影院座位設(shè)計建模論文17頁 .doc

影院座位設(shè)計摘 要本文研究了電影院的座位設(shè)計問題，觀眾對座位的滿意程度主要取決于視角與仰角，視角越大，仰角越小，滿意度就越大。根據(jù)這一條件，建立模型，進行比較，提出了增加觀眾平均滿意度的設(shè)計改進方案。問題一：當一定時，滿意程度主要取決于視角與仰角，由圖中的幾何關(guān)系建立的數(shù)學模型，以數(shù)形結(jié)合結(jié)合的方法進行分析，利用Matlab軟件作圖，通過圖像得知視角與仰角的變化關(guān)系，在時取到最佳位置，此時最大值為，其對應(yīng)的x的值為1.7282米，結(jié)合實際考慮離散化的情形，相鄰兩排座位間的間距相等，取為0.8米【1】這個最佳位置應(yīng)當是影院的第四排。問題二：運用題目中的已知條件，在某一座位選定時（即x的值確定時），通過分析視角與地板線傾角的內(nèi)在關(guān)系，隨著地板線傾角的增大，視角逐漸增大；并且，由與的關(guān)系，角越大，角不超過的區(qū)域越大，即仰角不超過條件的座位所占比例越大。給出合理的約束條件，找到約束條件下的最優(yōu)解，考慮到最后一排觀眾視高不超過屏幕上邊緣的限定，我們可以得出合理的值，解出時達到平均觀眾滿意度的最大值。問題三：先考慮改進直線的情況下的最優(yōu)方案，因此改進計劃中第一要解決的就是使角符合條件區(qū)域更廣；其次，還要盡可能的進一步提高角的平均值。再對直線地板先來改進設(shè)計，保證對應(yīng)的座位點的坐標均在拋物線上，且均在平均滿意度最大的直線的上方，由問題二中的模型求解知當時，觀眾的平均滿意度最大。由引理，考慮到屏幕中垂線處視角最大，可采取抬高各排高度的措施。如果考慮到人的眼睛到頭頂?shù)木嚯x0.1m，若后排不被前排擋住視線，地板線傾角在范圍內(nèi)變化。利用C語言進行搜索求出最大平均視角，傾角.座位安排為第一排被抬高3.1m的傾斜直線，過直線首尾端點，以高于直線0.01m,采用x為y的二次曲線進行擬合，得到的擬合二次函數(shù)的表達式為：.最大平均視角將在原有基礎(chǔ)上提高，得出改進后的地板線會提高觀眾的平均滿意程度。 關(guān)鍵詞：最佳位置；平均滿意度；座位排列形狀；二次擬合1.問題的重述 影院中，觀眾在座位上的滿意程度主要取決于視角和仰角。視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，仰角太大使人的頭部過分上仰，引起不舒適感。一般要求仰角不超過30. 現(xiàn)假設(shè)影院屏幕高h，上邊緣距地面高H，地板線傾角，第一排與屏幕水平距離d，最后一排座位與屏幕水平距離D，觀眾平均坐高c為已知條件。（其中h=1.8m,H=5m,d=4.5m,D=19m,c=1.1m） 現(xiàn)有以下幾個問題：（1） 地板傾角，試找出最佳座位在什么地方；（2） 試求所有觀眾滿意程度最大的時候的傾角（一般不超過）；（3） 地板線設(shè)計成什么形狀時，可以進一步提高觀眾的滿意程度。2問題的分析 問題要求我們從不同的角度考慮影院設(shè)計對觀眾滿意程度的影響。觀眾在座位上的滿意程度主要取決于視角和仰角。視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，前兩問我們可以用建立直角坐標系并找到相關(guān)量的關(guān)系并建立相應(yīng)函數(shù)的方法來解決。第三問是較為開放的一問。要求我們開放思維，去大膽并且合理地設(shè)想符合條件的最優(yōu)化的座位排列方式，先考慮改進直線的情況下的最優(yōu)方案，因此改進計劃中第一要解決的就是使角符合條件區(qū)域更廣；其次，還要盡可能的進一步提高角的平均值。再對直線地板先來改進設(shè)計，保證對應(yīng)的座位點的坐標均在拋物線上，且均在平均滿意度最大的直線的上方并結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學模型，給出較為嚴謹?shù)臄?shù)學推導與證明。仰角在滿足條件的范圍內(nèi),最佳座位處視角最大。（4） 根據(jù)要求一般不超過30，所以 0，30，我們知道，實際中影院的座位是離散的，而非連續(xù)的。故我們要在符合題目條件的情況下找到最接近連續(xù)情況下考慮的最優(yōu)解的離散解，從而找出最佳座位在什么地方。接下來考慮視角和仰角，試求所有觀眾滿意程度最大的時候的傾角（一般不超過），再通過考慮視角和仰角及角，給出地板線設(shè)計成什么形狀時，可以進一步提高觀眾的滿意程度。3模型的假設(shè)與符號說明31 模型的假設(shè)（1）忽略觀眾看電影時，個人視力因素的影響；（2）觀眾席座位等高；（3）各排座位之間距離相等；（4）同一排座位，觀眾的滿意程度相同.；（5）最后排座位的最高點不超過屏幕的上邊緣；（6）影院的的地板成階梯狀；（7）把觀眾的眼睛看作一個點；（8）觀眾的平均滿意度只取決于視角和仰角，其他因素忽略不計；（9）相鄰兩排座位間的間距相等，取為0.8米【1】 ；(10) 假設(shè)屏幕的長度與座位的排長相等;32 符號說明 : 觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角（視角）（單位：度）: 觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角（仰角）（單位：度）: 地板線傾角（單位：度）: 影院屏幕高（單位：m）: 上邊緣距地面高（單位：m）: 第一排座位與屏幕水平距離（單位：m）: 最后一排座位與屏幕水平距離（單位：m）: 觀眾平均坐高（指眼睛到地面的距離）（單位：m）4模型的準備為了建立模型，解決問題，首先我們準備一下工作：以第一排觀眾的眼睛為原點，建立平面直角坐標系，如圖1所示：BOMNP屏幕地面地板視覺線圖1 影院座位設(shè)計的剖面圖xyA其中，為屏幕，為地板線，為所有的觀眾的眼睛所在的直線。5模型的建立與求解51 問題1的模型建立與求解仰角在滿足條件的范圍內(nèi),最佳座位處視角最大。根據(jù)要求一般不超過30，所以 0，30以第一排觀眾的眼睛為原點，建立平面直角坐標系，如圖1所示：BOMNP屏幕地面地板視覺線圖1 影院座位設(shè)計的剖面圖xyA其中，為屏幕，為地板線，為所有的觀眾的眼睛所在的直線。則由圖可設(shè)視覺線上任意一點的坐標為，屏幕上下點的坐標分別為，的斜率記為,的斜率記為。由斜率公式得：， 則直線和的斜率與夾角滿足如下關(guān)系： 【1】 當=10時，tan=0.176, 【2】將【2】式中x的表達式及相關(guān)已知量的值代入【1】式中可得：通過matlab作圖可以得到與的關(guān)系圖像如下：（程序見附錄一）由圖像可以看出，時，隨著的增加而增加。（由題時，會導致觀眾不舒適，故只考慮的情況。）并且我們由題可以知道，的值時越大越利于提高觀眾滿意度，所以可以推得最佳的位置應(yīng)當在處，利用matlab可以算的此時，,最佳位置距墻的距離為6.2282m. 但是我們知道，實際中影院的座位是離散的，而非連續(xù)的。故我們要在符合題目條件的情況下找到最接近連續(xù)情況下考慮的最優(yōu)解的離散解，這就要考慮影院座位前后間距的問題了。根據(jù)有關(guān)資料可以查的，一般影院的座位前后間距約為0.8m，故x的值可離散化為如下以0.8【1】為公差等差數(shù)列：0，0.8，1.6，2.4，3.2，4.0，4.8，5.6，6.4，7.2，8.0，14.4. 因此，符合題意并考慮到實際情況的最后解應(yīng)當為x=2.4,處，即影院座位的第四排處。當然，在不同座位間距下，我們?nèi)匀豢梢砸勒沾朔焖偾蟪鲎罴盐恢玫呐艛?shù)。5.2 問題2的模型建立與求解 由題分析可知，要使觀眾的滿意程度達到最大，有兩個方面因素：(1) 仰角不超過條件的座位所占的比例越大，觀眾的平均滿意程度就越大；(2) 所有座位的視角的均值越大，觀眾的平均滿意程度就越大。并且，為了保證后排觀眾的滿意程度，我們限定最后一排觀眾的眼睛不超過屏幕上邊緣。 結(jié)合問題1中的結(jié)論，可得與的關(guān)系式為： 【1】易得與的關(guān)系如下： .由此可見，在某一座位選定時（即x的值確定時），隨著地板線傾角的增大，視角逐漸增大；并且，角越大，角不超過的區(qū)域越大，即仰角不超過條件的座位所占比例越大?？紤]到最后一排觀眾視高不超過屏幕上邊緣的限定，我們可以得出合理的值應(yīng)當滿足，即.因此綜上，取到時所有觀眾的平均滿意程度最大。5.3 問題3的模型建立與求解問題2中求得的最優(yōu)解中，第一排的，超過了條件中的，因此改進計劃中第一要解決的就是使角符合條件區(qū)域更廣；其次，還要盡可能的進一步提高角的平均值。引理 豎直方向上的兩定點，在與它們相距一定水平距離的豎直方向上有一動點，當該動點位于兩定點的垂直平分線上時，動點與兩定點形成的視角最大。動點距兩定點的垂直平分線越近，動點與兩定點形成的視角越大。證明見附錄二。于是似乎地板線設(shè)計成水平面，高度為 ，即屏幕的垂直平分線，這樣所有點的視角都最大。但實際上某人的視角范圍內(nèi)里有其他人時，視角就要減小，如上述水平面，只有第一排觀眾視角最大，其它排的視角為其一半，若考慮眼睛到頭頂?shù)母叨?，則視角更小。可見，第一排觀眾的視高不能超過屏幕下邊緣的高度，否則后面的人就會被擋住。也就是說座位（考慮人的視高）的平均高度要盡量接近屏幕的中垂線，且要盡量防止前排觀眾擋住后排觀眾的一部分視線（可通過增加排間高度差來實現(xiàn)）。這正好驗證了第 2 問的結(jié)論，地板線傾角時，平均視角最大，因為這樣才能使所有的點距屏幕中垂線最近。那么如何進一步提高觀眾的滿意度呢？考慮到屏幕中垂線處視角最大，可采取抬高各排高度的措施。 由題，各排的排間高度差相等時，則觀眾眼睛連線為直線。如果考慮到人的眼睛到頭頂?shù)木嚯x（按照平均水平并理想化，這個距離給定為0.1m），若后排不被前排擋住視線（理想簡化模型，不考慮靠后的座位視角下邊被前排遮擋的情況），則地板線傾角應(yīng)當至少為.經(jīng)過進一步分析，平均視角最大的情況只可能在一下條件下發(fā)生：（1）最后一排觀眾的視高在范圍內(nèi)變化；（2）地板線傾角在范圍內(nèi)變化。因此，我們在這兩個條件的約束下求解最優(yōu)解。 設(shè)最后一排的坐標，列出直線方程：，于是，觀眾眼睛的位置可以表示為：。我們利用C語言進行搜索（具體程序見附錄三），求出最大平均視角，傾角.座位安排的示意圖如下：在直線階梯狀的基礎(chǔ)上充分考慮到，的限制因素，平均滿意度主要取決于視角和仰角，把每一排的相加再除以就得到，把每一排的相加再除以就得到，于是我們就得到下列關(guān)系式：為了保證第排座位所在的位置應(yīng)高于第排座位所在的高度；前一排的觀眾不會擋住后一排，同時滿足觀眾的視線視角盡可能大,即眼睛的位置應(yīng)盡可能分布在垂直平分線的附近，且仰角大的座位所占的比例盡可能小。因此，對原直線模型各排的座高盡可能改進到視角盡可能大，現(xiàn)設(shè)計如下模型：平均滿意度最大的地板線設(shè)計改進后的地板線運用第一問中的三個模型分別探討第二問要就的值，使觀眾的平均滿意度最大。由平均座高1.1m可求出傾角的最大值為只有未知量，且，其中在直線模型的基礎(chǔ)上，不改變第一排及最后一排的位置，為達到平均視角最大，仰角較小，對中間各排座位的高度進行一下調(diào)整，設(shè)計趨近直線型的拋物線遞增型，且其導函數(shù)遞減型的座高模型，以提高平均視角，即進一步提升觀眾的滿意度，x分別為0，0.8，1.6，2.4，3.2，4.0，4.8，5.6，6.4，7.2，8.0，8.8，9.6，10.4，11.2，12.0，12.8，13.6，14.4，且有曲線上的點（0,4.194）、（4.8,4.802）、（14.5，5）通過曲線的二次擬合給定拋物線形如圖所示。（程序見附錄四）得到的擬合二次函數(shù)的表達式為：. 易得此時觀眾的平均視角得到進一步提升，仰角在條件范圍內(nèi)的區(qū)域增大，即觀眾滿意度得到了進一步提升。6模型結(jié)果的分析與檢驗 我們可以看到，我們的模型中有許多結(jié)合實際考慮的部分，例如考慮到實際座位前后間隔，和實際中前排觀眾對后排觀眾視角的影響等。這樣的考慮，使得我們的模型具有了一定的實際運用價值以及更加好的合理性。對問題一，我們可設(shè)計如下模型進行結(jié)果的檢驗對問題二，我們可做如下算法設(shè)計進行結(jié)果的檢驗（1） 讓地板線傾角在內(nèi)逐一取值，步長為0.01;（2） 讓x在4.5,19內(nèi)逐一取值，步長為；（3） 對一個取定的，判斷x所在的位置仰角是否超過，若仰角超過，則該座位的綜合滿意度必須同時考慮仰角和視角的取值，否則，只需要考慮視角的取值，把所有座位的綜合滿意度相加，并求出觀眾的平均綜合滿意度，判斷此時的平均滿意度是否最大，最后一排的高度是否超過屏幕的上邊緣，并記下最大值時的取值；（4） 改變值，重新求值、判斷.從而來檢驗我們模型中的結(jié)果計算結(jié)果為：（程序見附錄五）對問題三，我們可做如下算法思路設(shè)計進行結(jié)果的檢驗第排觀眾的滿意度為,則觀眾平均滿意程度函數(shù)為：，平均滿意度的大小由每一排的滿意度所決定，而又是由仰角和視角所決定。所以，要使觀眾的滿意程度達到最大，取決于兩個方面： 仰角不超過條件的座位所占的比例越大，觀眾的平均滿意程度就越大； 所有座位的視角的均值越大，觀眾的平均滿意程度就越大。地板線傾角的改變將同時使所有座位的仰角和視角的大小發(fā)生改變，且在某一座位(即取某一定值)，在逐漸增大的過程中仰角逐漸減小，視角逐漸增大，仰角不超過條件的區(qū)域擴大，即地板線傾角越大,仰角不超過條件的座位所占的比例越大。第一排觀眾的仰角為，不滿足仰角的條件，可知第排座位所對應(yīng)的仰角的正切值： 其中為地板線上的座位的總排數(shù)：，隨著地板線傾角的變化，相鄰兩排座位間的間距不變，但相鄰兩排座位間的水平間距會發(fā)生改變。由于地板線傾角不超過，所以，并限制最后一排觀眾的視高不要超過屏幕的上邊緣，即。可求出第排座位所對應(yīng)的水平視角的正切值為： 當取地板線傾角為變化時，通過計算可以得出，。設(shè)計優(yōu)化模型對模型結(jié)果進行檢驗：平均滿意度的優(yōu)化模型為：同時附加條件,用以限制前一排不遮擋后一排視角，將每一排的座位高度座位要求解的對象，以平均視角最大，即滿意度為目標函數(shù)，建立一個合理的動態(tài)規(guī)劃模型，在滿足，和后排高于前排的約束條件下求得各排高度散點圖的最優(yōu)解。然后將滿足約束條件的散點圖的高度設(shè)計成相應(yīng)排座位的高度，即可結(jié)合實際給出地板線設(shè)計形狀，通過模型平均視角的求解合理給出滿意度界定標準，從而與問題三模型結(jié)果進行比較，可得問題三模型結(jié)果的正確性，合理性。求解過程中，我們的模型進行了多處的理想假設(shè)，估算以及擬合操作，這樣必然會有一定的誤差。關(guān)于誤差的分析，在前文必要位置我們已經(jīng)對產(chǎn)生誤差的原因作出了說明和解釋，在此不再贅述。7模型的推廣與改進 通過對問題的進一步研究以及對影院的實地考察，我們提出以下解決該問題的思路： 我們將每一排的高度座位分開考慮的變量，通過每一排高度和視角、仰角以及地板線傾角的關(guān)系，列出每一排高度表達的、，用作為目標函數(shù)，利用運籌學中的動態(tài)規(guī)劃模型求解其滿足，和后排高于前排的約束條件下的最優(yōu)解。其中求解過程運用lingo軟件實現(xiàn)。建立平均滿意度的優(yōu)化模型為：同時附加條件,用以限制前一排不遮擋后一排視角，將每一排的座位高度座位要求解的對象，以平均視角最大，即滿意度為目標函數(shù)，建立一個合理的動態(tài)規(guī)劃模型，在滿足，和后排高于前排的約束條件下求得各排高度散點圖的最優(yōu)解。也可根據(jù)求出第排座位所對應(yīng)的水平視角的正切值為： 以作為目標函數(shù)，將、，及地板線傾角轉(zhuǎn)化為每排高度控制的函數(shù)關(guān)系式，代入平均滿意度的優(yōu)化模型，可得出以條件為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動態(tài)規(guī)劃模型，然后利用反向算法進行模型的求解，將滿足約束條件的散點圖的高度設(shè)計成相應(yīng)排座位的高度，即可結(jié)合實際給出地板線設(shè)計形狀，通過模型平均視角的求解合理給出滿意度界定標準，此模型圖，設(shè)身處地，從每排觀眾的角度，通過控制座位高度，已達到該排觀眾盡可能的滿意，從而具有精確性，合理性，但模型受實際場地的具體限制，需要大量動態(tài)變量下的運算，推廣價值與文中模型相比，有待提升。本文中所建立模型的方法和思想對其他類似的問題也很適用,所建立的模型可用于大型場所的座位的設(shè)計與安排，以及彩民對中獎率的滿意程度等問題上。同時對于已知剖面來分析物體的形狀這一類型問題的處理有很好的參考價值.例如:運用該模型去解決會議廳、報告廳的布局,燈塔高度的設(shè)計等相關(guān)的問題。因此具有很強的實用性和推廣性。我們建立模型的方法和思想對其他類似的問題也很適用，本文所建立的模型不但能指導多媒體教室的設(shè)計，對標準籃球的設(shè)計也具有參考意義.運用我們所建立的模型，對于已知剖面來分析物體的形狀這一類型的問題的處理有很好的參考價值.例如：運用該模型去解決房間的布局，旗桿高度的設(shè)計等相關(guān)的問題. 8模型的優(yōu)缺點 在問題求解過程中，我們不僅僅是單純的去給出算式計算結(jié)果，而是盡量做到與實際結(jié)合去考慮和解決問題，模型抓住影響觀眾滿意程度的主要因素(仰角和視角),合理構(gòu)造滿意度函數(shù),過程清晰明了,結(jié)果科學合理。模型具有較好的通用性,實用性強,對現(xiàn)實有很強的指導意義。并在不斷的思考中去深化對這一模型的認識。當然我們的模型還有許多理想化和定性非定量的成分，還有待進一步用數(shù)學嚴謹?shù)厍蠼夂妥C明。模型在建立過程中充分考慮到觀眾平均滿意度的特殊性（假設(shè)屏幕的長度與影院的寬度一致），即選取其中的一列，得出最佳地板線傾角；模型主觀假設(shè)同一排座位觀眾的滿意程度相同,實際情況并非如此,這就使得我們的模型對解決實際問題時有一定的局限性。模型建立的過程中,以觀眾眼睛所在的點為坐高點,考慮前排觀眾額部對后排觀眾的遮擋, 考慮到人的眼睛到頭頂?shù)木嚯x（按照平均水平并理想化，這個距離給定為0.1m），若后排不被前排擋住視線（理想簡化模型，不考慮靠后的座位視角下邊被前排遮擋的情況），這些數(shù)據(jù)還有待科學論證化。參考文獻【1】 周人忠 電影院建筑設(shè)計【M】 北京：中國建筑出版社，1986；【2】 姜啟源數(shù)學模型（第四版）M北京：高等教育出版社，2011；【3】 張杰 運籌學模型及其應(yīng)用 【M】，北京：清華大學出版社，2012；【4】 張學敏，MATLAB基礎(chǔ)及應(yīng)用，北京：中國電力出版社，2012；【5】 /gjpxw/thudz/GD_jzsj_006/chapter2/2-1-32.htm【6】 李祖苑，影院座位設(shè)計，,中國科技論文在線（訪問時間：2013年4月9日）附錄附錄一： fun1=inline(atan(1.8*(3.9-4.5*tan(b)./(tan(10*pi/180)+tan(b)+4.5)./(3.9-4.5*tan(b)./(t