內(nèi)生性問題好材料

1、工具變量和兩階段最小二乘一、背景雖然在ols的大樣本性質(zhì)中，我們放寬了強外生性的假定，用弱外生條件來進行替代，即。但是，在實際的問題中，弱外生性的條件往往也是不容易滿足的。也就是說，變量的內(nèi)生性問題總是不可避免的。內(nèi)生性引起的問題主要是引起參數(shù)估計的不一致?？梢哉f，內(nèi)生性問題是在實際應(yīng)用中最經(jīng)常遇到的問題。這個部分討論的就是如何解決由內(nèi)生性問題引起的參數(shù)估計的不一致。二、知識要點1、引起內(nèi)生性的原因及其對參數(shù)估計的影響2、代理變量法解決內(nèi)生性問題3、工具變量法和2sls的性質(zhì)三、要點細綱1、引起內(nèi)生性的原因及其對參數(shù)估計的影響（1）模型設(shè)定偏誤（遺漏變量）這主要是因為實際的問題中，一個變量往往

2、受到許多變量的影響，在實際建模過程中無法將解釋變量全部列出。在這樣的情況下，遺漏的變量的影響就被納入了誤差項中，在該遺漏變量與其他解釋變量相關(guān)的情況下，就引起了內(nèi)生性問題。即。（2）測量誤差關(guān)于測量誤差引起內(nèi)生性的問題要基于測量誤差的假設(shè)。測量誤差可能是對被解釋變量的測量誤差，也可能是由于對解釋變量的測量誤差。這兩種情況引發(fā)的結(jié)果是不一樣的。a. 被解釋變量的測量誤差。不妨假設(shè)的真實值是，測量值為，則可以將測量誤差表示成：。假設(shè)理論的回歸方程為：將測量誤差方程帶入得到：其中是實際回歸方程的殘差。顯然，由于的測量誤差是與相互獨立的，所以實際回歸方程的殘差也與各解釋變量相互獨立（無關(guān)）。外生性條件

3、滿足。b. 解釋變量x的測量誤差假設(shè)在回歸式中，測量誤差產(chǎn)生于，即實際回歸式為：并有如果假設(shè)，則將測量誤差帶入方程得到：顯然，外生性條件滿足。如果假設(shè)。該假設(shè)條件稱為classical error-in-variables（cev）假定。由上述方程可以看出，此時測量誤差會引起內(nèi)生性問題。( 3) 雙向交互影響（或者同時受其他變量的影響）這種情況引起的內(nèi)生性問題在現(xiàn)實中最為常見。其基本的原理可以闡述為，被解釋變量和解釋變量之間存在一個交互影響的過程。的數(shù)值大小會引起取值的變換，但同時的變換又會反過來對構(gòu)成影響。這樣，在如下的回歸方程中：如果殘差項的沖擊影響了的取值，而這樣的影響會通過傳導到上，從

4、而造成了和殘差項的相關(guān)。也就是引起了內(nèi)生性問題。這里舉幾個簡單、但經(jīng)常遇到的例子說明。例1：金融發(fā)展與經(jīng)濟增長例2：外商直接投資fdi與經(jīng)濟增長例3：犯罪率與警備投入2、代理變量(proxy)法解決內(nèi)生性問題考慮如下的回歸方程其中，q是不可觀測的變量（遺漏），假定z是對q的一個代理，z必須滿足下列條件：（1）（2）代理變量的缺點：a、當有交互效應(yīng)時會引起異方差問題b、在實際問題中，通常對遺漏的變量是難以意識到的。c、約束條件太強。3、工具變量法和2sls的性質(zhì)這里先討論簡單工具變量法，兩階段最小二乘2sls是簡單工具變量法的一個擴展。關(guān)于工具變量的大樣本假設(shè)、是一個有限、可逆的維正定矩陣。、是

5、一個有限的的矩陣，并且該矩陣的秩是k。、（1）簡單工具變量考慮如下一個回歸方程：現(xiàn)在假設(shè)是內(nèi)生的，也就是說，與殘差項相關(guān)。在這樣的情況下，得到的參數(shù)估計值是有偏的。再次強調(diào)，此時參數(shù)估計的偏差不僅僅存在于參數(shù)上，而是所有的參數(shù)估計值都會受到影響?？雌胀ㄗ钚《说慕Y(jié)果：其中，不妨設(shè)，則有：，則可以看出：顯然，當現(xiàn)在回到一般的回歸方程：仍然假設(shè)是內(nèi)生的，如果可以找到一個工具變量，使得滿足如下兩條假定：、那么，就可以定義，方程兩邊左乘，同取期望，得到參數(shù)估計值，使得：但是，這樣的簡單工具變量得到的估計并不是無偏的（特殊的得到無偏估計的情況是：與其他外生變量無關(guān)，只和相關(guān)）。正確的做法是，將內(nèi)生變量對

6、所有的外生變量進行投影（回歸），也就是按照如下的公式計算：只要系數(shù)，該工具變量就是有效的。也就是說，必須保證與是在扣除了其他外生變量的影響下，仍然是相關(guān)的！這樣，根據(jù)回歸得到了的估計值用估計出的代替原來的，進行ols估計，就可以得到產(chǎn)生的無偏估計。這實際上是將內(nèi)生變量分成了內(nèi)生部分和外生部分，通過投影得到了外生的部分，然后進入回歸方程。（2）多工具變量和兩階段最小二乘（2sls）多工具變量是簡單工具變量的一個擴展。當我們可以找到的工具變量不只一個的時候，我們可以提高對內(nèi)生變量的擬合優(yōu)度。得到一個更好的估計值。另外一方面，如果一個多元回歸方程中含有的內(nèi)生變量個數(shù)不只一個，那么我們就必須分別找到它

7、們各自的工具變量?？偟脕碚f，需要注意的是，工具變量的個數(shù)必須大于方程中內(nèi)生變量的個數(shù)。每一個內(nèi)生變量，都必須是對所有的外生變量進行投影，這樣得到的參數(shù)估計才是一致的。下面用一個具體的例子來說明。為了方便，我們?nèi)匀患僭O(shè)回歸方程中只含有一個內(nèi)生變量現(xiàn)在假設(shè)我們可以找到一組外生變量，正確的做法是：（1）將對所有外生變量進行回歸：其中于是可以得到：同理，對每一個外生的進行投影，也就是如下的回歸：，可以得到如下的結(jié)果：（2）于是定義得到：帶入，得到： （3）proxy和iv的區(qū)別proxy方法是將不可觀測的變量用近似的變量進行替代，也就是說，是在殘差項中提取出有用的信息，但是并沒有對現(xiàn)有的解釋變量進行處

8、理。而iv方法恰恰相反，它是對現(xiàn)有回歸式中的內(nèi)生變量進行的處理，找到另外一個變量對其進行“替代”，但是對于方程的殘差項沒有進行任何的處理。iv方法對工具變量有嚴格的外生假定條件，而proxy不一定成立。（4）兩階段最小二乘的性質(zhì)一致性所以，但是，如果在第一階段的回歸中沒有包括方程中原有的外生變量，那么，一致性就不能得到保證。假設(shè)有如下回歸方程其中是的外生變量，是內(nèi)生變量。并且有維的工具變量。如果只是將對進行投影，得到如下結(jié)果：帶入原式得到令，由ols得到參數(shù)估計結(jié)果如下所示：因為回歸中沒有扣除的影響，所以一般來說，從而造成參數(shù)估計的有偏。有效性2sls在第一階段進行回歸得到的結(jié)果如下：假設(shè)有另

9、外一個關(guān)于的無偏投影：，其相應(yīng)得到的的兩階段估計為。顯然有如下兩個結(jié)論成立：要證明的方差最小，只有證明是一個正定的矩陣，也就是證明：是正定矩陣。我們有，因此有：進而有：其中，是對回歸的殘差。顯然，。問題得證。四、思考題1、闡述引起內(nèi)生性的原因及其對參數(shù)估計的影響。2、在兩階段最小二乘中，如果在第一階段的回歸中沒有包括原方程中所有的外生變量，會引起參數(shù)估計的什么問題，請舉例說明。3、證明在第一階段回歸中將內(nèi)生變量對所有外生變量進行投影后，利用簡單工具變量得到的參數(shù)估計值具有有效性。小結(jié)工具變量進行兩階段最小二乘估計的具體步驟設(shè)有模型：認為gmin可以作為gmin1t的工具變量使用。第一，gmin1t對所