證券里在交易所交易最活躍的衍生證券。十七世紀(jì)晚期，在荷蘭的Amsterdam股票交易所，就已經(jīng)有了期權(quán)這種形式的證券交易。到了18世紀(jì)，看漲和看跌期權(quán)開始在倫敦有組織的進(jìn)行交易，但這些交易在有些場合是被明令禁止的。1973年建立的Chicago Board Options Exchange (CBOE) 大大帶動了期權(quán)的交易。1975年看跌期權(quán)開始在CBOE掛牌交易。19世紀(jì)出現(xiàn)有組織的期貨市場。期權(quán)定價理論是最成熟也是最重要的衍生證券定價理論。最早的期權(quán)定價理論可以追溯到1900年Bachelier (1900) 的博士論文，該論文對投機(jī)活動的定價進(jìn)行了重要的理論研究，并利用法國交易所的數(shù)據(jù)進(jìn)行了實證研究。Bachelier的工作標(biāo)志著在連續(xù)時間下，數(shù)學(xué)科學(xué)中隨機(jī)過程理論和經(jīng)濟(jì)學(xué)中衍生證券定價理論的雙雙誕生。Bachelier的主要貢獻(xiàn)在于：發(fā)展了連續(xù)時間游走過程（受Louis Bachelier 工作的啟發(fā)，Kiyoshi It在二十世紀(jì)四、五十年代作出了隨機(jī)分析方面奠基性的工作，這套理論隨即成為金融學(xué)最本質(zhì)的數(shù)學(xué)工具，也帶來了衍生證券定價理論革命性的飛躍。）。65年后，Samuelson（1965）用標(biāo)的資產(chǎn)的價格服從幾何連續(xù)隨機(jī)游走運動的假設(shè)代替Bachelier的標(biāo)的資產(chǎn)服從連續(xù)隨機(jī)游走運動的假設(shè)，重新考慮期權(quán)的定價問題。他利用標(biāo)的資產(chǎn)的期望回報率對期權(quán)的終端支付進(jìn)行折現(xiàn)，得到了接近于Black-Scholes-Merton期權(quán)定價公式的期權(quán)定價方法。但是，風(fēng)險中性定價的概念直到Black-Scholes（1973）和Merton（1973）才得以突破。他們的工作使隨機(jī)分析和經(jīng)濟(jì)學(xué)達(dá)到了最優(yōu)美的結(jié)合，也給金融實際操作帶來了最具有影響力的沖擊。Scholes和Merton也由此獲得1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。由于許多權(quán)益都可以被視為偶發(fā)性權(quán)益（例如債務(wù)，股權(quán)，保險等），所以在他們以后，期權(quán)定價的技巧被廣泛的應(yīng)用到許多金融領(lǐng)域和非金融領(lǐng)域，包括各種衍生證券定價、公司投資決策等。學(xué)術(shù)領(lǐng)域內(nèi)的巨大進(jìn)步帶來了實際領(lǐng)域的飛速發(fā)展。期權(quán)定價的技巧對產(chǎn)生全球化的金融產(chǎn)品和金融市場起著最基本的作用。由于衍生資產(chǎn)在證券市場中具有分散風(fēng)險、完備化市場等重要作用，近年來，從事金融產(chǎn)品的創(chuàng)造及定價的行業(yè)蓬勃發(fā)展，從而使得期權(quán)定價理論得到不斷的改進(jìn)和拓展。所以，無論從理論還是從實際需要出發(fā)，期權(quán)定價的思想都具有十分重要的意義。從20世紀(jì)80年代開始，這一領(lǐng)域在思想上沒有大的突破。許多研究停留在完善和計算方面。我們可以把這些研究大致分為：復(fù)雜衍生證券的定價（例如MBS，奇異期權(quán)等）；數(shù)值計算（例如美式期權(quán)定價，亞式期權(quán)）；拓展模型來解釋Black-Scholes 模型不能解釋的現(xiàn)象（例如Volatility smile）；交易約束和交易成本對衍生證券套期保值和定價的影響。套利機(jī)會和套期保值、有效市場假設(shè)、均衡1 衍生證券定價的經(jīng)典理論 衍生證券定價的基本思想是，在完備市場中，通過自融資的動態(tài)證券組合策略來合成衍生證券，從而衍生證券的價格等于證券組合最初的成本。1.1 二項樹模型該模型由Sharpe（1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein（1979）對它進(jìn)行了拓展。盡管最初提出二項樹模型的目的是為了避開隨機(jī)分析來解釋Black-Scholes-Merton模型，但現(xiàn)在該模型已成為對復(fù)雜衍生證券進(jìn)行定價的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值計算程序。假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價格服從二項分布產(chǎn)生的過程，如圖所示=標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)在的價格=標(biāo)的資產(chǎn)上漲的概率=無風(fēng)險利率=標(biāo)的資產(chǎn)上漲的幅度=標(biāo)的資產(chǎn)下跌的幅度=衍生證券現(xiàn)在的價格=當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格為時衍生物的價格=當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格為時衍生物的價格 對的限制為，這是無套利條件，也是保證在套期保值過程中解的存在性的條件。直觀地可以看出，無論是（這時，無風(fēng)險利率總比股票的風(fēng)險回報率高）還是（這時，無風(fēng)險利率總比股票的風(fēng)險回報率低），都存在套利機(jī)會。 我們構(gòu)造無風(fēng)險套期保值證券組合：以價格買一份股票，買份以股票為標(biāo)的物的衍生證券（稱為套期保值比率）。下圖說明了這個套期保值證券組合的到期支付。如果這個套期保值證券組合在每種狀態(tài)下的到期支付都相等，則這個證券組合是無風(fēng)險的。套期保值證券組合的到期支付 讓支付相等，得到：從上式中解出衍生證券的份數(shù)： 因為套期保值證券組合是無風(fēng)險的，它的終端支付應(yīng)該等于它的現(xiàn)價乘以，即，從這個式子得出衍生證券的價格： 把套期保值比率代入得： 設(shè)，則。從而，我們得到： 這里定義的總是大于0而小于1，具有概率的性質(zhì)，我們稱之為套期保值概率。從的定義可以看出，無套利條件成立當(dāng)且僅當(dāng)大于0而小于1（即，是概率），所以，在金融學(xué)里，我們又把稱為等價鞅測度。這兒所說的正是金融學(xué)的一個重要定理：無套利等價于存在等價鞅測度。我們也可從另外一個角度來解釋的意義：是當(dāng)市場達(dá)到均衡時，風(fēng)險中性者所認(rèn)為的值，即，股票價格上漲的概率。作為風(fēng)險中性者，投資者僅僅需要投資在風(fēng)險股票上的回報率為無風(fēng)險利率，因此，我們有：從中解出值，得到：所以，對一個風(fēng)險中性者來說，=，而衍生證券的價格可以解釋為，在一個風(fēng)險中性環(huán)境中，衍生證券的期望終端支付的折現(xiàn)值。 在求得衍生證券價格的過程中，有兩點是至關(guān)重要的，一是套期保值證券組合的存在性；二是無風(fēng)險的套期保值證券組合的的回報率為無風(fēng)險利率。無套利定價原理很容易推廣到多期二項樹股票價格過程。Cox, Ross and Rubinstein（1979）證明，當(dāng)二項樹模型中每期的時間趨于0時，股票價格依分布收斂于對數(shù)狀態(tài)擴(kuò)散過程，而期權(quán)價格公式收斂于Black-Scholes-Merton定價公式。1.2 Black-Scholes-Merton模型Black and Scholes (1973) 和Merton (1973) 利用隨機(jī)分析這種強(qiáng)有力的方法，第一次對期權(quán)定價問題提出了嚴(yán)格的解。 標(biāo)的股票的價格服從如下的隨機(jī)微分方程，（1.2.1），這里， 為常數(shù)，稱為漂移項，可以視為股票的瞬時期望回報率， 為常數(shù)，稱為擴(kuò)散項，可以視為股票的瞬時標(biāo)準(zhǔn)差， 為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動， 為常數(shù)。 無風(fēng)險債券的價格服從如下的方程， (1.2.2)這里，、為常數(shù)。對于給定的歐式看漲期權(quán)，由于它的到期日支付是標(biāo)的股票的函數(shù)，我們假設(shè)期權(quán)的價格為標(biāo)的股票價格的函數(shù)，這里，我們并不知道函數(shù)的具體形式，只知道它在是兩次連續(xù)可微的。 對函數(shù)利用It引理，我們得到， (1.2.3) 這里，。下面，我們利用套期保值的思想，希望通過股票和債券構(gòu)造證券組合來模擬歐式看漲期權(quán)的價格。假設(shè)自融資交易策略=滿足此要求，這里，表示在時間購買的股票份數(shù)，表示在時間購買的債券的份數(shù)，則，。 （1.2.4）由(1.2.1)、(1.2.2)和上式，我們得到 ，（1.2.5）通過比較(1.2.3)與(1.2.4)兩式中與的系數(shù)，我們來確定滿足要求的自融資交易策略。首先，我們比較的系數(shù)，得到。由(1.2.4)，我們得到，從而。其次，我們比較的系數(shù)，得到，對于有 (1.2.6)為了(1.2.6)成立，只需滿足如下的偏微分方程， (1.2.7)，由歐式期權(quán)的到期日支付得邊界條件，。 (1.2.8)利用Feynman-Kac公式，通過解帶邊界條件(1.2.8)的偏微分方程(1.2.7)，我們得到Black-Scholes期權(quán)定價公式這里。具體的解過程由Smith (1976) 和Malliaris (1983) 給出。Smith非常系統(tǒng)的給出了期權(quán)定價方法的應(yīng)用，Malliaris說明了隨機(jī)分析的本質(zhì)作用。Duffie (1996) 給出了Black-Scholes-Merton定價公式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及金融解釋，同時還給出了期權(quán)定價的金融學(xué)解釋。上面給出的歐式期權(quán)的定價方法的基本假設(shè)是市場無套利機(jī)會，同時應(yīng)滿足如下假設(shè)：股票價格服從常波幅的擴(kuò)散過程；市場連續(xù)交易；常無風(fēng)險利率；市場無摩擦。在上述假設(shè)下，期權(quán)定價這樣原始的問題被刻畫成金融思想和數(shù)學(xué)推導(dǎo)的完美結(jié)合。在本課程中，我們將看到無套利假設(shè)是衍生證券定價的靈魂思想。在開始本課程之前，我們可以通過Merton(1998) 和Scholes(1998) 在獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎時所作報告來全面了解在過去30年中相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展。1.3 衍生證券的一般定價方法直到1976年，利用復(fù)合的證券組合一直是期權(quán)定價的基礎(chǔ)。Cox and Ross (1976) 引入風(fēng)險中性定價的概念，他們利用無風(fēng)險利率代替股票價格過程的漂移項。在他們工作的基礎(chǔ)上，Harrison and Kreps (1979)， Harrison and Pliska (1981) 建立了系統(tǒng)的風(fēng)險中性定價的理論框架以及與無套利的聯(lián)系。在1.2節(jié)中，我們已經(jīng)提到了風(fēng)險中性概率的定義。無套利等價于存在等價概率測度，在等價概率測度下，期權(quán)和證券的價格以無風(fēng)險利率折現(xiàn)后，是一個鞅過程。這是動態(tài)資產(chǎn)定價的基礎(chǔ)。根據(jù)資產(chǎn)定價的基本定理，對隨機(jī)過程而言，存在等價鞅測度本質(zhì)上等價于無套利機(jī)會。換一種說法，如果資產(chǎn)的折現(xiàn)價格不存在套利機(jī)會，則資產(chǎn)定價定理說明原有的概率測度可以用一個新的概率測度代替，在新概率測度下，資產(chǎn)的折現(xiàn)價格過程是一個鞅過程。早期的風(fēng)險中性定價工作是以貨幣市場帳戶作為計量單位的。事實上，計量單位的選取有很大的靈活性。Geman, El Karoui and Rochet (1995) 證明可以選取不同的計量單位。對于每一個計量單位，都有一個概率與其相對應(yīng)，從而有不同的定價模型。純折現(xiàn)債券的價格，不同到期日的遠(yuǎn)期合約都可以用來作為計量單位。計量單位的選取的靈活性產(chǎn)生了許多利率衍生證券的定價模型。1.4 隨機(jī)波幅模型Wiggins (1987) 推廣了Black-Scholes-Merton期權(quán)定價模型。假設(shè)（1.2.1）中的瞬時波幅服從一個擴(kuò)散過程(1.4.1)這里是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，它和布朗運動的相關(guān)系數(shù)為。在這種市場中，因為有兩種風(fēng)險根源和，所以不能通過股票和債券構(gòu)造證券組合來模擬歐式看漲期權(quán)的價格。波幅風(fēng)險的價格由市場均衡來確定，而一般來說，不存在期權(quán)價格閉形式解。Wiggins通過有限差分、Kalman 濾子和Monte Carlo 模擬計算方法來求解。在波幅風(fēng)險價格是常數(shù)，波幅是同方差的O-U過程的假設(shè)下，Heston (1993)得到歐式看漲期權(quán)閉形式的解。2利率衍生證券、奇異期權(quán)和實物期權(quán)2.1 期貨期權(quán)和外匯期權(quán)期貨期權(quán)和外匯期權(quán)在二十世紀(jì)80年代初期開始在交易所交易。Black（1976）研究期貨合約與遠(yuǎn)期合約之間的差別。在Black-Scholes-Merton模型的假設(shè)下，用期貨價格代替股票價格，并引入一個大小等于利率的假設(shè)紅利收益率，Black得到了期貨期權(quán)的價格。利用同樣的思想，Garman and Kohlhagen（1983）說明，在Black-Scholes-Merton模型的假設(shè)下，用外匯現(xiàn)貨價格代替股票價格，并引入一個大小等于外匯利率的假設(shè)紅利收益率，可以得到以現(xiàn)貨外匯為標(biāo)的物的歐式看漲期權(quán)的價格。這兩篇文獻(xiàn)都說明了Black-Scholes-Merton模型的靈活性和廣泛應(yīng)用性。2.2 利率衍生證券在交易所交易的最流行的利率衍生品種是以30年期國庫券為標(biāo)的物的期貨合約。Black (1976) 模型通常被用來給以這種期貨合約為標(biāo)的物的期權(quán)定價。為了給利率衍生證券定價，需要建立利率期限結(jié)構(gòu)模型。Vasicek (1977) 提出第一個利率期限結(jié)構(gòu)的無套利模型。他的工作是對現(xiàn)代利率期限結(jié)構(gòu)理論貢獻(xiàn)最大的工作。假設(shè)表示到期日為的折現(xiàn)債券在時間的價格，。假設(shè)瞬時利率服從隨機(jī)微分方程這里是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。利用無套利假設(shè)，Vasicek 得到如下偏微分方程 (2.2.3)這里是利率風(fēng)險價格。盡管無套利假設(shè)限制了函數(shù)，但是仍舊可以允許有廣泛的形式。Vasicek 證明上述偏微分方程能夠表示成一種積分形式這也是他在風(fēng)險中性定價中的早期貢獻(xiàn)之一。在對一般模型加上如下假設(shè)的基礎(chǔ)上：利率風(fēng)險價格是常數(shù)，現(xiàn)貨利率服從同方差的O-U過程是的仿射函數(shù)，是常數(shù)，Vasicek得到了債券價格閉形式的解。Vasicek模型的這種特殊形式稱為Vasicek模型。在Vasicek模型框架下，Jamshidiam (1989)得到以折現(xiàn)債券為標(biāo)的物的歐式期權(quán)價格閉形式的解。Cox, Ingersoll and Ross （1985）特殊化Vasicek的一般模型：利率風(fēng)險是常數(shù)，與現(xiàn)貨利率的平方根成比例。與Vasicek模型不同在于，該模型不允許利率是負(fù)的。Cox, Ingersoll and Ross得到了債券價格閉形式的解和以零息債券為標(biāo)的物的歐式期權(quán)價格閉形式的解。Duffie and Kan (1996) 把Cox, Ingersoll and Ross模型推廣到多因子模型。和Cox, Ingersoll and Ross模型一樣，到期收益率是狀態(tài)變量的仿射函數(shù)。因此，到期收益率能夠作為狀態(tài)變量或者因子。因為到期收益率是可觀測的，所以該模型具有可觀測因子的優(yōu)勢。與利率期限結(jié)構(gòu)仿射類模型相反，Constantinides (1992) 發(fā)展了利率期限結(jié)構(gòu)模型，其中收益率是狀態(tài)變量的二次函數(shù)。這能夠刻畫更豐富的期限結(jié)構(gòu)，并且債券和以債券為標(biāo)的物的期權(quán)都有閉形式解。Ho and Lee (1986) 模型是對利率期限結(jié)構(gòu)的餓一次創(chuàng)新。在二項樹模型的框架下，模型參數(shù)是時間的確定函數(shù)，該函數(shù)使得計算出的收益曲線和實際相吻合。 Black, Derman and Toy (1990) 模型 Hull and White (1990) 模型 Heath, Jarrow and Morton (1992)模型把Ho and Lee模型推廣到多因子的連續(xù)時間模型。2.3 奇異衍生證券奇異期權(quán)是非標(biāo)準(zhǔn)的期權(quán)，例如binary options, look-back option, barrier options。奇異期權(quán)的定價研究并沒有在定價思想上取得任何突破。絕大部分研究利用標(biāo)準(zhǔn)的定價理論來給奇異期權(quán)定價。新結(jié)果主要在計算方法上。Margrable (1978)： 交換期權(quán)Stulz (1982)：極值期權(quán)Geske (1979)：復(fù)合期權(quán)Goldman, Sossin and Gatto (1979)：歐式look-back 期權(quán)Conze and Viswanathan (1991)：美式look-back 期權(quán)Geman and Yor (1996)：障礙期權(quán)2.4 實物期權(quán)Brennan and Schwartz (1985) 自然資源投資定價Paddock, Siegel and Smith (1988) 海洋天然氣租賃合同定價Ingersoll and Ross (1992) 資本預(yù)算Constandinides (1984)Williams (1993)Grenadier (1996)3美式期權(quán)、計算方法和信譽(yù)風(fēng)險3.1 美式期權(quán)定價Roll (1977) 利用三個歐式看漲期權(quán)的結(jié)合體來逼近以支付紅利股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)。 Geske and Johnson (1984) 把美式看跌期權(quán)價格分析解表示成無窮序列的復(fù)合期權(quán)的價格。Barone-Adesi and Whaley (1987) 提出了在計算上非常有效的解決以商品和期貨合約為標(biāo)的物的美式看漲和看跌期權(quán)的定價問題。Bensoussan (1984) 利用最優(yōu)停時問題來研究美式期權(quán)定價問題。3.2 數(shù)值方法Black-Scholes-Merton期權(quán)定價模型早期成功的部分原因在于給出了歐式看漲期權(quán)價格的閉形式解，并且容易計算。當(dāng)原始模型的簡單假設(shè)被放松以后，我們往往求助于數(shù)值算法。Roll (1977)|、Geske and Johnson (1984) 和Barone-Adesi and Whaley (1987)介紹了當(dāng)閉形式解不能得到的情況下定價方法。在衍生證券定價中，三種方法被證明是非常有效的：有限差分方法、Monte Carlo方法、二項樹方法。Brennan and Schwartz (1978) ，Das (1997)： 有限差分方法 Boyle (1977) , Boyle, Broadie, and Glasserman (1997) ：Monte Carlo方法Cox, Ross and Rubinstein（1979），Boyle (1988)：二項樹方法Broadie and Glasserman (1997) 對各種方法進(jìn)行了評價。3.3 信譽(yù)風(fēng)險衍生證券，特別是那些場外交易的證券，具有很大的違約風(fēng)險。而場外衍生證券的快速增長，要求我們?nèi)ザ攘?、管理、交易和對沖違約風(fēng)險。信譽(yù)衍生證券是一種合約，其支付依賴于標(biāo)的固定收益證券的信譽(yù)等級，這些固定收益證券通常是債券或者銀行貸款。信譽(yù)衍生證券使得投資者可以把信譽(yù)風(fēng)險和通常風(fēng)險等分開，例如利率風(fēng)險。與通常衍生證券不同在于，信譽(yù)衍生證券在信譽(yù)等級發(fā)生變化的時候進(jìn)行支付。Longstaff and Schwartz (1995)公司風(fēng)險債務(wù)定價。Jarrow and Turnbull (1995)考慮兩種信譽(yù)風(fēng)險，一種是標(biāo)的資產(chǎn)違約風(fēng)險，一種是衍生證券寫者的違約風(fēng)險。Leland (1998)Duffie and Singleton (1997)ReferencesBachelier, L.1900(1964), Theory of speculation, in P. Cootner (ed.), The Random Character of Stock Market Prices, Cambridge, MA:MIT Press, pp. 17-78.Barone-Adesi and Whaley (1987), Efficient analytical approximation of American option values, J.F. 42, 301-320.Bensoussan (1984), On the theory of option pricing, Acta. Appl. 2, 139-158.Black（1976）, The pricing commodity contracts, J.F.E.3, 167-79.Black, Derman and Toy (1990), A one-factor model of interest rates and its application to treasury bond options, Financial Analysis Journal 46, 33-39.Black, F. and M. S.Scholes (1973), The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy 81, 637-659.Boyle, P. P. (1977), Options: A Monte Carlo approach, J. F. E 4, 323-38.Boyle (1988), A lattice framework for option pricing with two state variables, Journal of Financial and quantitative analysis 23, 1-12.Brennan, M. J. and E. S.Schwartz (1978), Finite difference methods and jump processes aricing in the pricing of contingent claims: A synthesis, J.F.Q.A.13, 461-74.Brennan and Schwartz (1985), Evaluating natural resource investments, Journal of Business 58, 135-57.Broadie and Glasserman (1997), Pricing American-Style securities using simulation, Journal of Economic Dynamics and Control 21, 1267-321.Boyle, Broadie, and Glasserman (1997), Monte Carlo Methods for security pricing, J.E.D.C21,1267-321.Constandinides (1984), Optimal stock trading with personal taxes: Implications for prices and the abnormal January returns, Journal of Financial Economics 13, 65-89.Constandinides (1992), A thoery of the nominal term structure of interest rates, Review of Financial Studies 5, 531-52.Conze and Viswanathan (1991), Path Dependent options: the case of lookback options, Journal of Finance 46, 1893-907.Cox, Ingersoll and Ross （1985）, A theory of the term structure of interest rates, Econometrica 53, 385-407.Cox, Ross and Rubinstein(1979), Option pricing: A simplified approach, J.F.E 7, 229-63.Das (1997), Discrete-time bond and option pricing for jump-diffusion processes, Review of Derivatives Research 1, 211-43.Duffie, (1996), Dynamic Asset Pricing, Princeton: Princeton, NJ: Pricing University Press.Duffie and Kan (1996), A yield-factor model of interest rates, Mathematical Finance 6,379-406.Duffie and Singleton (1997), An econometric model of the term structure of interest-rate swap yields, Journal of finance 52, 1287-321.Garman and Kohlhagen (1983), Foreign currency option values, Journal of International Money and Finance 2, 231-37.Geman, El Karoui and Rochet (1995), Changes of numeraire, changes of probability measures, and pricing of options, Journal of Applied Probability 32, 443-458.Geman and Yor (1996), Pricing and hedging double-barrier options, Mathematical Finance 6, 365-78.Geske (1979), The valuation of compound options, Journal of Financial Economics 7, 63-81.Geske and Johnson (1984), The American put option valued analytically, J.F. 39, 1511-24.Goldman, Sossin and Gatto (1979), Path dependent option: Buy at the low, Sell at the high, Journal of Finance 34, 1111-27.Grenadier (1996), The strategic exercise of options: Cascades and overbuilding in real estate markets, Journal of Finance 51, 1653-79.Harrison, J. M. and Kreps, D., Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets, Journal of Economic Theory, 1979, 20, 381-408.Harrison, J. M. and Pliska, S. Martingale and stochastic integrals in the theory of continuous trading, stochastic Process. Appl., 1981, 11, 215-260., A stochastic calculus model of continuous trading: Complete markets, Stochastic Process. Appl., 1983, 15, 313-316.Heath, Jarrow and Morton (1992), Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology, Econometrica 60, 77-105.Heston (1993), A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options, R.F.S 6, 327-343.Ho and Lee (1986), Term structure movements and pricing interest rate continegent claims, J.F. 41, 1011-29.Hull and White (1990), Pricing interest-rate-derivative securities, R.F.S 3, 573-92.Ingersoll and Ross(1992), Waiting to invest: Investment and uncertainty, Journal of Business 65, 1-29.Longstaff and Schwartz (1995), A simple approach to valuing risky fixed and floating rate debt, J.F. 50, 789-819.Jamshidiam (1989), An exact bond option pricing formula, J.F. 44, 205-9.Jarrow and Turnbull (1995), Pricing options on derivative securities subject to credit risk, J.F. 50, 53-85.Leland (1998), Agency costs, risk management and capital structure, J.F. 53, 1213-1243.Malliaris (1983), Itos Calculus in financial decision making, Society of Industrial and Applied Mathmatics Review 25, 481-96.Margrable (1978), The value of an opti