一元二次方程全節(jié)學案.doc

2.1 一元二次方程【重點難點】1經歷抽象一元二次方程的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，理解一元二次方程及相互概念。2經歷方程的解的探索過程，增進對方程解的認識，發(fā)展估算能力及意識，能列出方程來刻畫實際問題?！局R要點】1一元二次方程的概念方程中只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是二次，這樣的整式方程叫一元二次方程。任何一個關于x的一元二次方程都可化為ax2+bx+c=0的形式（a，b，c為常數(shù)，且a0）。因此我們把這種形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax2,bx，c分別叫二次項，一次項，常數(shù)項。a,b分別為二次項系數(shù)和一次系數(shù)。如4x23x2=0中，4x2是二次項，3x是一次項，2為常數(shù)項，而4,3分別是二次項、一次項的系數(shù)。2一元二次方程的解能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解，這與一元一次方程，二元一次方程的解的意義一樣。檢驗一個未知數(shù)的值是否是一元二次方程的解的方法：將未知數(shù)的值代入方程的左，右兩邊，分別計算結果，再比較左右兩邊是否相等，如果左右兩邊相等，則未知數(shù)的值是原方程的解，否則就不是原方程的解。4求實際問題中一元二次方程的近似解。對于實際問題列出的一元二次方程，我們可先根據(jù)實際問題確定其解的大致范圍，再通過具體計算進行兩邊“夾逼”，逐步獲得其近似解?！纠}講解】例1判斷下列式子是不是關于x的一元二次方程:下列關于x的方程:（1）ax2+bx+c=0,(2)k2+5k+b=0,(3);(4)(m2+3)x2+2=0,(5)x2+是一元二次方程的是 （只填序號）.例2求出下列方程二次項，一次項及常數(shù)項：（1）6x2=5x+2, (2)(3x1)(x+2)=.例3如圖 所示，要建一個面積為130平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長16米）并在與墻平行的一邊開一道1米寬的門，現(xiàn)有能圍成32米長的木板，求倉庫的長和寬，對于這個問題，你能列出方程嗎？試著求其解來，并與同伴交流一下自己的心得。例4關于x的一元二次方程（a1）x2+x+a21=0有一根為0,則a的值應為 .A1 B.1 C.1或1 D.【達標訓練】一、選擇：1.下列方程不是整式方程的是( )A. B.0.2x20.4x3=0 C. D.2.在下列方程中,一元二次方程的個數(shù)是( )3x2+7=0,ax2+bx+c=0,(x+2)(x3)=x21,x2+4=0,x2(+1)x+=0,3x2+6=0A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.關于x的一元二次方程3x2=5x2的二次項系數(shù),一次項和常數(shù)項,下列說法完全正確的是( )A.3,5,2 B.3,5x,2 C.3,5x,2 D.3,5,24.一元二次方程5x2+x3=0,把二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù),且使方程的根不變的是( )A.5x2x+3=0 B.5x2x3=0 C.5x2+x3=0 D.5x2+x+3=05.已知關于x的一元二次方程(m1)x2+x+m2+2m3=0的一個根為0,則m的值為( )A.1 B.3 C.1和3 D.不等于1的任何數(shù)6.已知2y2+y2的值為3，則4y2+2y+1值為（ ）A10 B.11 C.10或11 D.3或17.若一元二次方程ax2+bx+c=0中,二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項之和為0,則方程必有一根是( )A.0 B.1 C.1 D.18.若b(b0)是方程x2+cx+b=0的根,則b+c的值為( )A.1 B.1 C.2 D.29.如圖所示,在正方形的鐵片上,截去2cm寬的一個長方形,余下的面積是48cm2,則原來的正方形鐵片的面積是( )A.81cm2 B.64cm2 C.16cm2 D.8cm210.方程(m+2)+3mx+1=0是關于x的一元二次方程,則( )A.m=2 B.m=2 C.m=2 D.m2二、填空：11.一元二次方程的一般形式是 ,其中 是二次項, 是一次項, 是常數(shù)項.12.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是 .13.方程4x2=3x+1的二次項是 ,一次項是 ,常數(shù)項是 .14.已知關于x的方程是一元二次方程,則m= .15.已知關于x的方程x2(2m1)x(2m1)=0有一根為0,則m= .16.關于x的一元二次方程(a1)x2+a21=0有一根為0,則a= .17.已知關于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1,一根為1,則a+b+c= ,ab+c= .18.小王在超市用24元買了某種品牌的牛奶若干盆,過一段時間再去超市,發(fā)現(xiàn)這種牛奶進行讓利銷售,每盒讓利0.4元,他用24元錢比上次多買2盒,若設這種牛奶原價為每盒x元,則可列方程為 ,若設后來買了y盒,則依題意可列方程為 .19.某農場的糧食產量在兩年內從3000噸增加到3630噸,若設平均每年的增長率為x,則所列方程為 .20.已知方程(x+a)(x3)=0和方程x22x3=0的解完全相同,則a= .21.已知x2+7xy60y2=0,則= .22.若分式的值為0,則x= .三、解答題：23.關于x的方程(ab)x2+ax+b=0在什么條件下是一元一次方程?在什么條件下是一元二次方程?24.關于x的方程(2m2+m3)xm+1+5x=13能是一元二次方程嗎?為什么?25.當m為何值時,關于x的方程 (m29)x2+(m3)x+2m=0:(1)是一元一次方程? (2)是一元二次方程?26.已知關于x的方程(n2)+3nx+3=0是一元二次方程,試求n的值并寫出這個一元二次方程.27.已知a、b、c均為有理數(shù),試判定關于x的方程ax2x+b=c是不是一元二次方程,如果是,請寫出二次項系數(shù),一次項系數(shù)及常數(shù)項.28.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根為1,且a、b滿足等式b=3,求方程c=0的根.29.一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示,要在這塊地上沿東西和南北方向分別挖2條和4條水渠,如果水渠的寬度相等,而且要保證余下的耕地面積為9600米2,那么水渠應挖多寬?2.2 配方法【重點難點】1.會用開平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程；理解配方法,會用配方法解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.2.能夠建立一元二次方程刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系,增強應用數(shù)學知識的意識和能力.3.體會轉化的數(shù)學思想.4.能根據(jù)具體實際問題檢驗結果的合理性.【知能互動】1.直接開平方法解一元二次方程對于形如x2=m或(ax+n)2=m(a0,m0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方,而另一邊是一個非負數(shù),可用直接開平方法求解.x2=m的解為x=,即(ax+n)2=m轉化為ax+n=,即ax+n=,或ax+n=,這兩個一元一次方程來解.因為負數(shù)沒有平方根,所以當m0 當b24ac0時，兩邊開方得：即 這樣就得到了一元二次方程的求根公式:對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),當b24ac0時，它的根為。2運用求根公式解一元二次方程將一元二次方程寫成ax2+bx+c=0的形式，由求根公式表示式可知，它的根由系數(shù)a,b,c確定，因此求根時，只需將方程各項的系數(shù)分別代入公式即可求出方程的解。對于任何一個一元二次方程并不是都有實數(shù)根。因此在運用求根公式之前，應先求b24ac，當b24ac0時可繼續(xù)把根求出；當b24ac0時，由于負數(shù)沒有平方根，所以方程無解，這時不必代入公式求解了。運用公式解一元二次方程的步驟：（1）將方程化為一元二次方程一般形式。（2）確定a、b、c的值。（3）求出b24ac的值,確定方程是否有實根.（4）代入求根公式求根?！久}探究】例1運用求根公式解下列方程：（1）5x2=3x (2)x2+2=0 (3)(y1)(y+3)+5=0例2選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?（1）4(3x2)2=36 (2)3x2+5(2x+1)=0例3已知一個直角三角形的兩直角邊的長恰當方程2x28x+7=0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 .A. B.3 C.6 D.9例4 先從括號內備選項中選出合適的一項,填在橫線上,將題目補充完整后再解答.(1)如果a是關于x的方程x2+bx+a=0的根,并且a0,求 的值.(ab a+b ab)(2)已知7x2+5y2=12xy,并且xy0,求 的值.(xy x+y xy【達標訓練】一、選擇:1方程2x(x3)=5(x3)的根為( )A. B.x=3 C. D.2.若代數(shù)式4x22x5與2x2+1的值互為相反數(shù),則x的值為( )A.1或 B.1或 C.1或 D.1或3.利用求根公式求的根時,a,b,c的值分別是( )A.5, ,6 B.5,6, C.5,6, D.5,6, 4.方程(x1)(x5)=1的兩個根等于( )A.x1=5,x21 B.x1=6,x2=2C.x1= D.5.對于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列敘述正確的是( )A.方程總有兩個實數(shù)根 B.只有當b24ac0時,才有兩實根C.當b24acM B.=M C.x2,則x12x2的值是 。18方程x2=x的解是 。19已知一個矩形的長比寬多2cm，其面積為8cm2,則此長方形的周長為 .20有一間長20米，寬15米的會議室，在它的中間鋪一塊地毯，地毯的面積是會議室面積的，四周未鋪地毯的留空寬度相同，則留空的寬度為 .三、解答題：21.選用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1)(3x)2+x2=9 (2)(2x1)2+(12x)6=0(3)(3x1)2=4(1x)2 (4)(x1)2=(1x)22.解下列關于x的方程:(1)x2+(1+2)x+3+=0 (2)x23|x|4=0(3)(x3)2+(x+4)2(x5)2=17x+2423已知c的定數(shù)，并且x23x+c=0的一個根的相反數(shù)是方程x2+3xc=0的一個根，你能求出方程x2+3xc=0的根和C 的值嗎？24方程(2002x)220012003x1=0較大根為a,方程x22002x2003=0的較小根為b,求(a+b)2003的值.25.已知等腰三角形兩邊長分別是x28x+15=0的兩根，求此等腰三角形的周長。26已知是方程x24x+C=0的一個根，求方程的另一個根及C的值。27我們知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩根x1,x2,則, ，則x1+x2= ,x1x2= .請運用上面你發(fā)現(xiàn)的結論,解答問題:已知x1,x2是方程x2x1=0的兩根,不解方程求下列式子的值:x12+x22; ; (x1+1)(x2+1).2.5為什么是0.618【本節(jié)必學】1.經歷分析具體問題中的數(shù)量關系,建立方程模型解決問題的過程,認識方程模型的重要性,并總結運用方程解實際問題的重要性.2.通過列方程解應用題,進一步提高邏輯思維能力和分析問題,解決問題的能力.【知能互動】1.列一元二次方程解應用題的特點一元二次方程的應用是一元一次方程應用的繼續(xù)和發(fā)展,能用一元一次方程解的應用題,一般可用算術方程解.而用一元二次方程解的應用題,一般不能用算術方法求解.由于一元二次方程的次數(shù)為二次,所以其應用相當廣泛,其中面積問題,兩次增長的平均增率和儲蓄問題,經營問題,數(shù)字問題中涉及到積的一些問題,都是代表類型.(1)數(shù)字問題:要能正確地表示諸如多位數(shù),奇偶數(shù),連續(xù)整數(shù)的形式.如:一個三位數(shù)abc可表示為 連續(xù)兩個偶數(shù)可表示為 連續(xù)兩個整數(shù)可表示為 這類問題常常間接設未知數(shù),相等關系由題目的關鍵語句”譯”出.(2)平均增長率(增長率或降低常)問題在此例問題中,一般有:變化前的基數(shù)(a),增長率(x)變化的次數(shù)(n),變化后的基數(shù)(b),這四者之間的關系可用公式_ 表示.這類問題中等量關系通常由這個公式及由相關的詞語”譯”出.(3)經營問題 這也是近年來中考中出現(xiàn)頻率高的應用問題.在這類問題中有進價(a)售價(b)利潤(p)件數(shù)(n)等相關的量.這些量之間的關系可用公式 表示,同時件數(shù)(n)又經常與售價(b)關聯(lián),在解答此類問題時,一定要準確地找到反映它們關系的代數(shù)式.(4)其它問題 在近年的中考中,常常出現(xiàn)一些貼進生活,生產的實際問題,如:規(guī)劃、方案設計、測量統(tǒng)計、幾何應用,與物理及其它學科之間的滲透的問題等.解答這些問題時,等量關系一般從已知公式或題目中的關鍵詞句”譯”出.2.列一元二次方程解應用題的一般步驟和列一元一次方程解應用題一樣,列一元二次方程解應用題的步驟可歸納為”審,設,列,解,答”.(1)審:認真審題,分析題意,弄清已知和未知,尋找相等關系;(2)設:就是設未知數(shù),分直接設未知數(shù)和間接設未知數(shù),所謂直接設未知數(shù)就是問什么設什么,反之就是間接設未知數(shù).到底選擇何種方式設未知數(shù),要以有利于列出方程為準則.(3)列:就是根據(jù)題目中的已知量與未知量之間的相等關系列出方程.列一元二次方程解應用題時,一般會產生兩個解,必須檢驗每個解是否符合題意,正確取舍.(4)解:就是求出所列方程的解.(5)答:就是書寫答案,在答之前應對解得的方程的解進行檢驗,舍去不符合實際意義的解.【名題探究】例1.已知一直角三角形三邊長為三個連續(xù)偶數(shù),試求這個直角三角形三邊長及面積.例2.某校去年對實驗器材的投資為2萬元,預計今明兩年的投資總額為12萬元,求該校這兩年在實驗器材投資上的平均增長率是多少?例3.如圖所示,ABC中,B=90,點P從A 點開始沿AB邊向點B以2厘米/秒的速度移動,點Q從B點開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動.(1)如果P,Q分別從A,B同時出發(fā),經幾秒鐘,使PDQ的面積等于8厘米2?(2)如果P,Q,分別從A,B同時出發(fā),并且P到B點又繼續(xù)在BC邊上前進,Q點到達C點后又繼續(xù)在CA邊上前進,經過幾秒鐘,使PCQ的面積等于12.6厘米2?例4.某兒童玩具商店將進貨價為30元的一種玩具以40元售出,平均每月能售出600個.調查表明:這種玩具售價每上漲1元,其銷售量將減少10個,為了實現(xiàn)平均每月12000元的銷售利潤,這種玩具的售價應定為多少?這時進這種玩具多少個?例5 某農戶1988年承包荒山若干畝,投資7800元改造后種果樹2000棵,其成活率為90%,在2001年夏季全部結果時,隨意摘下10棵果樹的水果,稱得重量如下(單位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8(1)根據(jù)樣本平均數(shù)估計該農戶2001年水果的總產量是多少?(2)此水果在市場出售每千克售1.3元,在果園每千克售1.1元,該農戶用農用車將水果拉到市場出售,平均每天出售1000千克,需8人幫助,每人每天付工資25元,若兩種出售方式都在相同的時間內售完全部水果,選擇哪 種出售方式合理?為什么?(3)該農戶加強果園管理,力爭到2003年三年合計純收入達57000元,求2002年,2003年平均每年增長率是多少?【達標訓練】一、選擇：1.某商品兩次價格下調后,單價從5元變?yōu)?.05元,則平均每次調價的百分率為( )A.9% B.10% C.11% D.12%2.容器里裝滿純酒精,倒出一半后用水加滿,再倒出,再用水加滿,此時容器內酒精濃度為( )A.15% B.12.5% C.37.5% D.25%3.某超市一月份的營業(yè)額為200萬元,一,二,三月份的營業(yè)額為1000萬元,設平均每月的營業(yè)額為增長率為x,則由題意列方程為( )A.200+2002x=1000 B.200(1+x)2=1000 C.200+2003x=1000 D.2001+(1+x)+(1+x)2=10004.從正方形的鐵片上,截去5cm寬的一個長方形鐵皮,余下的面積為84cm2,則原來正方形面積最大可能為( )cm2.A.84 B.109 C.144 D.4205.一個數(shù)字和為10的兩位數(shù),把個位與十位數(shù)字對調下得到一個兩位數(shù),這兩個數(shù)之積是2296,則這個兩位數(shù)為( )A.28 B.82 C.28或82 D.不確定6.元旦期間,一個小組有若干人,新年互送賀卡一張,已知全組共送賀卡132張,則這個小組共有( )人.A.11 B.12 C.13 D.147.北京市政府為迎接2008年奧運會,決定改善城市面貌,綠化環(huán)境,計劃經過兩年時間,綠地面積增加44%,則這兩年平均每年綠地面積的增長率是( )A.19% B.20% C.21% D.25%二、填空：8.兩個連續(xù)奇數(shù)的平方和為202,則這兩個奇數(shù)是_.9.直角三角形的面積為6,兩直角邊的和為7,則斜邊長為 10.某工廠第一季度平均每月增產10%,一月份產值a元,那么三月份產值為 三、解答題:11.一塊耕地大小尺寸如圖所示,要在這塊耕地上沿東西和南北方向分別挖二條和四條水渠,如果水渠的寬相等,而且要保證余下的可耕地面積為9600平方米,那么水渠應挖多寬?12.某網絡公司2000年各項經營收入中,經營電腦配件收入600萬元,占全部經營總收入的40%,該公司預計2002年經營總收入達到2160萬元,且計劃從2000到2002年每年經營總收入的年增長率相同,問2001年的預計經營總收入為多少萬元?13.用籬笆圍成一個長方形花壇,其中一面靠墻,且在與墻平行的一邊開一個2米寬的門,現(xiàn)有能圍成91米長的籬笆,墻長為50米,花壇的面積要達到1080平方米,你能設計出符合要求的方案嗎?不妨試試看.14.據(jù)2001年中國環(huán)境狀況公報,我國由水蝕和風蝕造成的水土流失面積達356萬平方公里,其中風蝕造成水土流失面積比水蝕造成的水土流失面積多26萬平方公里.(1)問水蝕,風蝕造成的水土流失面積各是多少平方公里?(2)西北某省重視水土流失問題,2001年治理了水土流失面積400平方公里,該省逐年加大治理力度,計劃今明兩年治理水土流失面積都比前一年增長 一個相同的百分數(shù),到2003年底,使這三年治理水土流失面積達到1324平方公里,求該省今明兩年治理水土流失面積每年增長的百分數(shù).15.某玩具廠生產一種玩具熊貓,每日最高產量為40只,且每日產出的產品全部售出,已知生產x只玩具熊貓的成本為R(元),售價為每只P(元),且R,P與x的關系式為R=500+30x,P=1702x,當日產量為多少時,每日獲得的利潤為1750元?16.已知直角三角形周長為,斜邊上的中線長為1,求這個直角三角形的面積.17.某公司向銀行貸款20萬元資金,約定兩年到期時一次性還本付息,利息是本金的12%,該公司利用這筆貸款經