高考數(shù)學第5章數(shù)列第1節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法教學案文（含解析）北師大版.docx

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表法考綱傳真1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)1數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項2數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限單調性遞增數(shù)列an1an其中nN*遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和通項公式法4數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項an與n之間的函數(shù)關系可以用一個式子表示成anf(n)，那么這個式子就叫作這個數(shù)列的通項公式5an與Sn的關系若數(shù)列an的前n項和為Sn，通項公式為an，則an1數(shù)列an是遞增數(shù)列an1an恒成立2數(shù)列an是遞減數(shù)列an1an恒成立基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達()(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個()(3)如果數(shù)列an的前n項和為Sn，則對任意nN*，都有an1Sn1Sn()(4)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)數(shù)列1，的一個通項公式為()AanBan(1)nCan(1)n1DanB由a11，代入檢驗可知選B3設數(shù)列an的前n項和Snn2，則a8的值為()A15B16C49D64A當n8時，a8S8S7827215.4把3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖所示)則第6個三角形數(shù)是()A27 B28 C29 D30B由題圖可知，第6個三角形數(shù)是123456728.5在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5()A B C DDa212，a311，a41123，a511.由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式1數(shù)列0，的一個通項公式為()Aan(nN*)Ban(nN*)Can(nN*)Dan(nN*)C注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可2數(shù)列an的前4項是，1，則這個數(shù)列的一個通項公式是an_.數(shù)列an的前4項可變形為，故an.3寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)3,33,333,3 333，；(4)1,1，2,2，3,3.解(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)數(shù)列中各項的符號可通過(1)n1表示每一項絕對值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21，22，23，24，所以an(1)n1.(3)將數(shù)列各項改寫為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)(4)數(shù)列的奇數(shù)項為1，2，3，可用表示，數(shù)列的偶數(shù)項為1,2,3，可用表示因此an規(guī)律方法由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉化(轉化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法(2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和絕對值特征；化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(1)k或(1)k1，kN*處理由an與Sn的關系求通項公式【例1】(1)若數(shù)列an的前n項和Sn3n22n1，則數(shù)列an的通項公式an_.(2)若數(shù)列an的前n項和Snan，則an的通項公式an_.(1)(2)(2)n1(1)當n1時，a1S13122112；當n2時，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當n1時，不滿足上式故數(shù)列的通項公式為an(2)由Snan，得當n2時，Sn1an1，兩式相減，得ananan1，當n2時，an2an1，即2.又n1時，S1a1a1，a11，an(2)n1.規(guī)律方法1.已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用anSnSn1(n2)便可求出當n2時an的表達式；(3)注意檢驗n1時的表達式是否可以與n2的表達式合并2Sn與an關系問題的求解思路根據(jù)所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化(1)利用anSnSn1(n2)轉化為只含Sn，Sn1的關系式，再求解；(2)利用SnSn1an(n2)轉化為只含an，an1的關系式，再求解 (1)已知數(shù)列an的前n項和Sn3n1，則數(shù)列的通項公式an_.(2)在數(shù)列an中，Sn是其前n項和，且Sn2an1，則數(shù)列的通項公式an_.(1)(2)2n1(1)當n1時，a1S1314，當n2時，anSnSn13n13n1123n1.顯然當n1時，不滿足上式an(2)依題意得Sn12an11，Sn2an1，兩式相減得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以數(shù)列an是以a11為首項、2為公比的等比數(shù)列，an2n1.由數(shù)列的遞推關系求通項公式考法1形如an1anf(n)，求an【例2】在數(shù)列an中，a12，an1an3n2(nN*)，求數(shù)列an的通項公式解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當n1時，a1(311)2符合公式，ann2.考法2形如an1anf(n)，求an【例3】已知數(shù)列an滿足a11，an12nan，求數(shù)列an的通項公式解an12nan，2n，2n1(n2)，ana12n12n2212123(n1)2.又a11適合上式，故an2.考法3形如an1AanB(A0且A1)，求an.【例4】已知數(shù)列an滿足a11，an13an2，求數(shù)列an的通項公式解an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故數(shù)列an1是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，an123n1，因此an23n11.規(guī)律方法由遞推關系式求通項公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an，即an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1.(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an，即ana1.(3)已知a1且an1qanb，則an1kq(ank)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉化為等比數(shù)列ank(4)形如an1(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構造新數(shù)列求解 根據(jù)下列條件，求數(shù)列an的通項公式(1)a11，an1an2n；(2)a1，anan1(n2)；(3)a11，an12an3；(4)a11，an1.解(1)由題意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)因為anan1(n2)，所以當n2時，所以，以上n1個式子相乘得，即21，所以an.當n1時，a1，與已知a1相符，所以數(shù)列an的通項公式為an.(3)由an12an3得an132(an3)又a11，a134.故數(shù)列an3是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，an342n12n1，an2n13.(4)因為an1，a11，所以an0，所以，即.又a11，則1，所以是以1為首項，為公差的等差數(shù)列所以(n1).所以an(nN*)1(2014全國卷)數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.2(2015全國卷)設Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列1