五年級(jí)數(shù)學(xué)社團(tuán)計(jì)劃及資料.doc

五年級(jí)“數(shù)學(xué)樂園”社團(tuán)活動(dòng)計(jì)劃一、指導(dǎo)思想通過社團(tuán)活動(dòng)，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)的運(yùn)用價(jià)值，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生良好的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的個(gè)性，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，展示學(xué)生的數(shù)學(xué)才華。二、活動(dòng)目的1通過社團(tuán)活動(dòng)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2通過數(shù)學(xué)史的介紹，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)文化的積淀，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維方式。3通過專題培訓(xùn)，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、開拓學(xué)生的思路、發(fā)展學(xué)生的思維。4通過課內(nèi)與課外相結(jié)合、課本與課外讀物相結(jié)合的方式，使學(xué)生能更好地理解課本知識(shí)，提高解決實(shí)際的能力。5通過開展競賽等活動(dòng)，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的競爭力。三、活動(dòng)原則1、主體性原則：學(xué)生是活動(dòng)的主體，應(yīng)充分開放活動(dòng)空間，正確處理學(xué)生的自主探究與教師的有效指導(dǎo)間的關(guān)系。2、課內(nèi)拓展與課外延伸相結(jié)合原則：社團(tuán)活動(dòng)，是課堂教學(xué)的拓展與延伸，它將跨躍時(shí)間界限，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)感知、拓寬學(xué)生的視野、發(fā)展學(xué)生的思維。3、主題性原則：社團(tuán)活動(dòng)的主題鮮明，符合學(xué)生的生活和學(xué)習(xí)實(shí)際。4、合作性原則：根據(jù)學(xué)生差異合理分組，分工合作，共同參與，共同成長。四、活動(dòng)安排本學(xué)期的社團(tuán)活動(dòng)內(nèi)容具體安排如下：活動(dòng)一： 開團(tuán)活動(dòng)動(dòng)員，數(shù)學(xué)故事愛國勤學(xué)的陳景潤?；顒?dòng)二： 數(shù)學(xué)故事聰明的高斯，速算法介紹。活動(dòng)三： 數(shù)學(xué)故事歐拉的故事，介紹幾何圖形中的相關(guān)知識(shí)。活動(dòng)四： 數(shù)學(xué)故事阿基米德的故事，介紹幾何圖形中的相關(guān)知識(shí)。活動(dòng)五： 口算比賽?；顒?dòng)六： 數(shù)學(xué)報(bào)讀報(bào)輔導(dǎo)?；顒?dòng)七： 數(shù)學(xué)故事韓信分油，介紹等量變換?；顒?dòng)八： 課本思考題解題經(jīng)驗(yàn)交流?；顒?dòng)九： 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法介紹。活動(dòng)十： 制作數(shù)學(xué)手抄報(bào)。活動(dòng)十一：如何撰寫數(shù)學(xué)小論文?；顒?dòng)十二：數(shù)學(xué)思想方法介紹畫圖法?；顒?dòng)十三：數(shù)學(xué)思想方法介紹假設(shè)法。活動(dòng)十四：數(shù)學(xué)思想方法介紹替換法。活動(dòng)十五：數(shù)學(xué)思想方法介紹枚舉法?；顒?dòng)十六：社團(tuán)活動(dòng)總結(jié)、表彰先進(jìn)。附：活動(dòng)資料：資料一：心系祖國、勤儉節(jié)約的數(shù)學(xué)家陳景潤陳景潤是國際知名的大數(shù)學(xué)家，深受人們的敬重。但他并沒有產(chǎn)生驕傲自滿情緒，而是把功勞都?xì)w于祖國和人民。為了維護(hù)祖國的利益，他不惜犧牲個(gè)人的名利。1977年的一天，陳景潤收到一封國外來信，是國際數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)主席寫給他的，邀請他出席國際數(shù)學(xué)家大會(huì)。這次大會(huì)有3000人參加，參加的都是世界上著名的數(shù)學(xué)家。大會(huì)共指定了10位數(shù)學(xué)家作學(xué)術(shù)報(bào)告，陳景潤就是其中之一。這對(duì)一位數(shù)學(xué)家而言，是極大的榮譽(yù)，對(duì)提高陳景潤在國際上的知名度大有好處。陳景潤沒有擅作主張，而是立即向研究所黨支部作了匯報(bào)，請求黨的指示。黨支部把這一情況又上報(bào)到科學(xué)院。科學(xué)院的黨組織對(duì)這個(gè)問題比較慎重，因?yàn)楫?dāng)時(shí)中國在國際數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)的席位，一直被臺(tái)灣占據(jù)著。院領(lǐng)導(dǎo)回答道：“你是數(shù)學(xué)家，黨組織尊重你個(gè)人的意見，你可以自己給他回信?！标惥皾櫧?jīng)過慎重考慮，最后決定放棄這次難得的機(jī)會(huì)。他在答復(fù)國際數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)主席的信中寫到：“第一，我們國家歷來是重視跟世界各國發(fā)展學(xué)術(shù)交流與友好關(guān)系的，我個(gè)人非常感謝國際數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)主席的邀請。第二，世界上只有一個(gè)中國，唯一能代表中國廣大人民利益的是中華人民共和國，臺(tái)灣是中華人民共和國不可分割的一部分。因?yàn)槟壳芭_(tái)灣占據(jù)著國際數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)我國的席位，所以我不能出席。第三，如果中國只有一個(gè)代表的話，我是可以考慮參加這次會(huì)議的?！睘榱司S護(hù)祖國母親的尊嚴(yán)，陳景潤犧牲了個(gè)人的利益。1979年，陳景潤應(yīng)美國普林斯頓高級(jí)研究所的邀請，去美國作短期的研究訪問工作。普林斯頓研究所的條件非常好，陳景潤為了充分利用這樣好的條件，擠出一切可以節(jié)省的時(shí)間，拼命工作，連中午飯也不回住處去吃。有時(shí)候外出參加會(huì)議，旅館里比較嘈雜，他便躲進(jìn)衛(wèi)生間里，繼續(xù)進(jìn)行研究工作。正因?yàn)樗目炭嗯?，在美國短短的五個(gè)月里，除了開會(huì)、講學(xué)之外，他完成了論文算術(shù)級(jí)數(shù)中的最小素?cái)?shù)，一下子把最小素?cái)?shù)從原來的80推進(jìn)到16。這一研究成果，也是當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的。在美國這樣物質(zhì)比較發(fā)達(dá)的國度，陳景潤依舊保持著在國內(nèi)時(shí)的節(jié)儉作風(fēng)。他每個(gè)月從研究所可獲得2000美金的報(bào)酬，可以說是比較豐厚的了。每天中午，他從不去研究所的餐廳就餐，那里比較講究，他完全可以享受一下的，但他都是吃自己帶去的干糧和水果。他是如此的節(jié)儉，以至于在美國生活五個(gè)月，除去房租、水電花去1800美元外，伙食費(fèi)等僅花了700美元。等他回時(shí)， 共節(jié)余了7500美元。這筆錢在當(dāng)時(shí)不是個(gè)小數(shù)目，他完全可以像其他人一樣，從國外買回些高檔家電。但他把這筆錢全部上交給國家。他是怎么想的呢? 用他自己的話說：“我們的國家還不富裕，我不能只想著自己享樂?！标惥皾櫨褪沁@樣一個(gè)非常謙虛、正直的人，盡管他已功成名就，然而他沒有驕傲自滿，他說：“在科學(xué)的道路上我只是翻過了一個(gè)小山包，真正的高峰還沒有有攀上去，還要繼續(xù)努力?！辟Y料二：無畏的數(shù)學(xué)探索者高斯1796年的一天，德國哥廷根大學(xué)，一個(gè)19歲的青年吃完晚飯，開始做導(dǎo)師單獨(dú)布置給他的每天例行的數(shù)學(xué)題。正常情況下，青年總是在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)完成這項(xiàng)特殊作業(yè)。 像往常一樣，前兩道題目在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)順利地完成了。第三道題寫在一張小紙條上，是要求只用圓規(guī)和一把沒有刻度的直尺做出正17邊形。青年沒有在意，像做前兩道題一樣開始做起來。然而，做著做著，青年感到越來越吃力。 困難激起了青年的斗志：我一定要把它做出來！他拿起圓規(guī)和直尺，在紙上畫著，嘗試著用一些超常規(guī)的思路去解這道題。當(dāng)窗口露出一絲曙光時(shí)，青年長舒了一口氣，他終于做出了這道難題。 作業(yè)交給導(dǎo)師后，導(dǎo)師當(dāng)即驚呆了。他用顫抖的聲音對(duì)青年說：“這真是你自己做出來的？你知不知道，你解開了一道有兩千多年歷史的數(shù)學(xué)懸案？阿基米德沒有解出來，牛頓也沒有解出來，你竟然一個(gè)晚上就解出來了！你真是天才！我最近正在研究這道難題，昨天給你布置題目時(shí)，不小心把寫有這個(gè)題目的小紙條夾在了給你的題目里?！?多年以后，這個(gè)青年回憶起這一幕時(shí)，總是說：“如果有人告訴我，這是一道有兩千多年歷史的數(shù)學(xué)難題，我不可能在一個(gè)晚上解決它?！?這個(gè)青年就是數(shù)學(xué)王子高斯。 資料三：勤學(xué)善問的歐拉歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家，不過，這個(gè)大數(shù)學(xué)家在孩提時(shí)代卻一點(diǎn)也不討老師的喜歡，他是一個(gè)被學(xué)校除了名的小學(xué)生。 事情是因?yàn)樾切嵌鸬摹?當(dāng)時(shí)，小歐拉在一個(gè)教會(huì)學(xué)校里讀書。有一次，他向老師提問，天上有多少顆星星。老師是個(gè)神學(xué)的信徒，他不知道天上究竟有多少顆星，圣經(jīng)上也沒有回答過。其實(shí)，天上的星星數(shù)不清，是無限的。我們的肉眼可見的星星也有幾千顆。這個(gè)老師不懂裝懂，回答歐拉說：“天有有多少顆星星，這無關(guān)緊要，只要知道天上的星星是上帝鑲嵌上去的就夠了?！睔W拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上沒有扶梯，上帝是怎么把星星一顆一顆鑲嵌到一在天幕上的呢？上帝親自把它們一顆一顆地放在天幕，他為什么忘記了星星的數(shù)目呢？上帝會(huì)不會(huì)太粗心了呢？ 他向老師提出了心中的疑問，老師又一次被問住了，漲紅了臉，不知如何回答才好。老師的心中頓時(shí)升起一股怒氣，這不僅是因?yàn)橐粋€(gè)才上學(xué)的孩子向老師問出了這樣的問題，使老師下不了臺(tái)，更主要的是，老師把上帝看得高于一切。小歐拉居然責(zé)怪上帝為什么沒有記住星星的數(shù)目，言外之意是對(duì)萬能的上帝提出了懷疑。在老師的心目中，這可是個(gè)嚴(yán)重的問題。 在歐拉的年代，對(duì)上帝是絕對(duì)不能懷疑的，人們只能做思想的奴隸，絕對(duì)不允許自由思考。小歐拉沒有與教會(huì)、與上帝“保持一致”，老師就讓他離開學(xué)校回家。但是，在小歐拉心中，上帝神圣的光環(huán)消失了。他想，上帝是個(gè)窩囊廢，他怎么連天上的星星也記不?。克窒?，上帝是個(gè)獨(dú)裁者，連提出問題都成了罪。他又想，上帝也許是個(gè)別人編造出來的家伙，根本就不存在。 回家后無事，他就幫助爸爸放羊，成了一個(gè)牧童。他一面放羊，一面讀書。他讀的書中，有不少數(shù)學(xué)書。在幫爸爸放羊的過程中，歐拉用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決了他爸爸有時(shí)都無法解決的問題，他爸爸感到，讓這么聰明的孩子放羊?qū)嵲谑羌翱上Я恕：髞恚朕k法讓小歐拉認(rèn)識(shí)了一個(gè)大數(shù)學(xué)家伯努利。通過這位數(shù)學(xué)家的推薦，1720年，小歐拉成了巴塞爾大學(xué)的大學(xué)生。這一年，小歐拉13歲，是這所大學(xué)最年輕的大學(xué)生。資料四：阿基米德的故事阿基米德的父親是一位天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他從小受到良好的教育，特別喜愛數(shù)學(xué)。有一次，國王請他去測定金匠剛剛為其做好的王冠是純金的還是摻有銀子的混合物，并且告誡他不得毀壞王冠。起初，阿基米德茫然不知所措。有一天，他在洗澡的時(shí)候仍然在思考這樣的問題。當(dāng)他泡在一滿盆洗澡水里時(shí)，水從洗澡盆里溢了出來，他猛然省悟：溢出水量的體積等于他身體浸入水中的那部分體積，那么，如果把王冠浸入水中 ，根據(jù)水面上升的情況算出王冠的體積與等重量金子的體積相等，就說明王冠是純金的；假如摻有銀子的話，王冠的體積就會(huì)大一些。他興奮地從浴盆中躍出，全身赤條條地奔向皇宮，大喊著：我找到了！找到了！他為此而發(fā)明了浮力原理。除此之外，他還發(fā)現(xiàn)了著名的杠桿原理。伴隨著這一發(fā)明，還產(chǎn)生了一句眾所周知的名言：只要給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬動(dòng)地球。 在阿基米德的老年歲月里，他的祖國與羅馬發(fā)生戰(zhàn)爭，當(dāng)他住的城市遭劫掠時(shí)，阿基米德還專心地研究他在沙地上畫的幾何圖形，羅馬士兵沖進(jìn)了他的房屋，阿基米德鎮(zhèn)靜地說：“別動(dòng)我的沙盤?！眱礆埖牧_馬士兵刺倒了這位75歲的老人，偉大的科學(xué)家撲倒在鮮血染紅了的幾何圖形上 阿基米德死后，人們整理出版了阿基米德遺著全集，以永遠(yuǎn)緬懷這位科學(xué)巨匠的偉大業(yè)績。資料五：韓信分油韓信是中國古代一位有名的大元帥，輔助劉邦打敗楚霸王項(xiàng)羽，奠定了漢朝的基業(yè)。民間流傳著一些以韓信為主角的有關(guān)聰明人的故事，下面就是其中的一個(gè)。據(jù)說有一天，韓信騎馬走在路上，看見兩個(gè)人正在路邊為分油發(fā)愁。這兩個(gè)人有一只容量10斤（1斤=500千克）的簍子，里面裝滿了油；還有一只空的罐和一只空的葫蘆，罐可裝7斤油，葫蘆可裝3斤油。要把這10斤油平分，每人5斤。但是誰也沒有帶秤，只能拿手頭的三個(gè)容器倒來倒去。應(yīng)該怎樣分呢？韓信騎在馬上，了解情況以后，說：“葫蘆歸罐罐歸簍，二人分油回家走?！闭f完了，打馬就走。兩個(gè)人按照韓信的辦法倒來倒去，果然把油平均分成兩半，每人5斤，高高興興，各自回家。究竟是怎樣倒來倒去的呢？三種容器各自裝油斤數(shù)的變化過程，可從下面的表中看出。韓信所說的“葫蘆歸罐”，是指把葫蘆里的油往罐里倒；“罐歸簍”是指把罐里的油往簍里倒。通常分油要把油從大容器往小容器里倒，現(xiàn)在卻把小容器里的油往大容器里“歸”。往油葫蘆里倒油，只能得到3斤的油量；把葫蘆里的油往罐里“歸”，“歸”到第三次，葫蘆里就出現(xiàn)2斤的油量。再把滿滿一罐油“歸”到簍里，騰出空來，把葫蘆里的2斤油“歸”到空罐里；最后再倒一葫蘆3斤油，“歸”到罐里，就完成分油任務(wù)了。資料六：有趣的悖論 會(huì)場上人聲鼎沸，笑聲轟鳴。主持者振臂高呼：“都不要講話！”懊，他忘掉了自己也在講。 新刷的黑板上醒目地寫著四個(gè)大宇：“不準(zhǔn)涂畫。”咳，那這四個(gè)字又是什么呢？ 類似的事例，在日常生活中并不少見。細(xì)細(xì)思量一番，就會(huì)覺得其中有些自相矛盾。會(huì)場主持人不要大家講話，自己卻在大聲講。新黑板上的留言，顯然是告誡人們不要在黑板上亂涂，但好心的留言人自己卻違背了這一告誡，在黑板上留下了四個(gè)顯赫大字。 又如，在某個(gè)古老國家的一個(gè)偏僻小村莊里，只有一位男性理發(fā)師，這位理發(fā)師只給本村自己不刮胡子的男子刮胡子；而該村還有一條不成文的規(guī)定，即每一位自己不刮胡子的男子，都必須由這位理發(fā)師來刮胡子。請問：理發(fā)師本人的胡子該由誰來刮？或者說，理發(fā)師能給自己刮胡子嗎？ 假定理發(fā)師的胡子可以由自己刮，那么，因?yàn)樗爸唤o自己不刮胡子的男子刮胡子”，所以，他便不能給自己刮胡子。如果假定理發(fā)師不能給自己刮胡子，那么，因?yàn)樾〈迩f里“每一位自己不刮胡子的男子，都必須由理發(fā)師刮胡子”，所以，他就必須給自己刮胡子。這樣，無論怎樣的假設(shè)，都將出現(xiàn)矛盾。以上三例這樣自相矛盾的奇談怪論被稱為“悖論”。一門學(xué)科如果出現(xiàn)悖論，表明該學(xué)科的基礎(chǔ)還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，這時(shí)它就會(huì)給學(xué)術(shù)界以危機(jī)感并吹響“攻堅(jiān)”的沖鋒號(hào)。資料七：數(shù)學(xué)史上的一起“冤案”人類很早就掌握了一元二次方程的解法，但是對(duì)一元三次方程的研究，則是進(jìn)展緩慢。古代中國、希臘和印度等地的數(shù)學(xué)家，都曾努力研究過一元三次方程，但是他們所發(fā)明的幾種解法，都僅僅能夠解決特殊形式的三次方程，對(duì)一般形式的三次方程就不適用了。在十六世紀(jì)的歐洲，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多數(shù)學(xué)文獻(xiàn)上，把三次方程的求根公式稱為“卡爾丹諾公式”，這顯然是為了紀(jì)念世界上第一位發(fā)表一元三次方程求根公式的意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹諾。那么，一元三次方程的通式解，是不是卡爾丹諾首先發(fā)現(xiàn)的呢？歷史事實(shí)并不是這樣。數(shù)學(xué)史上最早發(fā)現(xiàn)一元三次方程通式解的人，是十六世紀(jì)意大利的另一位數(shù)學(xué)家尼柯洛馮塔納（NiccoloFontana）。馮塔納出身貧寒，少年喪父，家中也沒有條件供他念書，但是他通過艱苦的努力，終于自學(xué)成才，成為十六世紀(jì)意大利最有成就的學(xué)者之一。由于馮塔納患有“口吃”癥，所以當(dāng)時(shí)的人們昵稱他為“塔爾塔里亞”（Tartaglia），也就是意大利語中“結(jié)巴”的意思。后來的很多數(shù)學(xué)書中，都直接用“塔爾塔里亞”來稱呼馮塔納。經(jīng)過多年的探索和研究，馮塔納利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。這個(gè)成就，使他在幾次公開的數(shù)學(xué)較量中大獲全勝，從此名揚(yáng)歐洲。但是馮塔納不愿意將他的這個(gè)重要發(fā)現(xiàn)公之于世。當(dāng)時(shí)的另一位意大利數(shù)學(xué)家兼醫(yī)生卡爾丹諾，對(duì)馮塔納的發(fā)現(xiàn)非常感興趣。他幾次誠懇地登門請教，希望獲得馮塔納的求根公式。可是馮塔納始終守口如瓶，滴水不漏。雖然卡爾丹諾屢次受挫，但他極為執(zhí)著，軟磨硬泡地向馮塔納“挖秘訣”。后來，馮塔納終于用一種隱晦得如同咒語般的語言，把三次方程的解法“透露”給了卡爾丹諾。馮塔納認(rèn)為卡爾丹諾很難破解他的“咒語”，可是卡爾丹諾的悟性太棒了，他通過解三次方程的對(duì)比實(shí)踐，很快就徹底破譯了馮塔納的秘密?？柕ぶZ把馮塔納的三次方程求根公式，寫進(jìn)了自己的學(xué)術(shù)著作大法中，但并未提到馮塔納的名字。隨著大法在歐洲的出版發(fā)行，人們才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一個(gè)發(fā)表三次方程求根公式的人確實(shí)是卡爾丹諾，因此后人就把這種求解方法稱為“卡爾丹諾公式”。卡爾丹諾剽竊他人的學(xué)術(shù)成果，并且據(jù)為已有，這一行為在人類數(shù)學(xué)史上留下了不甚光彩的一頁。這個(gè)結(jié)果，對(duì)于付出艱辛勞動(dòng)的馮塔納當(dāng)然是不公平的。但是，馮塔納堅(jiān)持不公開他的研究成果，也不能算是正確的做法，起碼對(duì)于人類科學(xué)發(fā)展而言，是一種不負(fù)責(zé)任的態(tài)度。資料八：神算少年楊輝在南宋度宗年間，古城錢塘（今杭州）有一位少年，聰明好學(xué)，尤其喜愛數(shù)學(xué)。但由于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)書籍很少，這個(gè)少年只能零碎地收集一些民間流傳著的算題，反復(fù)研究，從中增長知識(shí)。 一天，這個(gè)少年無意中聽說100多里的郊外有位老秀才，不僅精通算學(xué)，而且還珍藏了許多九章算術(shù)、孫子算經(jīng)等古代數(shù)學(xué)名著，非常高興，急忙趕去。 老秀才問明來意后，望了望這位少年，不屑地說：小子不去讀圣書，要學(xué)什么算學(xué)？！但少年仍苦苦哀求，不肯走。老秀才無奈，心想，我先出一道題讓他回去做，他做不出來，也就不會(huì)再來煩我了。于是說：好吧，聽著！直田積八百六十四步，只云闊不及長十二步，問長闊共幾何？（用現(xiàn)在的話來說就是：長方形面積等于864平方步，已知它的寬比長少12步，問長和寬的和是多少步？）你回去慢慢算吧，什么時(shí)候算出來，什么時(shí)候再來.說完便往椅子上一靠，閉目養(yǎng)起神來，心里卻暗暗發(fā)笑：小子一定犯難了，這道題老朽才剛剛理出點(diǎn)頭緒，即使他懂得算學(xué)，那一年半載也是算不出來的。誰料，正當(dāng)老秀才閉目思量時(shí)，少年說話了：老先生，學(xué)生算出來了，長闊共60步。什么？！老秀才一聽，驚奇地從椅子上跳起來，一把奪過少年演算出來的草稿紙瞪大了眼睛看起來：啊，這小子是從哪里學(xué)來的？居然用這么簡單的方法就算出來了。妙哉！老朽不如。老秀才轉(zhuǎn)過臉來，對(duì)少年夸獎(jiǎng)道：神算，神算，怠慢了，請問高姓大名？學(xué)生楊輝，字謙光。少年恭敬地回答。 后來的事，同學(xué)們都能想象出來了，在老秀才的指導(dǎo)下，楊輝通讀了許多古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)得到全面、系統(tǒng)地發(fā)展。經(jīng)過不懈的努力，楊輝終于成了我國古代杰出的數(shù)學(xué)家，并享有數(shù)學(xué)宋元第三杰之譽(yù)。資料九：五年級(jí)上學(xué)期口算競賽試題 姓名 成績_0.70.3= 0.650.25= 2.251.75= 1.637= 3.61.8=20.51.5= 3.62.8= 3.81.4= 16.37= 130.25=10.04= 0.391.5= 40.05= 7.11.7= 9.22=104.3= 0.40.5= 0.640.52= 3.86.2= 1.23.6=100.1= 0.455.5= 0.620.38= 480140= 10.35=6.70.03= 8.64= 0.40.19= 4.50.55= 5018= 7.290= 24.88= 0.2320= 5.60.8= 87.5=9.810= 0.248= 0.240.08= 40.5= 0.050.4=2.587.42= 0.641.5= 0.12516= 2.057.95= 3.2103=4599= 0.250.16= 0.250.34= 92.37= 5.60.7= 0.362.37= 3.54= 92.04= 4.4101= 50.05=0.010.1= 0.50.55= 0.362.37= 82.52= 5.32.8=0.30.3= 106.47= 1794998= 0.641.5= 45090= 25080= 7515= 700380= 600320=968= 3636= 99101= 36090= 156=185= 445= 245= 912= 553=24080= 57030= 1353= 1863= 36024=20045= 9099= 1523= 4799= 45201=252158=（ ）萬（ ）萬 196158=（ ）萬（ ）萬144310=（ ）萬（ ）萬 892158=（ ）萬（ ）萬107448=（ ）萬（ ）萬 995158=（ ）萬（ ）萬17.68.22.8= 9.55（4.552.8）= 7.80.254= 17.352.83.27.35= 8.080.87.2=4.30.980.7= 3.61.986.02= 7.54.96.5= 8.45（4.452.9）= 2.711.67.298.4= 8.274.90.1= 10.44（4.455.44）= 15.26.215.25.2=5.26.285.23.72= 1.71.799= 125 6.20.8= 5.51.45.52.6= 1.7998.399= 7.3432.743= 1.8（205）= 17.68.22.8=990.340.34= 0.250.125408= （2.50.25）0.4= 1.62.81.62.2= 0.5280.522= 125 6.20.80= 4.321.56 0.44= 45585955415=18.630.430.57= 3.1993.19= 42.742.799=資料十： 替換法例1 一只雞有一個(gè)頭2只腳，一只兔有一個(gè)頭4只腳如果一個(gè)籠子里關(guān)著的雞和兔共有10個(gè)頭和26只腳，你知道籠子里有幾只雞、有幾只兔嗎？解：這是古代的民間趣題，叫“雞兔同籠”問題見圖151（1）、（2）、（3）先畫10個(gè)頭：每個(gè)頭下畫上兩條腿：數(shù)一數(shù)，共有20條腿，比題中給出的腿數(shù)少26-20=6條腿給一些雞添上兩條腿，叫它變成兔邊添腿邊數(shù)，湊夠26條腿每把一只雞添上兩條腿，它就變成了兔，顯然添6條腿就變出來3只兔這樣就得出答案，籠中有3只兔和7只雞例2 一輛自行車有2個(gè)輪子，一輛三輪車有3個(gè)輪子車棚里放著自行車和三輪車共10輛，數(shù)數(shù)車輪共有26個(gè)問自行車幾輛，三輪車幾輛？解：發(fā)揮想像力和創(chuàng)造力，你可以畫一個(gè)簡圖代表車身，見圖152（1）、（2）、（3）先畫10個(gè)車身：在每個(gè)車身下配上兩個(gè)輪子，它就成了自行車：數(shù)一數(shù)共20個(gè)車輪，比題中給出的輪子數(shù)少26-20=6個(gè)輪子，在自行車下面添輪子，每添一個(gè)輪子，這個(gè)自行車就成了三輪車邊添邊湊數(shù)，湊出26個(gè)輪子出來最后數(shù)一數(shù)，共有6輛三輪車，4輛自行車注意，用這種畫圖湊數(shù)法解題，很直觀，也比較快，為了使解題速度更快，可以把三個(gè)步驟合起來，就能得出答案例3 一只蛐蛐6條腿，一只蜘蛛8條腿現(xiàn)有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68條腿問蛐蛐幾只，蜘蛛幾只？解：此題要想個(gè)更簡單的辦法，見圖153（1）、（2）先畫10個(gè)頭，在每個(gè)頭下寫上數(shù)字“ 6”，代表6只腿，即先假設(shè)10只都是蛐蛐，則如：數(shù)一數(shù)，算一算，610=60，即共有60條腿，比題中給出的腿數(shù)少68-60=8條腿，所以就要在下面再添腿，每在一個(gè)頭下添2條腿（寫個(gè)“ 2”），它就變成了一只蜘蛛，共添上8條腿，就使總腿數(shù)湊夠68條腿了最后數(shù)一數(shù)，共有4只蜘蛛，6只蛐蛐解這道題時(shí)，我們用數(shù)字代表腿數(shù)，使我們省去了畫“腿”的麻煩其實(shí)，也可以完全省去畫圖，我們只要把解題想法和算式摘出來就行了！第一步，先把10只全部看成是蛐蛐，那么一共就有：610=60條腿第二步，算一算少了多少條腿？少了68-60=8條腿第三步，把一個(gè)蛐蛐給它添上2條腿，使它變成了蜘蛛，可以變成幾只蜘蛛呢？82=4只（蜘蛛），第四步，再算出蛐蛐的只數(shù)出來：10-4=6只（蛐蛐）這樣一來，我們就不必借助于畫圖的直觀形象，也可以解這類題目了如果能這樣，我們的思維能力就又提高一步了！特別重要的是，我們這樣就可以不用“湊數(shù)”的嘗試方法了例4 籠中有兔又有雞，數(shù)數(shù)腿36，數(shù)數(shù)腦袋11，問幾只兔子幾只雞？解：方法 1：先用畫圖湊數(shù)法解，見圖 154（1）、（2）、（3）先畫11個(gè)頭：再在頭下填腿：數(shù)一數(shù)，共有211=22條腿還少36-22=14條腿，每添2條腿，就使一只雞變成兔數(shù)一數(shù)，共變出了7只兔：142=7最后數(shù)一數(shù)，籠中共有7只兔，4只雞方法2：把11只全部看成雞，共有211=22條腿比題中給出的腿數(shù)少了36-22=14條腿給一只雞添2條腿使它變成一只兔，共變成：142=7只（兔）再算出雞數(shù)為：11-7=4只（雞）例5 今有五分的和一角的兩種汽車票，共10張，總錢數(shù)是七角五分問每種各幾張？解：方法1：分步列式法：若10張全是5分的，錢數(shù)應(yīng)為：510=50分，即5角比題中給的錢數(shù)少：75-50=25分每給一張5分車票加5分，它就變成了1張1角車票了，共變出：255=5張（1角車票）5分車票有10-5=5張（5分車票）方法2：用畫圖湊數(shù)法見圖155（1）、（2）先都畫成5分的：算一算共510=50分（即5角）比題中給的錢數(shù)少75分-50=25分給有些5分車票加錢，使它變成1角的，湊出總錢數(shù)與題目相符合最后數(shù)一數(shù)，可知1角的車票5張，5分的車票5張資料十一：假設(shè)法在雞兔同籠問題中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何運(yùn)用假設(shè)法來解題，下面我們進(jìn)一步探討用假設(shè)法解答的其他問題。例1：水果店賣出83千克蘋果和65千克梨，一共賣得582.6元，每千克蘋果的售價(jià)比每千克梨貴0.6元。每千克蘋果和每千克梨的售價(jià)各是多少元？解：假設(shè)每千克蘋果的售價(jià)降低0.6元，這樣賣得的錢就減少0.683=49.8（元），這時(shí)蘋果和梨售價(jià)相同，即賣出的蘋果和梨一共8365=148（千克），共售得582.649.8=532.8（元），每千克的售價(jià)是532.8148=3.6（元），這是每千克梨的售價(jià)。每千克蘋果的售價(jià)是3.60.6=4.2（元）。答：每千克蘋果的售價(jià)是4.2元，每千克梨的售價(jià)是3.6元。例2：第一車間和第二車間做同一種零件，第一車間每人做60個(gè)，第二車間每人做70個(gè)，一共做了8440個(gè)這種零件。已知第一車間比第二車間多28人，兩個(gè)車間一共有多少人？解：假設(shè)第一車間減少28人，這樣兩個(gè)車間的人數(shù)同樣多，第一車間減少28人，做的零件就減少2860=1680（個(gè)），兩車間一共做的零件就是84401680=6760（個(gè)）。第一車間和第二車間各1人一共可以做零件的個(gè)數(shù)是6070=130（個(gè)）。那么，第一車間和第二車間各有6760130=52（人），加上假設(shè)第一車間減少的28人，兩個(gè)車間一共有52228=132（人）。答：兩個(gè)車間一共有132人。例3：甲村與乙村間要開挖一條長580米的水渠，甲村比乙村每天可以多挖2米，于是乙村先開工5天，然后甲村再動(dòng)工與乙村一起挖，從開始到完成共用了35天，那么乙村每天挖多少米？解：在35天中，甲村共開工30天，假設(shè)甲村每天少挖2米，這樣就少挖2米，這樣就少挖230=60（米），挖的米數(shù)為58060=520（米），而甲村和乙村每天挖的米數(shù)相同，甲村和乙村開挖的天數(shù)相當(dāng)于乙村開挖3530=65（天），乙村每天挖的米數(shù)是52065=8（米）。答：乙村每天挖8米。例4：小李和小張做同一種零件，小李每小時(shí)做的比小張少3個(gè)，小李做了9小時(shí)，小張做了7小時(shí)，小李做零件的總數(shù)比小張多3個(gè)。小李做了多少個(gè)零件？解：假設(shè)小李只做了7小時(shí)，一共比小張少做零件37=21（個(gè)），實(shí)際小李做了9小時(shí)，多做了97=2（小時(shí)），這2小時(shí)不僅補(bǔ)足比小張少的21個(gè)，還比小張多了3個(gè)，小李每小時(shí)做零件（213）2=12（個(gè)），一共做零件129=108（個(gè)）。答：小李做了108個(gè)零件。例5：在操場活動(dòng)的男、女生一共有48人，后來，操場上的男生人數(shù)增加一倍半，女生增加了15人，這時(shí)在操場上活動(dòng)的男、女生人數(shù)同樣多，這時(shí)在操場活動(dòng)的男、女生有多少人？解：一倍半就是1.5倍，男生人數(shù)增加1.5倍，是原來男生人數(shù)11.5=2.5倍，女生增加15人后與男生人數(shù)同樣多，就是女生增加15人后，是原來男生人數(shù)的2.5倍，假設(shè)只是女生增加15人，而男生沒有增加，這時(shí)操場上就共有4815=63（人），這個(gè)人數(shù)是原有男生人數(shù)的12.5=3.5倍，原有男生633.5=18（人），這時(shí)在操場活動(dòng)的男、女生一共有182.52=90（人）。答：這時(shí)在操場活動(dòng)的男、女生一共有90人。*例6：如右圖，從A到B，步行走粗線道ADB需要35分鐘，坐車行細(xì)線道ACDEB需要22.5分鐘，DEB車行駛的距離是D至B步行距離的3倍，ACD車行駛的距離是A至D步行距離的5倍，已知車速是步行速度的6倍，那么先從A至D步行，再從DEB坐車共需要多少分鐘？解：假設(shè)ACD車行駛的距離也是A至D步行距離的3倍，那么ACDEB車行駛的距離是ADB的3倍，這樣，車行駛用的時(shí)間是3536=17.5（分），比實(shí)際需要的22.5分鐘少了：22.517.5=5（分），這是因?yàn)锳CD車行駛的距離是A至D步行距離的5倍。所以，A至D步行的時(shí)間為5（53）6=15（分）；DEB坐車需要的時(shí)間為（3515）36=10（分）；先從A至D步行，再從DEB坐車共需要的時(shí)間是1510=25（分）。答：共需要25分鐘。應(yīng)用練習(xí)1南方果店運(yùn)進(jìn)蘋果和雪梨一共1626千克，每箱蘋果有18千克，每箱雪梨有24千克，蘋果比雪梨多11箱，運(yùn)進(jìn)的蘋果和雪梨各是多少箱？2每支水筆的價(jià)錢比每支圓珠筆貴6.9元，陳老師買了6支水筆和30支圓珠筆，買水筆付的錢比圓珠筆少1.8元，每支水筆和每支圓珠筆的價(jià)錢各是多少元？3甲數(shù)與乙數(shù)的和是73，甲數(shù)的4倍與乙數(shù)的6倍的和是388，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？4運(yùn)輸隊(duì)要運(yùn)2000件玻璃器皿，按合同規(guī)定，完好無損運(yùn)到的每件付運(yùn)輸費(fèi)1.2元，如有損壞，每件沒有運(yùn)輸費(fèi)外，還要賠償6.7元，最后運(yùn)輸隊(duì)得到2005元，運(yùn)輸中損壞了多少件玻璃器皿？5蓄水池能貯水28噸，它裝有甲、乙兩條注水管，甲管每小時(shí)比乙管多注水0.9噸，當(dāng)水池沒有水時(shí)，兩管同時(shí)打開5小時(shí)后關(guān)上乙管，再過3小時(shí)注滿水池。甲管每小時(shí)注水多少噸？6甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，約定每中一發(fā)記8分，脫靶一發(fā)扣3分，兩人各打了10發(fā)，共得116分，其中甲比乙多22分，甲、乙各中了多少發(fā)？7某次考試共有20題。計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)是：做對(duì)第K（K是題號(hào)）題得K分，做錯(cuò)第K題倒扣K分，其中K=1、2、20，小明做了所有的題，共得100分，他最多做錯(cuò)了多少題？8某次考試有52人參加，共考5道題，每題做錯(cuò)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：課后練習(xí)1一次數(shù)學(xué)競賽共20題，規(guī)定：做對(duì)1題給5分，做錯(cuò)1題不給分外還倒扣3分，不做的題不給分。小華在這次競賽中全部題都做了，總分是84分。他做錯(cuò)了幾道題？2報(bào)刊門市部的一種畫報(bào)賣出了32本，一種期刊賣出了49本，一共售得365.4元，每本畫報(bào)的價(jià)錢比每本期刊高1.8元，每本畫報(bào)多少元？3有每張6角和每張8角的郵票共68元，其中6角的郵票比8角的郵票多20張，這兩種郵票各有多少張？4小陳和小方要做同樣多的一種零件，兩人同時(shí)開始做，3小時(shí)后，小陳做的比小方少12個(gè)，小方做8小時(shí)完成，比小陳早2小時(shí)完成任務(wù)，小陳每小時(shí)做多少個(gè)？5甲數(shù)比乙數(shù)多8，甲數(shù)的5倍與乙數(shù)的7倍一共是952，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？資料十二：用替換法解題試一試：如果 +=12 =+ ，那么= ( ) = ( )在上題中，算式+=12的未知量有2個(gè)，無法直接計(jì)算，因?yàn)?+, 我們可以把替換成與它相等的+,所以：+=+=12 =123=4 =+=4+4=8象上面這種題目，我們在算式里把其中一個(gè)未知量替換成與它相等的另一個(gè)未知量，使算式里只有一個(gè)未知量，這種方法我們就叫做替換法?！纠弧坷罾蠋熧I了2枝鋼筆和7枝圓珠筆共24元，已知2枝鋼筆的價(jià)錢等于5枝鋼筆的價(jià)錢，鋼筆和圓珠的單價(jià)各是多少元？由題可知： 2枝鋼筆 + 7枝圓珠筆 = 24元2枝鋼筆的價(jià)錢 = 5枝圓珠筆的價(jià)錢 我們可以把2枝鋼筆替換成5枝圓珠筆。那么就變成5枝圓珠筆和7枝圓珠筆共24元。 由此可求每枝圓珠筆的單價(jià)： 24（5+7）=2412=2（元）再求鋼筆的單價(jià)：方法一： 由2枝鋼筆的價(jià)錢 = 5枝圓珠筆的價(jià)錢 2枝鋼筆的價(jià)錢 = 5 2 每枝鋼筆的價(jià)錢: 522=5(元) 方法二： （24-72）2=5（元）試一試1. 小紅用70元買了2盒巧克力和4包餅干，2盒巧克力的售價(jià)剛好是3包餅干的售價(jià)。巧克力和餅干的單價(jià)各是多少？ 2. 有大米20袋，面粉50袋，共重900千克，已知10袋大米的重量和20袋面粉的重量相等，那么一袋大米重多少千克？資料十三：倒推法的妙用 在分析應(yīng)用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所敘述應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用已知條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.例1 一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？分析 這道題如果順推思考，比較麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進(jìn)行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個(gè)數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個(gè)數(shù)是多少？把一個(gè)數(shù)用來表示，根據(jù)題目已知條件可得到這樣的等式：（8）107456.如何求出中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因?yàn)?6是乘以4后得到的，而乘以4之前是56414.14是除以7后得到的，除以7之前是14798.98是加10后得到的，加10以前是98-1088.88是減8以后得到的，減8以前是88896.這樣倒推使問題得解.解：（8）107456 （8）107564答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績是96分.通過以上例題說明，用倒推法解題時(shí)要注意：從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算.列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào).例2 馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？分析 馬小虎錯(cuò)把減數(shù)個(gè)位上1看成7，使差減少716，而把十位上的7看成1，使差增加701060.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.解：111（7010）（71）57答：正確的答案是57.例3 樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？分析 倒推時(shí)以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等”入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48316（只）.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16610（只）.同理，第二棵樹上原有鳥166814（只）.第一棵樹上原落鳥16824（只），使問題得解.解：現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48316（只）第一棵樹上原有鳥只數(shù). 16824（只）第二棵樹上原有鳥只數(shù).166814（只）第三棵樹上原有鳥只數(shù).16610（只）答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.例4 籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問：籃子里原有梨多少個(gè)？分析 依題意，畫圖進(jìn)行分析. 解：列綜合算式：（11）2121222（個(gè)）答：籃子里原有梨22個(gè).例5 甲乙兩個(gè)油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時(shí)甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個(gè)桶里各賣了多少千克油？分析 解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙兩個(gè)油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克”.可以求出甲、乙兩個(gè)油桶共剩油1521416（千克）.又已知“甲、乙兩個(gè)油桶所剩油”及“這時(shí)甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙兩個(gè)油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個(gè)油桶各賣出多少千克.解：甲乙兩桶油共剩多少千克？152-1416（千克）乙桶油剩多少千克？16（31）4（千克）甲桶油剩多少千克？4312（千克）用倒推法畫圖如下：從甲桶賣出油多少千克？ 15-114（千克）從乙桶賣出油多少千克？ 15510（千克）答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.例6 菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運(yùn)進(jìn)200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？分析 解題時(shí)用倒推法進(jìn)行分析.根據(jù)題目的已知條件畫線段圖（見下圖），使數(shù)量關(guān)系清晰的