1數(shù)學課件 5_第十五章_數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

第十五章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入知識網(wǎng)絡復數(shù)的概念復數(shù)的代數(shù)形式復數(shù)加減運算的幾何意義復數(shù)的幾何意義復數(shù)代數(shù)形式的四則運算第1講 復數(shù)的的概念 知 識 梳理 1復數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復數(shù)，叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部.全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母表示2復數(shù)的代數(shù)形式: 復數(shù)通常用字母表示，即，把復數(shù)表示成的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式.3復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關系：對于復數(shù)，當且僅當時，復數(shù)是實數(shù)；當時，復數(shù)叫做虛數(shù)；當且時，叫做純虛數(shù)；當且僅當時，就是實數(shù)4復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關系：5兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等.這就是說，如果，那么, 6復數(shù)的模：設=,則向量的長度叫做復數(shù)的模（或絕對值），記作.(1)；(2)=；(3)；7共扼復數(shù)：如果兩個復數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復數(shù)互為共扼復數(shù). 重 難 點 突 破 1.重點：理解并掌握復數(shù)的有關概念(復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部、復數(shù)相等)2.難點：復數(shù)的有關概念的應用3.重難點：.(1) 復數(shù)與實數(shù)的區(qū)別.問題1: 判斷下列命題是否正確 (1)若, 則 (2)若且，則 (3)若，則 點撥：(1)認為任何一個實數(shù)的平方大于零可推廣到復數(shù)中，從而(1)是正確的 (2)認為兩實數(shù)之差大于零等價于前一個大于后一個實數(shù)，也可推到復數(shù)中來.認為兩復數(shù)差為實數(shù)則這兩個復數(shù)也為實數(shù).而認為命題(2)是正確的. (3)把不等式性質錯誤的推廣到復數(shù)中，忽略不等式是在實數(shù)中成立的前提條件. 正解：(1)錯，反例設則 (2)錯，反例設，滿足，但不能比較大小. (3)錯，故，都是虛數(shù)，不能比較大小.（2）正確理解復數(shù)的相關概念問題2: 兩個共扼復數(shù)的差是（ ）.實數(shù) .純虛數(shù) .零 .零或純虛數(shù)點撥:當?shù)玫綍r就錯誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設互為共扼的兩復數(shù)分別為及則 或當時，為純虛數(shù)當時，因此應選D. 熱 點 考 點 題 型 探 析考點一：復數(shù)的概念題型1.考查基本概念例1 (廣東省四校聯(lián)合體第一次聯(lián)考)下面四個命題(1) 比大(2)兩個復數(shù)互為共軛復數(shù),當且僅當其和為實數(shù)(3) 的充要條件為(4)如果讓實數(shù)與對應，那么實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應，其中正確的命題個數(shù)是（ ）A B C D 解題思路：抓住基本概念，以概念為辨析的依據(jù)。解析：答案：A (1) 比大，實數(shù)與虛數(shù)不能比較大??；（2）兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)時其和為實數(shù)，但是兩個復數(shù)的和為實數(shù)不一定是共軛復數(shù)； （3）的充要條件為是錯誤的，因為沒有表明是否是實數(shù)；（4）當時，沒有純虛數(shù)和它對應 例2 實數(shù)分別取什么值時，復數(shù)是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).解題思路：正確理解復數(shù)的相關概念要特別注意復數(shù)za+bi(a，bR)為純虛數(shù)的充要條件是a0且b0解析：實部，虛部.（1）當 時，是實數(shù)；（2）當 ，且 時，是虛數(shù)；（3） 當 或 時是純虛數(shù)【名師指引】解決與復數(shù)基本概念相關問題的基本思想是：利用復數(shù)的概念，聯(lián)系以前學過的實數(shù)的性質，對復數(shù)的知識要有較完整的認識，以及能利用轉化的思想將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題 【新題導練】1(廣東省惠州市2008屆高三第三次調研考試)如果復數(shù)為純虛數(shù)，那么實數(shù)的值為（ ）.A2B1C2D1或 2 解析： 即 ，故選擇答案A2(湖南省雅禮中學2008年高三年級第六次月考)計算： （表示虛數(shù)單位）答案：952i解析：用好的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 題型2。與模相關的問題 例3 (廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考)設復數(shù)滿足，則=（ ）A B C D 解題思路：解法1利用復數(shù)相等的條件；解法2利用復數(shù)模的性質；解法3考慮選擇題的特點解析： ，所以，代入得，故選解法3：選擇支中的復數(shù)的模均為，又，而方程右邊為2+i，它的實部，虛部均為正數(shù)，因此復數(shù)z的實部，虛部也必須為正，故選擇B【名師指引】要認真審題，看清題設條件，結論. 學會全面辯證的思考問題，準確記憶有關概念及性質.【新題導練】3. (廣東北江中學業(yè)2008屆高三統(tǒng)測)設復數(shù)滿足,且是純虛數(shù),求 解析：設，由得；是純虛數(shù)，則，4復數(shù)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，則z1=z2的充要條件是_.答案：a=c且b2=d2解析：z1=z2a=c且b2=d2. 搶 分 頻 道 基礎鞏固訓練1 (四川省樂山市2008屆第二次調研考試)復數(shù)的虛部為( )A B C D 答案：D ，虛部為2 (北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習)使復數(shù)為實數(shù)的充分而不必要條件是由 ( )A B C 為實數(shù) D 為實數(shù)答案：B ；，反之不行，例如；為實數(shù)不能推出 ，例如；對于任何，都是實數(shù)3 (東北三校2008年高三聯(lián)考)設則的關系是( )A B C D 無法確定答案：A 4 (廣東省五校2008年高三期末聯(lián)考) 已知集合的元素個數(shù)是( )A B C D 無數(shù)個答案：B 5(廣東省揭陽市2008年第一次模擬考試)設i為虛數(shù)單位，則展開式中的第三項為A B C 30 D 解析：在展開式中，故選D.6(上海市部分重點中學2008屆高三第二次聯(lián)考)若，其中是虛數(shù)單位，則ab_答案：3綜合拔高訓練7如果是虛數(shù)，則中是虛數(shù)的有 個，是實數(shù)的有 個，相等的有 組 答案： 四個為虛數(shù)；五個為實數(shù)；三組相等8(吉林省實驗中學2008屆高三年級第五次模擬考試)計算 答案： 記 9（成都四中2008高三數(shù)學統(tǒng)測）已知復數(shù)z1滿足(1+i)z1=1+5i, z2=a2i, 其中i為虛數(shù)單位,aR, 若,求a的取值范圍.解: 由題意得 z1=2+3i,于是=,=.,得a28a+70, 解得1a7.10已知復數(shù)滿足: 求的值 解：設，而即則第2講 復數(shù)的運算 知 識 梳理 1復數(shù)與的和的定義：2復數(shù)與的差的定義：3乘法運算規(guī)則：設，(、)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積4復數(shù)除法定義：滿足的復數(shù)(、)叫復數(shù)除以復數(shù)的商，記為：或者則 5復數(shù)加、減法的幾何意義(1)加法的幾何意義復數(shù) 是以、為兩鄰邊的平行四邊形對角線所對應的復數(shù).(2)復數(shù)減法的幾何意義復數(shù)是連接向量、的終點，并指向被減數(shù)的向量所對應的復數(shù).6. 重要結論對復數(shù)z 、和自然數(shù)m、n，有，(2) ，； ，.(3) ，.(4)設， 重 難 點 突 破 1.重點：掌握復數(shù)的運算法則，復數(shù)加減法的幾何意義及應用2.難點：復數(shù)相關問題的綜合應用3.重難點：.(1) 不能把實數(shù)的某些法則和性質照搬到復數(shù)集中來問題1: 判斷下面的命題(1)；(2)；(3)；(4)；(5)解析：當時，不總是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)點撥：充分注意實數(shù)運算與復數(shù)運算的區(qū)別。（2）沒有掌握虛數(shù)單位整數(shù)冪的運算結果的周期性問題2：求值：原式=點撥：虛數(shù)單位整數(shù)冪的值具有以4為周期的特點，根據(jù)必須按被4整除余數(shù)為0、1、2、3四種情況進行分類討論.（3）注意運用共軛復數(shù)的性質問題3: 已知，求的值點撥：對于，是復數(shù)運算與實數(shù)運算相互轉化的主要依據(jù)，也是把復數(shù)看作整體進行運算的主要依據(jù)，在解題中加以認識并逐漸體會. 熱 點 考 點 題 型 探 析考點一：復數(shù)的四則運算題型1. 利用復數(shù)四則運算求值例1 （廣東北江中學2008屆數(shù)學專題） ( )ABCD解題思路：運用公式，按步求解 解析：， 故選C 例2 (江蘇省南通市2008屆高三調研考試)設=+i,A=x|x=k+k,kZ,則集合A中的元素有A.1個B.2個C.3個D.4個解題思路：用的性質。解析：設=+i,則3k=1,3k+1=,3k+2=(kZ),當k=3n,nZ時，x=1+1=2;當k=3n+1,nZ時，x=+=+2=+=1;當k=3n+2,nZ時，x=2+=2+=1 答案: B【名師指引】熟記一些常用結論有利于簡化運算，快速解題?！拘骂}導練】1（廣東省佛山市2008年高三教學質量檢測一）（ ）ABCD 答案：C2(黃家中學高08級月考)求復數(shù)（ ）（A） （B） （C） （D）【解】： 故選C；考點二: 復數(shù)加減法幾何意義的應用題型1: 復數(shù)及其運算的幾何意義例3 (廣東省汕頭市潮陽一中2008年高三模擬)復數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復平面上對應的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解題思路：，解析：B 例4 滿足條件的點的軌跡是（ ）A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓解題思路：如果把看作動點Z到定點（0，2）的距離，由上式表示到兩個定點（0，2）與（-1，0）的距離之和為常數(shù) 動點的軌跡符合橢圓的定義，但是，有一定的前提的就是兩點間的距離小于定常數(shù).解析：點（0，2）與（-1，0）間的距離為， 動點在兩定點（0，-2）與（-1，0）之間，選C【名師指引】理解復數(shù)、復數(shù)加減法及復數(shù)模的幾何意義，熟記一些常用曲線的復數(shù)表示?！拘骂}導練】1(廣東省深圳市2008年高三年級第一次調研考試)復數(shù)，則復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：A2(廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考)滿足條件|z-i|=|3+4i|復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡是( )A 一條直線 B 兩條直線 C 圓 D 橢圓答案： |3+4i|=5滿足條件|z-i|=|3+4i|復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡是圓心為（0，1），半徑為5的圓。故選C 搶 分 頻 道 基礎鞏固訓練1. (廣東省廣州執(zhí)信中學、中山紀念中學、深圳外國語學校三校期末聯(lián)考)若復數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù),則實數(shù)的值為 （ ） A、-6 B、13 C. D. 答案：A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. (安徽省皖南八校2008屆高三第一次聯(lián)考)定義運算，則符合條件的復數(shù)對應的點在（ ）A第一象限； B第二象限； C第三象限； D第四象限；答案：A3(廣東省揭陽市2008年高中畢業(yè)班高考調研測試)若（i為虛數(shù)單位），則使的值可能是（ ）A0 B C D答案：將各選項代入檢驗易得答案選B.4(廣東省韶關市2008屆高三第一次調研考試)已知復數(shù)，則（ ）A BC D 答案：C5(山東省濟南市2008年2月高三統(tǒng)考)的共軛復數(shù)是（ ）A B C D答案：B6(湖北省鄂州市2008年高考模擬)虛數(shù)（x2）+ y其中x、y均為實數(shù)，當此虛數(shù)的模為1時，的取值范圍是（ ） A， B（C， D，0（0，答案：B , 設k =,則k為過圓（x2）2 + y2 = 1上點及原點82615205的直線斜率，作圖如下, k, 又y0 ,k0.由對稱性 選B綜合拔高訓練7(廣東省四校聯(lián)合體第一次聯(lián)考)復數(shù)的虛部是 。答案：8（安徽省涇縣中學2008高三數(shù)學單元檢測）復平面內，已知復數(shù)z=xi所對應的點都在單位圓內，則實數(shù)x的取值范圍是_.解:z對應的點z(x,)都在單位圓內， |Oz|1,即1.x2+1.x20,aR),復數(shù)=z(z+i)的虛部減去它的實部所得的差是，求復數(shù).解:把z=代入,得=(+i)=()=(1+ai).于是a，即a2=4.a0,a=2,=+3i.第十七章 綜合檢測一、選擇題（第小題5分，共40分）11.已知z1=2i,z2=1+3i，則復數(shù)的虛部為（ ）A.1B.1C.iD.i答案: C解：=i. 2(1i)2i等于（ ）A.22iB.2+2iC.2D.2答案:D解:(1i)2i=(12i+i2)i=(12i1)i=2ii=(2)(1)=2. 3復數(shù)z1=3+i,z2=1i，則z=z1z2在復平面內的對應點位于（ ）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案: D解:z1z2=(3+i)(1i)=42i. 4已知復數(shù)z與(z+2)28i均是純虛數(shù),則z等于（ ）A.2i B.2iC.iD.i答案:B解:設z=bi(bR且b0),則(z+2)28i=(bi+2)28i=b2i2+4bi+48i=(4b2)+(4b8)i. b=2.z=2i. 5定義：.若復數(shù)滿足，則等于A. B. C. D.答案：A6，若 則的值是（ ）A2i B C D答案：A7設復數(shù)，則展開式的第五項是（ ） A-2i B-21i C35 D-35i答案：C8設f(n)=()n+()n,nN,如果Af(n),則滿足條件的集合A有（ ）A.8個B.7個C.3個D.無窮多個 答案: A 解:f(n)=( )n+()n=in+(i)n(nN)=f(n)=0,2,2.Af(n)=0,2,2,A的個數(shù)是23=8. 二、填空題（第小題5分，共30分，其中1315是選做題，選做兩題）9的值等于_.解: =2+3i.10若，其中是虛數(shù)單位，則ab_答案：3 提示：利用復數(shù)相等可得。11已知復數(shù)z = (1 i)(2 i)，則| z |的值是 答案：12已知實數(shù)x，y滿足條件，（為虛數(shù)單位），則的最小值是 答案： 提示：幾何意義是可行域上的點到定點（1，-2）的距離的最小值。13（選做題）設z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (mR), 若z對應點在直線x-2y+1=0上, 則m的值是 .解析: 設z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (mR), 若z對應點在直線x-2y+1=0上, 則log2(m2-3m-3)-2 log2(m-3)+1=0故2（m2-3m-3）=(m-3)2 m=或m=-（不適合）14（選做題）若a0, 且z|z|+az+i=0, 則復數(shù)z = 解析: 若a0, 且z|z|+az+i=0, 則z(|z|+a)+i=0, |z|+a0,故 z為純虛數(shù)，設z = yi (y , 則 (|y|+a)yi+i=0 故y2-y-1=0y = z =15（選做題）若tR, t-1, t0時,復數(shù)z =的模的取值范圍是 .解析: 若tR, t-1, t0時,復數(shù)z =的模為|z| 則|z|2=故z的模的取值范圍是三、解答題（共80分）16（本題滿分13分）已知復數(shù)(2k23k2)+(k2k)i在復平面內對應的點在第二象限，則實數(shù)k的取值范圍.解:復數(shù)對應的點在第二象限，即12分k的取值范圍為(，0)(1，2). 13分17（本題滿分13分）已知集合A=z|z-2|2，B=|z|z=z1i+b，z1A，bR（1）若AB=，求b的取值范圍；（2）若AB=B，求b的值解：由B中元素z=z1i+b，得z1=-i(2z-2b)，z1A，|z-2|=|-i(2a-2b)-2|2