中考高分的十八個關節(jié)-關節(jié)10-圖形變換.doc

關節(jié)十圖形變換引出的計算與證明圖形（或部分圖形）經(jīng)“平移”、“軸對稱”或“旋轉”（包括中心對稱）之后，就會引起圖形形狀，位置關系的變化，就會出現(xiàn)新的圖形和新的關系。因此，圖形變換引出的問題主要有兩類：一類是變換引出的新的性質(zhì)和位置關系問題；另一類是變換引出的幾何量的計算問題。一、圖形平移變換引出的幾何計算與證明 這類問題的解法的思考應當突出兩點： 、把背景圖形研究清楚； 、充分運用圖形平移的性質(zhì)，特別應注意的是：“平移變換不改變角度”（即平移中的線和不平移的線，交角的大小不變）。兩者的恰當結合，就是解法的基礎。ABCP例1 如圖，若將邊長為的兩個互相重合的正方形紙片沿對角線翻折成等腰直角三角形后，再抽出一個等腰直角三角形沿移動，若重疊部分的面積是，則移動的距離等于 ?！居^察與思考】第一，搞清楚背景圖形：和均為底邊長為的等腰直角三角形；第二，由平移搞清楚新圖形的特征：由于平移不改變角度，可知也是等腰直角三角形，這樣一來，即。解得而，。解：填?！菊f明】可以看出，由背景和平移的性質(zhì)相結合得出為等腰直角三角形，是本題迅速獲解之關鍵。BCA（）FE例2 如圖（1），已知的面積為3，且現(xiàn)將沿CA方向平移CA長度得到。（1）求所掃過的圖形面積；（2）試判斷，AF與BE的位置關系，并說明理由；（3）若求AC的長。（1）【觀察與思考】第一，搞清楚原圖形即的特征：面積為3，第二，搞清楚平移過程：平移沿CA方向進行；平移距離為CA的長度。注意！這就意味著每一對對應點之間的距離都等于CA，當然就有。由此可知：（1）掃過的圖形即為菱形的兩條對角線；BCA（）FE（2）AF和BE就是菱形的兩條對角線；（3）的條件下，由求出AC的長。（1）各問題解法得到，落實如下：解：（1）如圖（1）掃過的圖形為菱形，而。（2）如圖（1），為菱形的兩條對角線，并且AF，BE互相平分。（3）若則，作于D，如圖（1），則，ACBD由,解得。（1）【說明】由本題可以看出，原圖形背景和平移性質(zhì)的結合是解法獲得的基礎。ABEFPABABCD例3 如圖（1）所示，一張三角形紙片，。沿斜邊AB的中線CD把這線紙片剪成和兩個三角形如圖（2）所示。將紙片沿直線（AB）方向平移（點始終在同一條直線上），當點與點B重合時，停止平移，在平移的過程中，與交于點E，與分別交于點F，P。（1）（2）（3）（1）當平移到如圖（3）所示的位置時，猜想圖中與的數(shù)量關系，并證明你的猜想。（2）設平移距離為，與重疊部分的面積為，請寫出與的函數(shù)關系式，以及自變量的取值范圍；（3）對于（2）中的結論是否存在這樣的，使得重疊部分面積等于原紙片面積的？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由?！居^察與思考】第一，搞清楚背景圖形（即圖（2）所示的平移前的圖形），（略）第二，搞清楚平移過程：平移不改變角的大小；任意一對對應點的距離都等于圖形平移的距離，按本題要求，平移距離滿足：。ABEFP對于問題（1），注意到在圖（3）中有：和都是等腰三角形（由和為等腰三角形演變而來），以及（由圖中（2）的演變而來），相應的猜想及證明都易得到；對于問題（2），若在圖（3）中作輔助線：作交AB于，如圖（3），易知（圖（1）中）。（3）對于問題（3），由（2）的結果構造相應的方程即可。解：（1），證明如下：，又是斜邊AB的中線（原圖（1）即。同理：又。（2）作交AB于，如圖（3），由（1）知。而，且它們的斜邊長依次為。 其中。（3）令 即 ，解得所以存在,使重疊部分的面積為面積的，這時，平移的距離為或5?！菊f明】從本題可以看出：、恰當運用平移變換的性質(zhì)（如角度不變）極為重要，這體現(xiàn)在問題（1）的解法中。、充分而靈活運用平移構成的三角形相似很重要（由角度不變易造成相似），這體現(xiàn)在問題（2）的解法中。圖形平移的問題，解決的關鍵在于運用好“平移變換”的性質(zhì)。二、圖形的軸對稱變換引出的計算與證明這類問題解決的思考應當突出以下兩點：、把背景圖形研究清楚；、充分注意軸對稱的兩部分全等，對稱軸是任意對稱兩點連線的垂直平分線。兩者的恰當結合，就是解法的基礎。圖形的軸對稱問題，解決的關鍵在于運用好“軸對稱變換”的性質(zhì)！ABCDNMQP例1 如圖（1），邊長為1的正方形中，分別為的中點，將點C折至MN上落在點P的位置，折痕為連結。（1）求的長；（2）求的長。（1）【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形：是正方形一組對邊的中點；第二，搞清楚軸對稱情況：除正方形外，本題還有兩組軸對稱圖形，一是和關于對稱；二是和關于MN對稱 ，如圖（1），由此立刻得是邊長為1的等邊三角形。ABCDNMQP有了如上的認識，問題的解法已明朗。解：（1）連結易知是等邊三角形，且其邊長為1。（1）。（2）由（1）知又，。ABCDEF例2 如圖，在中，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，把沿著EF對折，恰使點A落在BC上點D處，且使。（1）猜測AE與BE的數(shù)量關系，并說明理由。（2）求證：四邊形AEDF是菱形。【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形（略）；第二，搞清楚這個特殊的“折疊”（軸對稱）和新圖形的特點：（因它們關于EF對稱 ）。在中，得。這就是問題（1）的結論和理由。而由，得，又，立刻推知和均是等邊三角形，四邊形AEDF當然就是菱形?！菊f明】在本題，從背景圖形和特殊折疊結合而得出的新圖形的性質(zhì)，成為解法形成的根據(jù)。例3 已知矩形紙片，。將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合。（1）如果折痕FG分別與AD，AB交于點F，G（如圖（1），）求DE的長。（2）如果折痕FG分別與CD，AB交于點F，G（如圖（2），），的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長。ABCDEFGABCDEFG（2）（1）【觀察與思考】第一，背景圖形易搞清楚；第二，（1），（2）兩問的折疊方式有差異。 對于（1）來說，折痕一AD交于點F，立刻有；，且，由此即可求得DE的長。ABCDEFGMN對于（2），對應的圖形如圖（2），可知：的外接圓的圓心為的中點，則也是FG的中點，且在矩形的中點連線上，而即是過該圓與BC相切切點的半徑；，由此可求得。進而可求得FG的長。解：在矩形中，（2）。在中，。（2）如圖（2），設AE與FG的交點為，則以為圓心，以OA為半徑的圓就是的外接圓。若取AD的中點M，連結OM并延長交CB于點N。易知點N即和CB相切的切點，。設OA（即的半徑）為，則，在中，解得。在和中，即，得?！菊f明】正是恰當?shù)貙⒈尘皥D形和折疊（軸對稱）的性質(zhì)結合，使有關問題（1）的數(shù)量關系集中于；使有關問題（2）的數(shù)量關系集中于和（且它們又是相似的），使兩個問題迅速獲解。例4 已知：矩形紙片中，AB=26厘米，厘米，點E在AD上，且厘米，點P是AB邊上一動點，按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點P與點E重合，展開紙片得折痕（如圖（1）所示）；步驟二，過點P作交所在的直線于點Q，連結QE（如圖（2）所示）；（1）無論點P在AB邊上任何位置，都有PQ QE（填“”、“=”、“”號 ）（2）如圖（3）所示，將矩形紙片放在直角坐標系中，按上述步驟一、二進行操作：當點P在A點時，與交于點點的坐標是（ ， ）；當厘米時，與交于點，點的坐標是（ ， ）；當厘米時，在圖（3）中畫出，（不要求寫畫法）并求出與的交點的坐標；（3）點P在在運動過程中，與形成一系列的交點，觀察，猜想：眾多的交點形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達式。（A）BCDENO612182461218ABCDPEMNBC（P）ABCDPEMNTQ（1）（2）（3）PM（A）BCDENO612182461218GF【觀察與思考】充分利用是PE的垂直平分線這一基本特征。解：（1）（2） （0，3）； （6，6）； 畫圖，如圖（3），設（3）與EP交于點F。在中，。（3）可以多取幾個P點，畫出相應的Q點，易發(fā)現(xiàn)應在同一條拋物線上，由該拋物線過點（0，3），（6，6），（12，15），可得其函數(shù)關系式為。由以上諸例的解法可以看出：圖形軸對稱變換的問題，解決的關鍵就是把軸對稱的性質(zhì)（對稱 的圖形全等及對稱軸是對應點連線的垂直平分線）和背景圖形的特征恰當結合。三、圖形的旋轉變換引出的計算與證明這類問題解決的思考應當遵循以下兩點：、把背景圖形研究清楚；、把圖形旋轉的基本性質(zhì)：“對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉角”和“旋轉前后對應的兩部分是全等的”。始終作為思考的指導。例1 如圖，將繞點A順時針旋轉60后，得到，且為BC的中點，則等于（ ）ACBDA、 1：2 B、 C、 D、1：3【觀察與思考】聯(lián)合觀察背景圖形和旋轉后的圖形：（1）中，（旋轉角），所以，是等邊三角形；（2）由恰為BC之中點，知，即中，為斜邊BC上的中線。將（1），（2）結合，則在中，進而在中，特別地還有。對圖形有了這些深入而具體的認識，立刻得出：解：應選D?！菊f明】可以看出，從背景，旋轉兩者結合的角度深入研究新構成的圖形，把握其各種隱性的特征，是迅速，正確地獲得解的關鍵。例2 將兩個含有銳角的全等直角三角板ABC和如圖擺放，兩個直角頂點C重合，AC和在同一條直線上，將三角板ABC以點C為旋轉中心，沿順時針方向分別旋轉到達，的位置。分別和相交于點。ACB求， 的值?！居^察與思考】（1）旋轉30時，對應的圖形如圖（1），結合背景圖形和旋轉的特征，得到中，解法已清楚。（2）旋轉45時，對應的圖形如圖（2），結合背景圖形和旋轉的特征，知道：中，立刻想到應作于借助溝通兩個直角三角形和，解法也明朗了。C3030（3）旋轉60時，對應的圖形如圖（3），結合背景圖形和旋轉的特征，知道：在中，得，解法幾乎是顯然的。CCM（1）（2）（3）解：（1）旋轉30時，如圖（1），易知。在中，。（2）旋轉45時，如圖（2），作于在中，。在中，。（3）旋轉60時，如圖（3），在中，得，?！菊f明】旋轉后的幾何計算問題，多數(shù)情況下要借助旋轉后形成的“新圖形”，如本題的，而“新圖形”的特征正好集中著原背景圖形和所作旋轉的特性。掌握與恰當運用這一規(guī)律，就能又好又快地獲得問題的解法。ABDCE例3 如圖，桌面內(nèi)，直線上擺放著兩個大小相同的直角三角板，它們中較小的直角邊的長為6，較小銳角的度數(shù)為30。（1） 將關于直線對稱圖形的位置，與相交于點，請證明：；（2）將沿直線向左平移到圖的位置，使點落在上的點處，你可以求出平移的距離，試試看：（3）將繞點逆時針旋轉到圖的位置，使點落在上的點處，請求出旋轉角的度數(shù)。ABDCEFABDCEFABDCE【觀察與思考】本題的三問分別是針對圖形的“軸對稱”、“平移”和“旋轉”三種變換的。對于（1），將背景圖形的情況（數(shù)量、關系）和“軸對稱”（構成全等）結合起來，容易發(fā)現(xiàn)，當然結論就推出來了。對于（2），將原背景圖形的情況和“平移”的特征結合起來，容易發(fā)現(xiàn)和的相似關系，從中可以推知“平移”的距離。對于（3）將原背景圖形的情況和所作的特殊的“旋轉”使點繞點旋轉旋轉到恰好在邊上，由此不難找到所對應的旋轉角度。解：（1）如圖，在和中，。（2） 如圖，但。即平移距離（3） 如圖，在中，在上， 且（因，可知為斜邊的中線。，即，旋轉的角度?！菊f明】從本題進一步看出：圖形作軸對稱變換時，多是研究“全等”（相等）關系；圖形作平移變換時，多會出現(xiàn)“相似”關系；圖形作旋轉變換時，更多的是著眼于“角度”。這既是問題構成的特征，當然也是尋找解決時的思考應遵循的規(guī)律。ABCDMEGHF例4 如圖，已知正方形與正方形的邊長分別是和，它們的中心都在直線上，在直線上，與相交于點，當正方形沿直線以每秒1個單位的速度向左平移時，正方形也繞以每秒45順時針方向開始旋轉，在運動變化過程中，它們的形狀和大小都不改變。（1）在開始運動前， ；（2）當兩個正方形按照各自的運動方式同時運動3秒時，正方形停止旋轉，這時 ； ；（3）當正方形停止旋轉后，正方形繼續(xù)向左平移的時間為秒，兩正方形重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)表達式?！居^察與思考】對于（1），。對于（2），這時點在上點的右側，且，點到的距離為，即。對于（3），應把運動全過程搞清楚：ABCDEGHFABCDEGHF（1）（2）ABCDEGHF（3）陰影部分的面積情況可分為四段，如圖（1），圖（2），圖（3），還有圖（3）后的兩正方形不相交的情況，它們的分界點在，對應的時刻為。然后分段計算出陰影正方形的面積即可。簡解： （1）9； （2）0，6；（3）（1）如圖（1），當時，所以與之間的函數(shù)關系式為。（2）如圖（2），當時，與之間的函數(shù)關系式為。（3）如圖（3），當時，所以與之間的函數(shù)關系式為。（4）當時，與之間的函數(shù)關系式為?！菊f明】本題突出了按變換分析圖形及研究位置關系，只有把這兩個方面研究清楚了，才可能有正確的解決方法。由以上的解析使我們體會到：解答關于圖形變換的問題，應注意兩個角度的“結合”：第一個角度，要充分而恰當?shù)貙⒈尘皥D形的性質(zhì)和變換本身的性質(zhì)相結合，這樣才容易看清楚新圖形的性質(zhì)；第二個角度，要充分而恰當?shù)貙D形的操作與關系的推演相結合，很多情況正是圖上的操作才更容易展示變換的全貌和分類、分段情況的?？梢哉f，許多幾何圖形都是從圖上“看出”其性質(zhì)的，而后才通過計算或證明予以解決的。 練習題1、將圖（1）中的平行四邊形沿對角線剪開，再將沿著方向平移，得到圖（2）中的，連結，除與外，你還可以在圖中找出哪幾對全等三角形（不能另外添加輔助線和字母）？請選擇其中的一對加以證明。ABCABCD（2）（1）2、如圖，矩形中，將矩形沿對角線平移，平移后的矩形為始終在同一條直線上），當點與重合時停止移動，平移中與交于點與的延長線交于點與交于點與的延長線交于點設表示的面積。表示矩形的面積。（1）與相等嗎？請說明理由。（2）設寫出和之間的函數(shù)關系式，并求出取任何值時有最大值，最大 值是多少？ABDCPEFGHNMQ（3）連結，當為何值時，是等腰三角形。3、如圖（1）中，矩形的長和寬分別為和，點和點重合，和在一條直線上，令不動，矩形沿所在的直線向右以每秒1的速度移動（如圖（2），直到點與點重疊為止，設移動秒后，矩形與重疊部分的面積為。求之間的函數(shù)關系式。ABCDMNP2ABCD（M）NP2（1）（2）4、如圖，在矩形中，若將矩形折疊，使點與點重合，則折痕的長為（ ）ABCDEFA、 B、 C、 5 D、 6ABCDEF5、如圖，已知邊長為5的等邊三角形紙片，點E在邊上，點F在邊上，沿著折痕，使點A落在邊上的點的位置，且則的長是（ ）A、 B、 C、 D、6、在矩形紙片中，。沿