線性代數(shù)綜合測試3.doc

中國地質大學(武漢)遠程與繼續(xù)教育學院線性代數(shù)課程綜合測試3學習層次：專升本 時間：90分鐘一、填空題(每小題4分，共24分)1四階行列式中含因子，取負號的項為。 解：由行列式定義可知：含因子的項只能是與， 而列腳標1342的逆序數(shù)為2取正號，故正確答案是。2均為階方陣，則=。 解： 由于： 。3 ，則=。解：由于。4若某向量組中含有零向量，則該向量組線性 相 關。 解：向量組線性相關性的幾條充分條件之一：含零向量的向量組必相關。5設6階方陣的秩為5，是非齊次線性方程組的兩個不相等的解，則 的通解為。解：由于，所以的基礎解系只含一個向量：，故有上通解。6若矩陣A=與B=相似，則x = ，y = 。解：相似矩陣有相同的特征根，再由特征根性質可得 。 二、單項選擇題(每小題4分，共24分)7設A、B為n階方陣，且，則為對稱矩陣的是 D 。A B C D解：直接用矩陣的轉置驗算：。8下列矩陣中哪個矩陣是初等矩陣 D 。A B C D 解：對單位矩陣只作一次初等變換的矩陣叫初等矩陣，可見只有D成立。9設為階方陣，滿足關系，則必有 C 。A B C或 D 解：因為 ，可推出或。10若階方陣不可逆，則必有 B 。A. B. 0為的特征值 C. 秩()= D. =解： 可逆；秩()= 可逆；不可逆，不代表=；故選B：0為的特征值11設A=（aij）mxn，若mn，則 B 。AA的行向量組線性相關 BA的列向量組線性相關CA的行向量組無關 DA的列向量組無關解：定理：行向量組、列向量組、矩陣：三秩相等。因為mn，所以秩列數(shù)， 故列向量組的個數(shù)大于秩，線性相關。12元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 B 。A B C D解：齊次線性方程組有非零解的定理。13下面的矩陣中哪一個是二次型的矩陣C。A B C D解：首先，二次型矩陣必須是對稱矩陣，其次次對角線上的元素是交叉項的平分，所以選C。14階方陣具有個線性無關的特征向量是與對角矩陣相似的 C 條件。A.充分條件 B. 必要條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要解： 矩陣與對角矩陣相似的充分必要定理保證。三、計算題(每小題7分，共42分)15設與均為3階方陣，為3階單位矩陣，且 ；求。 解：因為AB+E=A2+B ，可逆所以。16滿足什么條件時，方程組有唯一解，無解，有無窮多解？ 解：當且時，方程組有惟一解。當時方程組無解。當時方程組當時這時方程組只有零解。當時，這時方程組有無窮多解。17設有向量組，計算該向量組的秩，寫出一個極大無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示。解: ,所以, ， 為的一個極大無關組；。18設矩陣的一個特征值為3，求。解：19當為何值時，為