商業(yè)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用.ppt

商業(yè)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用,4.5,4.5 商業(yè)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用,學(xué)習(xí)目標(biāo) 求解商業(yè)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的最佳化問題。 求解需求函數(shù)中需求的價(jià)格彈性。 辨認(rèn)基本的商業(yè)術(shù)語與公式。,P.4-35,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,商業(yè)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的最佳化,本章節(jié)主要將探討最佳化的問題，所以 4.4 節(jié)中的五個(gè)步驟為解題的策略。,P.4-35,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 1 求最大收入,某公司認(rèn)為某產(chǎn)品的總收入 (美元) 可表示為 R x3 450x2 52,500x 其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產(chǎn)量為何？,P.4-35,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 1 求最大收入 （解）,收入函數(shù)的草圖如圖 4.37 所示。,P.4-35 圖4.37,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 1 求最大收入 （解）,2. 主要方程式為收入函數(shù)，即 R x3 450x2 52,500x 3. 因?yàn)?R 為單變數(shù)函數(shù)，所以不需次要方程式。 4. 主要方程式的可行定義域?yàn)?0 x 546 可行定義域 此範(fàn)圍是由收入函數(shù)的 x 截距而得，如圖 4.37。,P.4-35,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,5. 為了使收入最大，先求得臨界數(shù)。 在可行定義域中的臨界數(shù)為 x 350，由函數(shù)的圖形可知在產(chǎn)量為 350 時(shí)有最大收入。,範(fàn)例 1 求最大收入 （解）,P.4-35,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,檢查站 1,求使收入函數(shù) R x3 150x2 9375x 最大化的產(chǎn)量，其中總收入(美元)，x 是單位生產(chǎn) (或售出) 成本，試問最大收入為何？,P.4-35,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,商業(yè)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的最佳化,為了研究產(chǎn)量對成本的影響，經(jīng)濟(jì)學(xué)家將平均成本函數(shù) (average cost function) 定義為 其中 C f(x) 為總成本函數(shù)，x 為產(chǎn)量。,P.4-36,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 2 求最小平均成本,某公司估計(jì)生產(chǎn)某產(chǎn)品 x 單位的成本 ( 美元) 可表示為 C 800 0.04x 0.0002x2。求使得每單位的平均成本為最小的產(chǎn)量。,P.4-36,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,1. 令 C 為總成本，x 為產(chǎn)量， 為單位平均成本。 2. 主要方程式為 主要方程式,範(fàn)例 2 求最小平均成本 （解）,P.4-36,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,3. 將 C 代入主要方程式，可得 4. 函數(shù)的可行定義域?yàn)?x 0 可行定義域 因?yàn)楣镜漠a(chǎn)量不可能為負(fù)值。,範(fàn)例 2 求最小平均成本 （解）,P.4-36,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,5. 再求臨界數(shù)如下所示。,範(fàn)例 2 求最小平均成本 （解）,P.4-36,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 2 求最小平均成本 （解）,由題意可知 x 值必須為正數(shù)，另外 的圖形如圖 4.38 所示。即產(chǎn)量在 x 2000 時(shí)有最小的單位平均成本。,P.4-36,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 2 求最小平均成本 （解）,P.4-36 圖4.38,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,學(xué)習(xí)提示,為了驗(yàn)證在範(fàn)例 2 中 x2000 有最小的平均成本，可代入幾個(gè) x 值來求 C 值。譬如，當(dāng) x 400 時(shí)的單位平均成本為 $2.12，但在 x2000 時(shí)，每單位平均成本為 $0.84。,P.4-36,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,檢查站 2,求使得每單位的平均成本為最小的產(chǎn)量，其中成本函數(shù)為C 400 0.05x 0.0025x2。 其中 C 為生產(chǎn) x 單位的成本 (美元)。,P.4-36,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 3 求最大收入,某公司的產(chǎn)品若以 $10 的單價(jià)出售，每個(gè)月可賣出 2000 個(gè)；若單價(jià)每降低 $0.25，則每個(gè)月可再多賣 250 個(gè)。求使得每月收入為最大的單價(jià)。,P.4-37,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 3 求最大收入（解）,1. 令 x 為每月的銷售量，p 為單價(jià)，R 為每月的收入。 2. 為了使每月的收入最大，所以主要方程式為 R xp 主要方程式,P.4-37,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,3. 當(dāng)單價(jià) p $10 時(shí)的銷售量為 x 2000，當(dāng)單價(jià) p $9.75 時(shí)的銷售量 x 2250。再由點(diǎn)斜式來建立需求方程式。 將上式代入收入方程式可得,範(fàn)例 3 求最大收入（解）,P.4-37,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,4. 收入方程式的可行定義域?yàn)?0 x 12,000 可行定義域 令利潤函數(shù)為零所解出的x截距即為此區(qū)間範(fàn)圍。 5. 欲使收入最大化，先求臨界數(shù)。,範(fàn)例 3 求最大收入（解）,P.4-37,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 3 求最大收入（解）,由圖 4.39 可知，銷售量為 6000 時(shí)的收入最大，對應(yīng)的單價(jià)為 p = 12 0.001x 需求函數(shù) = 12 0.001(6000) 將 x 6000 代入 = $6 單價(jià),P.4-37,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 3 求最大收入（解）,P.4-37 圖4.39,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,檢查站 3,若範(fàn)例 3 的單價(jià)每降低 $0.25，則每個(gè)月可再多賣 200 個(gè)產(chǎn)品，求使得每月收入為最大的單價(jià)。,P.4-37,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,商業(yè)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的最佳化,在範(fàn)例 3 中的收入為 x 的函數(shù)，也可寫成 p 的函數(shù)；也就是R 1000(12p p2)。求函數(shù)的臨界數(shù)之後可知 p 6 時(shí)的收入最大。,P.4-37,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,某公司的行銷部門認(rèn)為某產(chǎn)品的需求量 x 可表示為 ，其中 p 為單價(jià)(美元)， x 為數(shù)量。生產(chǎn) x 單位的成本為 C 0.5x 500。試問可得最大利潤的價(jià)格為何？,範(fàn)例 4 求最大利潤,P.4-38,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 4 求最大利潤 （解）,1. 令 R 為收入，P 為利潤，p 為單價(jià)，x 為數(shù)量，C 為生產(chǎn) x 單位產(chǎn)品的總成本。 2. 為了使利潤為最大，考慮主要方程式 P R C 主要方程式,P.4-38,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 4 求最大利潤 （解）,3. 以 R xp 改寫主要方程式為 4. 函數(shù)的可行定義域?yàn)?127 x 7872 (當(dāng) x 小於 127 或大於 7872，則利潤為負(fù))。,P.4-38,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,5. 欲使利潤為最大，先求臨界數(shù)。 由圖 4.40 的利潤函數(shù)可知，在 x 2500 時(shí)有最大利潤，對應(yīng)的單價(jià)為,範(fàn)例 4 求最大利潤 （解）,P.4-38,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 4 求最大利潤 （解）,P.4-38 圖4.40,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,代數(shù)技巧,範(fàn)例 4 的計(jì)算過程可參考本章代數(shù)複習(xí)範(fàn)例 2(b)。,P.4-38,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,由下列的需求和成本函數(shù)，求使得利潤為最大的價(jià)格。 其中 p 為單價(jià) (美元)，x 為數(shù)量， C 為成本 (美元)。,檢查站 4,P.4-38,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,為了求範(fàn)例 4 中的最大利潤，先對方程式 P R C 微分再令其為零，即 當(dāng)邊際收入等於邊際成本時(shí)，可得最大利潤，如圖 4.41。,商業(yè)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的最佳化,P.4-38,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,商業(yè)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的最佳化,P.4-38 圖4.41,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,需求的價(jià)格彈性,經(jīng)濟(jì)學(xué)家有一種方法來測量消費(fèi)者對某產(chǎn)品價(jià)格變化的反應(yīng)，即需求的價(jià)格彈性 (price elasticity of demand)。譬如，蔬菜價(jià)格跌落可能引起其需求量增加，這種需求稱為有彈性 (elastic)。另一方面，像牛奶和用水等項(xiàng)目對其價(jià)格變化較無反應(yīng)，這種需求稱為無彈性 (inelastic)。,P.4-39,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,正式而言，需求的彈性是需求量 x 的百分比變化量與價(jià)格 p 的百分比變化量之比值。需求的價(jià)格彈性公式可利用導(dǎo)數(shù)的定義以近似法推導(dǎo)得之，即,需求的價(jià)格彈性,P.4-39,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,再利用此近似可得,需求的價(jià)格彈性,P.4-39,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,學(xué)習(xí)提示,在需求的價(jià)格彈性的討論中，我們假設(shè)需求量增加，則價(jià)格減少。因此，價(jià)格函數(shù) p f (x) 皆遞減且 dp/dx為負(fù)值。,P.4-39,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,需求的價(jià)格彈性,P.4-39,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,需求的價(jià)格彈性,需求的價(jià)格彈性與總收入函數(shù)的關(guān)聯(lián)性，見圖 4.42 和下列的敘述： 1. 若需求是有彈性，則價(jià)格跌落所帶來的銷售 量增加，可使得總收入增加。 2. 若需求是無彈性，則價(jià)格跌落所帶來的銷售 量增加，不會(huì)使總收入增加。,P.4-39,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,需求的價(jià)格彈性,P.4-39 圖4.42,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 ，0 x 144，其中 p 為單位價(jià)格，x 為需求量(如圖 4.43)。 a. 判斷何時(shí)需求為有彈性、無彈性和單位彈性。 b. 以 (a) 的答案來描述收入函數(shù)的性質(zhì)。,範(fàn)例 5 比較彈性與收入,P.4-40,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 5 比較彈性與收入,P.4-40 圖4.43,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,a. 需求的價(jià)格彈性為,範(fàn)例 5 比較彈性與收入 （解）,P.4-40,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 5 比較彈性與收入 （解）,在區(qū)間 0, 144 內(nèi)，因需求為單位彈性或| | 1，所以 的唯一解為 x 64，因此當(dāng) x 64 時(shí)可得需求的單位彈性。,P.4-40,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,對區(qū)間 (0, 64) 內(nèi)的 x 值來說， 這說明當(dāng) 0 x 64，需求有彈性。對區(qū)間 (64, 144) 內(nèi)的 x 值來說， 這說明當(dāng) 64 x 144，需求無彈性。,範(fàn)例 5 比較彈性與收入 （解）,P.4-40,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 5 比較彈性與收入 （解）,b. 由 (a) 的結(jié)果可知，在開區(qū)間 (0, 64) 收入函數(shù) R 是遞增的，在開區(qū)間 (64, 144) 收入函數(shù)是遞減的，以及當(dāng) x 64 時(shí)收入函數(shù)有極大值，如圖 4.44 所示。,P.4-40,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,範(fàn)例 5 比較彈性與收入 （解）,P.4-40 圖4.44,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,需求函數(shù)為 ，0 x 324，其中 p 為單位價(jià)格，x 為數(shù)量。試判斷何時(shí)需求為有彈性、無彈性和單位彈性。,檢查站 5,P.4-40,第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,商業(yè)術(shù)語