離散型隨機(jī)變量的期望與方差第課時1.pptVIP

第十一章 概率與統(tǒng)計(jì),離散型隨機(jī)變量的期望與方差,第 講,2,（第一課時）,1. 若離散型隨機(jī)變量的概率分布為 則稱E=_為數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.,x1p1+x2p2+xnpn+,2. 如果離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是x1，x2 ，xn，且取這些值的概率分別為p1，p2，pn，則稱D=叫做隨機(jī)變量的方差. D的算術(shù)平方根D叫做隨機(jī)變量的_，記作_.,(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+,標(biāo)準(zhǔn)差,3. 期望與方差的基本性質(zhì)： (1)E(a+b)=_， D(a+b)=_; (2)若B(n，p)，則E=_， D=_.,aE+b,a2D,np,np(1-p),1.設(shè)投擲1顆骰子的點(diǎn)數(shù)為，則( ) A. E=3.5，D=3.52 B. E=3.5，D= C. E=3.5，D=3.5 D. E=3.5，D=,B,解：可以取1，2，3，4，5，6. P(=1)=P(=2)=P(=3)=P(=4)=P(=5)=P(=6)=16， 所以 D=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2,2.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01，若發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是( ) A. E=0.1 B. D=0.1 C. P(=k)=0.01k0.9910-k D. P(=k)= 解：B(n，p)，E=100.01=0.1，P(=k)=,A,3.有兩臺自動包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量1、2，已知E1=E2，D1D2，則自動包裝機(jī) 的質(zhì)量較好. 解：E1=E2說明甲、乙兩機(jī)包裝的重量的平均水平一樣；D1D2說明甲機(jī)包裝重量的差別大，不穩(wěn)定，所以乙機(jī)質(zhì)量好.,乙,題型1 利用基本公式求數(shù)學(xué)期望,1. (1)某城市有甲、乙、丙3個旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這3個景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響.設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值，求的分布列及數(shù)學(xué)期望; (2)把4個球隨機(jī)地投入4個盒子中去，設(shè)表示空盒子的個數(shù)，求E.,分析：第(2)小題中每個球投入到每個盒子的可能性是相等的，所以總的投球方法數(shù)為44，空盒子的個數(shù)可能為0個，此時投球方法數(shù)為 ，所以 ；空盒子的個數(shù)為1時，此時投球方法數(shù)為 所以 .同樣可分析得出P(=2)，P(=3). 解：(1)分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”“客人游覽乙景點(diǎn)”“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A、B、C，由已知A、B、C相互獨(dú)立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(C)=0.6.,據(jù)題意，的可能取值為1，3.其中 P(=3)=P(ABC)+P() =20.40.50.6=0.24. P(=1)=1-0.24=0.76. 所以E=10.76+30.24=1.48. (2)的所有可能的取值為0，1，2，3.,所以的分布列為 所以 點(diǎn)評：數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.計(jì)算數(shù)學(xué)期望可以在求得分布列后，直接按公式計(jì)算即可.,某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出兩個紅球可獲得獎金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎金總額.求： (1)X的分布列； (2)X的數(shù)學(xué)期望.,解：(1)X的所有可能取值為0，10，20，50，60.,故X的分布列為 (2),題型2 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望,2. 為拉動經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個數(shù)分別占總數(shù)的 ，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個項(xiàng)目參與建設(shè).記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.,解:記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai,Bi,Ci，i=1，2，3. 由題意知A1,A2,A3相互獨(dú)立，B1,B2,B3相互獨(dú)立，C1,C2,C3相互獨(dú)立，Ai,Bj,Ck(i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，且P(Ai)= ，P(Bi)= ，P(Ci)= .,解法1：設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由已知B(3， )，且=3-. 所以,故的分布列為 的數(shù)學(xué)期望,解法2：第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Di，i=1,2,3， 由已知，D1，D2，D3相互獨(dú)立， 且P(Di)=P(Ai+Ci)=P(Ai)+P(Ci)= 所以B(3, ), 即,故的分布列為 的數(shù)學(xué)期望,點(diǎn)評：若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)式分布時，可由二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式(若B(n，p)，則E=np)更簡便的求得期望.,為了拓展網(wǎng)絡(luò)市場，騰訊公司為QQ用戶推出了多款QQ應(yīng)用，如“QQ農(nóng)場”“QQ音樂”“QQ讀書”等市場調(diào)查表明，QQ用戶在選擇以上三種應(yīng)用時，選擇農(nóng)場、音樂、讀書的概率分別為 、 、 ，現(xiàn)有甲、乙、丙三位QQ用戶獨(dú)立任意選擇以上三種應(yīng)用中的一種進(jìn)行添加 (1)求三人所選擇的應(yīng)用互不相同的概率； (2)記為三人中選擇的應(yīng)用是“QQ農(nóng)場”或“QQ音樂”的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望,解：記第i名用戶選擇的應(yīng)用是“QQ農(nóng)場”“QQ音樂”“QQ讀書”分別為事件Ai，Bi，Ci，i=1,2,3.由題意知A1，A2，A3相互獨(dú)立，B1，B2，B3相互獨(dú)立，C1，C2，C3相互獨(dú)立，且Ai，Bj，Ck(i，j，k=1,2,3且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，且P(Ai)= ，P(Bi)= ，P(Ci)= . (1)他們選擇的應(yīng)用互不相同的概率P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)= .,解：(2)設(shè)3位用戶選擇的應(yīng)用是“QQ讀書”的人數(shù)是，由已知B(3，)，且=3-，,題型3 利用分解與合成原理求數(shù)學(xué)期望,3. 甲、乙兩個代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷?duì)三名隊(duì)員，甲隊(duì)隊(duì)員是A1，A2，A3，乙隊(duì)隊(duì)員是B1，B2，B3.根據(jù)以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：A1勝B1的概率為 ，A2勝B2的概率為 ，A3勝B3的概率為 ，按上述對陣方式出場，每場比賽勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)甲、乙兩隊(duì)最后所得總分分別為、，求E、E.,解法1：根據(jù)題意，的可能取值為3，2， 1，0，且+=3. 所以,因?yàn)?-+3， 所以 解法2：設(shè)甲隊(duì)隊(duì)員Ai(i=1，2，3) 每場的得分為i， 則=1+2+3. 因?yàn)?的可能取值為1，0， 且,所以 同理 所以,點(diǎn)評：如果兩個隨機(jī)變量、滿足一定的關(guān)系式：=a+b，則E(a+b)=aE+b，利用這個公式可方便快捷地求相關(guān)隨機(jī)變量的期望.,某先生居住在城鎮(zhèn)的A處， 準(zhǔn)備開車到單位B處上班. 若該地各路段發(fā)生堵車事 件都是獨(dú)立的，且在同一 路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如：ACD算作兩個路段，其中路段AC、CD發(fā)生堵車事件的概率分別為 ).若記路線ACFB中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望E.,解：設(shè)1、2、3分別為路段AC、CF、FB中遇到堵車的次數(shù)，則其可能取值都為1，0，且=1+2+3. 因?yàn)?所以,1. 對離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)注意： (1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均. (2)E是一個實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量是可變的，可取不同值，而