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微分幾何教案(十一) 曲面的第一基本形式: 2.1-2.32 曲面的第一基本形式2.1曲面的第一基本形式 曲面上曲線的弧長給出曲面S:上的曲線(C):u=u(t),v=v(t)或。對于曲線(C)有或,若以S表示曲面上曲線的弧長,則有。令,則 ,這個二次形式?jīng)Q定曲面上曲線(C)的弧長,曲線(C)上兩點之間的弧長是 是關(guān)于du,dv的二次形式,稱為S的第一基本形式,用表示,即=,它的系數(shù)叫做曲面的第一類基本量。說明 因為 , 因此第一基本形式是正定的。例1 求曲面z = z(x,y)的第一基本形式。 解 z=z(x,y)表示的曲面即,其中,所以第一基本形式是。例2 求球面 的第一基本形式。解 例3 求正螺面的第一基本形式。 解 。2.2曲面上兩方向的夾角曲面上一點的切方向稱為曲面上的方向,它能表示為,其中是過點的坐標(biāo)曲線的切向量。任給一組du;dv,由上式就確定曲面的一個方向,以后常用du;dv或(d)或表示曲面上的一個方向。兩方向的夾角:給出兩個方向與我們把向量與間的夾角稱為方向與 間的角。與總代表過的兩條曲線的方向,所以這兩方向的夾角也叫做兩曲線的夾角。設(shè)與的夾角為,則, , 故 推論1 兩方向與垂直的充分必要條件是推論2 設(shè)坐標(biāo)曲線的切向量與的夾角為則cos= 。 推論3 坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充分必要條件是F=0.例4 證明旋轉(zhuǎn)曲面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交的。 證明 因為F = 0,所以坐標(biāo)網(wǎng)是正交的。同理可證:圓柱面、球面、正螺面的坐標(biāo)網(wǎng)也是正交的。2.3 正交曲線族和正交軌線1 定義 給出曲面上的兩族相交曲線,如果兩族曲線在曲面上每一點處兩曲線的方向總是垂直的,則稱這兩族曲線為曲面上的正交曲線族。并稱一族為另一族的正交軌線。 2 兩族曲線為正交的充要條件 正交軌線的方程(1)設(shè)曲面上的兩族曲線為,。如果它們正交,則由曲面上兩方向垂直條件知, 所以即,這就是兩曲線為正交曲線的條件。(2) 如果為已知曲線族(即A:B為已知),設(shè)其正交的軌線方程為,則即與聯(lián)立消去參數(shù)du,dv得: 這就是的正交軌線的微分方程。 例 求拋物面z=axy的直母線的正交軌線。解 把拋物面方程z=axy改寫為。則x-線、y-線都是直母線。先求與x-線正交的軌線,因為x-線方程為dy=0,所以A=0,B=1. 由拋物面方程可得: ,所以與x-線正交的軌線的微分方程為: ,積分得或(C為常數(shù)) 這就是
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