Ch5大數(shù)定律及中心極限定理.ppt

一、 Chebyshev不等式,Chebyshev,由此可見方差刻畫了隨機變量取值的離散程度,例1 一顆骰子連續(xù)擲4次，點數(shù)總和記為X，試估計,解：,以Xi表示第 i 次的點數(shù)(i=1,2,3,4)，則Xi 的分布律為,例1 一顆骰子連續(xù)擲4次，點數(shù)總和記為X，試估計,解：,以Xi表示第 i 次的點數(shù)(i=1,2,3,4)，有,由于,故,且Xi 相互獨立,例1 一顆骰子連續(xù)擲4次，點數(shù)總和記為X，試估計,解：,以Xi表示第 i 次的點數(shù)(i=1,2,3,4)，則有,由Chebyshev不等式得,例2 一電網(wǎng)有1萬盞路燈，,晚上每盞燈開的概率為0.7.,求同時開的燈數(shù)在6800至7200之間的概率。,解 設X 為同時開的燈數(shù),則,由此可得,由Chebyshev不等式可得,二、大數(shù)定理,概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學,科，,而隨機現(xiàn)象的規(guī)律性在相同的條件下進行大量,重復試驗時會呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性.,例如，,在概率的統(tǒng),計定義中，,曾提到一件事發(fā)生的頻率具有即事件發(fā),生的頻率趨于事件發(fā)生的概率，,其中所指的是：,試驗的次數(shù)無限增大時，,事件發(fā)生的頻率在某種收,斂意義下逼近某一定數(shù)(事件發(fā)生的概率)，,最早的大數(shù)定理.,當,這就是,二、大數(shù)定理,一般的大數(shù)定理討論 n 個隨機變量的平均值的穩(wěn)定,性.,大數(shù)定理對上述情況從理論的高度進行了論證本,節(jié)先介紹基本的大數(shù)定理，,然后，,再介紹另一類基本,的中心極限定理.,大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的 廢品率,還有大量測量值的算術平均值也具有穩(wěn)定性。,二、 大數(shù)定律,在實踐中，,不僅事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，,穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景。,這種,由于大數(shù)定律的作用，,大量隨機因素的總體作用必然,導致某種不依賴于個別隨機事件的結(jié)果。,存在，則對任意的 0，有,設隨機變量序列,獨立同分布，,定理5.1 獨立同分布序列的Chebyshev大數(shù)定律,且,p是事件A 發(fā)生的概率，則對任給的 0，,或,設nA 是n 重Bernoulli試驗中事件A 發(fā)生的 次數(shù)，,定理5.2 Bernoulli大數(shù)定律,二、 De Moivre-Laplace中心極限定理,一 、獨立同分布序列的中心極限定理,中心極限定理,中心極限定理的客觀背景:,的綜合影響.,例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響.,在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生,在任一給定時刻,一個城市的耗電量是大量單獨的耗電者需用電量的總和.,在一個蓄水池中的儲水量可以看作是極大數(shù)量的單獨供水池的供水量的總和.,在一個物理實驗中的測量誤差是由許多不可能觀察到的,而可看作是可加的小誤差所組成.,前面我們的討論中講過正態(tài)分布在隨機變量的一切可能分布中占有特殊地位。在客觀世界中，我們遇到的許多隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的，為什么大量的隨機變量都服從正態(tài)分布？ 俄國數(shù)學家李亞普諾夫()證明了在某些非常一般的充分條件下，獨立隨機變量的和的分布，當隨機變量的個數(shù)無限增加時，是趨于正態(tài)分布的。 在概率論中，把大量獨立的隨機變量和的分布以正態(tài)分布為極限的這一類定理統(tǒng)稱為中心極限定理。,設隨機變量X1,X2,Xn,相互獨立同分布，且E(Xi)=，D(Xi)=2 (2 0)(i=1,2,)，記隨機變量,1、獨立同分布的中心極限定理(Lindeberg- Levy),則Yn的分布函數(shù)Fn(x)對任意的x(-,+)都有,該定理說明， YnN(0,1),中心極限定理可以解釋如下： 如果多個相互獨立的隨機變量相加, 不管它們是離散的還是連續(xù)的或者是任何類型的, 只要它們大小相差并不懸殊，每個隨機變量對于總和的作用都很微小, 則加起來以后得到的隨機變量, 就近似服從正態(tài)分布。 在實際工作中，只要n足夠大，便可把獨立同分布的隨機變量之和當作正態(tài)變量。,例1,一盒同型號螺絲釘共有 100 個,已知該型號,的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量,期望值是100g,標準差是10g,求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^ 10.2kg,的概率.,解,且 Xi 之間獨立同分布,于是一盒螺絲釘?shù)闹亓繛?由此,例1,一盒同型號螺絲釘共有 100 個,已知該型號,的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量,期望值是100g,標準差是10g,求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^ 10.2kg,的概率.,解,一盒螺絲釘?shù)闹亓繛?由中心極限定理有,例2,糧倉內(nèi)老鼠的數(shù)目服從泊松分布, 且倉內(nèi)無鼠的,概率,求200個倉內(nèi)老鼠總數(shù)超過350只的概率,解:,設第i個糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目為Xi ，則,獨立且同分布，,由,解得,故,2、 De Moivre-Laplace定理,在n重Bernoulli試驗中，每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0p1)，記Zn為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則對任意實數(shù)x，有,其中q=1-p,此定理表明，正態(tài)分布是二項分布的極限分布。當n充分大時，服從二項分布的隨機變量的概率計算可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)隨機變量的概率計算。,對于一列二項分布r.v ，有,近似,近似,棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的應用,例如,于是當 充分大時，可以認為,近似,的圖形為,例3 報童沿街向行人兜售報紙，設每位行人買報,的概率為0.2,且他們是否買報是相互獨立的。求報童,向100位行人兜售之后，賣掉1530份報紙的概率。,解 設報童賣掉報紙的份數(shù)為X,由中心極限定理知，,例4,某市保險公司開辦一年人身保險業(yè)務,被保險人,每年需交付保險費 160 元,若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事,故,其本人或家屬可獲 2 萬元賠金.已知該市人員一年,發(fā)生重大人身事故的概率為0.005，現(xiàn)有5000人參加,此項保險,問保險公司一年內(nèi)從此項業(yè)務所得到的總,收益在 20 萬到 40,萬元之間的概率是多少?,解,解,記5000 個被保險人中一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故,的人數(shù)為X，則,由中心極限定理可知，,例4,某市保險公司開辦一年人身保險業(yè)務,被保險人,每年需交付保險費 160 元,若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事,故,其本人或家屬可獲 2 萬元賠金.已知該市人員一年,發(fā)生重大人身事故的概率為0.005，現(xiàn)有5000人參加,此