導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

精品文庫(kù)引言近年來，隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展、經(jīng)濟(jì)的不斷繁榮，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的實(shí)際問題也愈加復(fù)雜，簡(jiǎn)單的分析已經(jīng)不足以滿足企業(yè)管理者對(duì)經(jīng)濟(jì)分析的需求。因此，有必要將高等數(shù)學(xué)應(yīng)用于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)所不能解決的實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，對(duì)其進(jìn)行定量分析，這使得高等數(shù)學(xué)在解決經(jīng)濟(jì)問題中占據(jù)重要地位。而導(dǎo)數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中的重要概念，同樣也是解決經(jīng)濟(jì)問題的一個(gè)有力工具。在高等數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)通常被用于判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值、極值等。在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，導(dǎo)數(shù)可作為經(jīng)濟(jì)分析的工具，廣泛地應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)研究和企業(yè)管理之中，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)理論朝著更加精確的方向發(fā)展。本文從邊際分析，彈性分析，優(yōu)化分析三個(gè)方面論述導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析方面的應(yīng)用。1、導(dǎo)數(shù)的概念早在法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬探究極值問題時(shí)就將導(dǎo)數(shù)的思想引入了，但導(dǎo)數(shù)思想是在英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓研究力學(xué)和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨研究幾何學(xué)的過程中正式建立起來的。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作。1于是，導(dǎo)數(shù)的定義從數(shù)量關(guān)系上看，所反映的是函數(shù)的自變量的變化對(duì)相應(yīng)的函數(shù)值變化快慢影響的程度，即變化率，也被稱為瞬時(shí)變化率；對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式而言，所表達(dá)的是函數(shù)增量和自變量增量之比的極限問題。22、 經(jīng)濟(jì)分析中常用的函數(shù)由于導(dǎo)數(shù)主要應(yīng)用于探究經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中出現(xiàn)的一些函數(shù)關(guān)系問題，所以，我們必需對(duì)經(jīng)濟(jì)分析中的一些常用的函數(shù)具有一定的了解，以便更好的理解和使用它們。經(jīng)濟(jì)分析中常用的函數(shù)主要有以下四類：2.1需求函數(shù)需求函數(shù)指在特定的時(shí)間內(nèi)，各種可能的價(jià)格條件下，消費(fèi)者愿意并且能夠購(gòu)買該商品的數(shù)量。（出處？）為了使問題簡(jiǎn)單化，我們一般假設(shè)需求函數(shù)的諸多自變量中除價(jià)格外其他均為常量，則函數(shù)表示為，其中，為商品的價(jià)格，為商品的需求量。這個(gè)函數(shù)表示一種商品的需求量與價(jià)格之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，并且通過觀察可以知道商品（除某些抵擋商品、某些炫耀性商品、某些投資性商品除外）的需求量與價(jià)格成反方向變動(dòng)關(guān)系，即商品本身價(jià)格上升，需求量隨之減少，反之亦然。例1：服裝店銷售某種襯衫的件數(shù)與價(jià)格是線性關(guān)系，當(dāng)價(jià)格為100元一件時(shí)，可銷售120件，當(dāng)價(jià)格為80元時(shí)，可銷售200件，求需求函數(shù)。解:設(shè)襯衫的件數(shù)與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系為：則；解得；所以需求函數(shù)為。2.2供給函數(shù)一種商品的供給函數(shù)，是指單個(gè)生產(chǎn)者在一定時(shí)期內(nèi)在各種可能的價(jià)格下，愿意且能夠提供出售的該種商品數(shù)量。3我們通常通過將除價(jià)格外的其他因素看成常量以達(dá)到化簡(jiǎn)問題的目的。所以，供給函數(shù)可以用表示，其中，為商品的價(jià)格，為商品的供給量。可以看出，商品（除單個(gè)勞動(dòng)力商品、古董商品、某些投資性商品外）的價(jià)格與供給量之間成同方向變動(dòng)的關(guān)系。例2：已知大蒜的收購(gòu)價(jià)為每千克4元，每星期能收購(gòu)2000千克，若收購(gòu)價(jià)每千克提高0.5元，每星期可收購(gòu)2500千克，求大蒜的供給函數(shù)。解：設(shè)大蒜的線性供給函數(shù)為：則；得；所以供給函數(shù)為為：2.3成本函數(shù)產(chǎn)品成本一般情況下是用貨幣的形式來表現(xiàn)的企業(yè)生產(chǎn)和出售產(chǎn)品的所用度支出。成本函數(shù)所表示的是企業(yè)成本總額與產(chǎn)出總量之間關(guān)系的公式。產(chǎn)品成本可以分為固定成本和變動(dòng)成本兩部分，固定成本和可變成本是相對(duì)于某一個(gè)特定的過程而言的，并不是唯一確定的。固定成本是指在一定的時(shí)間內(nèi)不會(huì)隨著產(chǎn)量的變動(dòng)而多支出費(fèi)用，例如設(shè)備、廠房設(shè)施等的固定費(fèi)用和其他管理費(fèi)用等?？勺兂杀臼侵府?dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量變動(dòng)時(shí)隨之變動(dòng)的支出費(fèi)用，如電力燃燒材料、原材料支出、稅收等。一般來說，以貨幣形式計(jì)值得（總）成本是產(chǎn)量的函數(shù)，用，表示，稱該公式為（總）成本函數(shù)。當(dāng)產(chǎn)量時(shí)，對(duì)應(yīng)的成本函數(shù)值就是成品的固定成本。在短期生產(chǎn)活動(dòng)過程當(dāng)中，固定成本是不變的，所以可變成本被看成是關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)，即（總）成本函數(shù)表示為；在長(zhǎng)期生產(chǎn)過程中支出都是可變的，此時(shí)。例3：假設(shè)某廠商的短期成本函數(shù)為,分別指出該短期成本函數(shù)中的可變成本部分與固定成本部分。解：當(dāng)時(shí)，所以固定成本為44，可變成本部分為2.4收入函數(shù)在貿(mào)易活動(dòng)過程當(dāng)中，一定時(shí)期內(nèi)銷售該商品后所獲得的收入總額即為該時(shí)期內(nèi)的總收入，記為。而售出某商品所能獲得的收入的多少則取決于該商品的銷售數(shù)量和價(jià)格。所以，收入函數(shù)可以表示為，其中表示商品得銷售價(jià)格，表示商品銷售總量。例4：由于橙子的批發(fā)價(jià)格過低，農(nóng)戶決定將橙子全部運(yùn)往市場(chǎng)自行銷售，一個(gè)星期內(nèi)，以6元一斤的價(jià)格售出了全部的橙子，共計(jì)3000斤，求該農(nóng)戶這星期的收入為多少？解：（元）所以該農(nóng)戶這星期收入18000元。2.5利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)函數(shù)是指生產(chǎn)問題中的價(jià)格函數(shù)，也就是是生產(chǎn)中所獲得的純收入的數(shù)額，為收入總額與成本總額之間的差值，常用來表示，。例5：某企業(yè)生產(chǎn)銷售個(gè)單位的產(chǎn)品，總收入函數(shù)為，總成本函數(shù)，求利潤(rùn)函數(shù)、最大產(chǎn)出水平與最大利潤(rùn)。解：利潤(rùn)函數(shù)當(dāng)時(shí)有最大值（解題過程要詳細(xì)，須進(jìn)一步完善）所以利潤(rùn)函數(shù)為，最大產(chǎn)出水平為4，最大利潤(rùn)為43。3、 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)定量分析經(jīng)濟(jì)及管理領(lǐng)域中的問題已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要部分,用數(shù)學(xué)知識(shí)來解答經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的一些現(xiàn)象對(duì)很多經(jīng)營(yíng)決策起到了非常重要的作用。導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)重要概念，它是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率。4在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，也存在變化率問題，如：邊際問題、彈性問題和優(yōu)化問題。3.1邊際分析邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念，通常指經(jīng)濟(jì)變量的變化率,它的提出不僅為人們作出決策提供了一個(gè)有用的工具，而且使得數(shù)學(xué)工具能應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué),利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際變化的方法，即邊際分析法。5 早在19世紀(jì)70年代就出現(xiàn)邊際分析的身影，邊際分析主要用于研究自變量的單位增加量對(duì)因變量產(chǎn)生的影響，偏重于自變量的最后一個(gè)單位增加量與因變量之間的數(shù)量關(guān)系的考察。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的邊際函數(shù)，在點(diǎn)的值稱為在處的邊際值。3.1.1邊際成本邊際成本的定義是指每增加一單位的產(chǎn)量隨即產(chǎn)生的總成本增加量即稱為邊際成本，假設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品單位時(shí)所需要的總成本函數(shù)可導(dǎo)，則其邊際成本定義為；邊際成本是總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)，其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位（即）所增加的總成本,因此可以近似的記為。6例6：若廠商要生產(chǎn)某種商品，生產(chǎn)件數(shù)為件時(shí)的總成本函數(shù)為（百元），求產(chǎn)量為20件時(shí)的邊際成本。解：邊際成本函數(shù)為（百元/件）=160（元/件）它的經(jīng)濟(jì)意義是：在產(chǎn)量為20時(shí)的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)一個(gè)單位商品，總成本增加160元。3.1.2邊際收入邊際收入與邊際成本類似，邊際收入定義為，即邊際收入是總收入函數(shù)關(guān)于銷售量的導(dǎo)數(shù)，其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)銷售量為時(shí)，再銷售一個(gè)單位（即）所增加的總收入。6例7：某商店新進(jìn)了一種商品，當(dāng)該商品的銷售量為件時(shí)收益函數(shù)為（元），求銷售400件時(shí)的邊際收益為多少？解：邊際收入函數(shù)為（元/件）(元/件)它的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)該商品的銷售量為400時(shí)，銷售量若再增加一個(gè)單位，則收益可增加600元。3.1.3邊際利潤(rùn)邊際利潤(rùn)指的是銷售該產(chǎn)品所獲得的收入總額與相應(yīng)的可變成本之間相差的數(shù)額，能夠反映出當(dāng)該產(chǎn)品的銷售量增加或降低時(shí)企業(yè)增加或減少的收益額。與邊際成本類似，邊際利潤(rùn)定義為總利潤(rùn)函數(shù)關(guān)于銷售量的導(dǎo)數(shù)，其經(jīng)濟(jì)含義是:當(dāng)銷售量為時(shí)，再銷售一個(gè)單位（即）所增加的總利潤(rùn)。7例8: 某工廠將要生產(chǎn)一種商品，該商品的產(chǎn)量與總利潤(rùn)之間的函數(shù)關(guān)系為：,求產(chǎn)量為20時(shí)的邊際利潤(rùn)。解：邊際利潤(rùn)函數(shù)為（元）它的經(jīng)濟(jì)意義是：在每天生產(chǎn)20個(gè)單位的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1個(gè)單位，總利潤(rùn)將增加50元。 3.2彈性分析彈性問題是供求原理的深化。彈性概念描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化時(shí), 所作出反映的強(qiáng)弱程度。對(duì)于任何存在函數(shù)關(guān)系的經(jīng)濟(jì)變量之間都可以建立二者之間的彈性關(guān)系或是進(jìn)行彈性分析。假設(shè)與存在函數(shù)關(guān)系, 函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)該變量與自變量的相對(duì)改變量之比，當(dāng)時(shí)的極限被稱為函數(shù)在點(diǎn)處的相對(duì)變化率，也稱為彈性函數(shù)。記為。83.2.1需求價(jià)格彈性需求的價(jià)格彈性通常簡(jiǎn)稱為需求彈性，需求彈性是用來表示在一定時(shí)期內(nèi)一種商品的需求量變動(dòng)對(duì)于該商品的價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度。表示為：需求的價(jià)格彈性系數(shù)=-（需求量變動(dòng)率/價(jià)格變動(dòng)率），為方便起見，一般取絕對(duì)值。需求價(jià)格的弧彈性表示某種商品需求曲線上兩點(diǎn)之間的需求量的變動(dòng)對(duì)于價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度。簡(jiǎn)單來說，它表示需求曲線上兩點(diǎn)之間的彈性。假定需求函數(shù)為，表示需求量的變動(dòng)量、表示價(jià)格的變動(dòng)量，以表示需求的價(jià)格彈性系數(shù)，則需求的價(jià)格弧彈性的公式為:。9例9：廠商生產(chǎn)某種產(chǎn)品，假設(shè)定價(jià)為5元/件時(shí)市場(chǎng)需求量為400件，定價(jià)為4元/件時(shí)市場(chǎng)需求量為500件，求該產(chǎn)品的價(jià)格弧彈性。12由計(jì)算可知，兩種計(jì)算方式所得的結(jié)果不同。這是由于兩種計(jì)算所代表不同有理量（漲價(jià)與降價(jià)），所以產(chǎn)生的需求價(jià)格彈性系數(shù)就不同。為了避免上述算法帶來的結(jié)果不同，一般采用中點(diǎn)公式來計(jì)算。公式表示為：。當(dāng)需求曲線上兩點(diǎn)之間的變化量趨于無(wú)窮小時(shí)，需求的價(jià)格彈性要用點(diǎn)彈性來表示。也就是說，她表示需求曲線上某一點(diǎn)上的需求量變動(dòng)對(duì)于價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度，則需求的價(jià)格點(diǎn)彈性公式可表示為:。在現(xiàn)實(shí)生活中常常有這樣的一些情況出現(xiàn):有的商店將商品的價(jià)格提高了之后所獲得的收入比提價(jià)前更多了，而有的商店將提高價(jià)格之后所獲得的收入不但沒有增加反而還減少了。這可用商品的需求價(jià)格彈性大小和銷售收入兩者之間的相互關(guān)系來進(jìn)行解釋。例10：假設(shè)某商店新到一種商品，該商品的需求函數(shù)為。(1)確定該商品的需求彈性函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)需求彈性是多少？（3）當(dāng)時(shí)，如果價(jià)格上漲，那么銷售該商品總收益是增加還是減少？解：（1）需求彈性函數(shù)為（2）（3） 因?yàn)?，所以可以知道該商品的收益函?shù)是遞增的，即價(jià)格上漲，銷售該商品所獲得總收益將增加。3.2.2供給價(jià)格彈性供給的價(jià)格彈性簡(jiǎn)稱為供給彈性，供給彈性是表示在一定時(shí)期內(nèi)一種商品的供應(yīng)量變動(dòng)對(duì)于該商品的價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度，是商品的供應(yīng)量變動(dòng)率與價(jià)格變動(dòng)率之比。假設(shè)供給函數(shù)為，以表示供給的價(jià)格彈性系數(shù)，則供給的價(jià)格弧彈性的公式為：，供給的價(jià)格點(diǎn)彈性的公式為：。供給價(jià)格彈性的情況與需求價(jià)格彈性情況類似，在此就不再贅述了。3.2.3理論運(yùn)用1) 容易腐壞的商品的售賣該如何定價(jià)才合理？ 答：新鮮容易腐壞的商品的需求價(jià)格彈性比較大，應(yīng)該采取低差率的定價(jià)策略能加快售賣。2) OPEC組織為何要對(duì)石油實(shí)施限產(chǎn)策略？ 答：石油生產(chǎn)大國(guó)的限產(chǎn)行為在國(guó)際市場(chǎng)中經(jīng)常能看到。第一，石油屬于稀缺性資源，它們的供給彈性往往趨于零，價(jià)格放開時(shí)，增減價(jià)格無(wú)法刺激供給量的大幅度增減；第二，為了抵御通貨膨脹的損失，OPEC組織常常聯(lián)手限產(chǎn)以形成供不應(yīng)求的勢(shì)態(tài)，達(dá)到高價(jià)銷售的目的，維護(hù)生產(chǎn)國(guó)的利益；第三，在長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)，作為生產(chǎn)方的非OPEC組織會(huì)為了能增加產(chǎn)量而改進(jìn)石油生產(chǎn)與提煉技術(shù)，作為需求方的消費(fèi)者會(huì)尋找替代產(chǎn)品，OPEC組織限產(chǎn)引發(fā)提價(jià)引發(fā)收益增加的目標(biāo)會(huì)大打折扣。3) 中國(guó)政府為什么要對(duì)農(nóng)產(chǎn)品實(shí)施價(jià)格支持？ 答：第一，幾乎所有的農(nóng)產(chǎn)品都是生活必需品，需求彈性往往都小于1，價(jià)格的漲跌對(duì)需求的影響不大；第二，農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步造成農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量與市場(chǎng)供給量大幅度的增加，供給價(jià)格反而下降；第三，在中國(guó)，農(nóng)場(chǎng)品一般是個(gè)體組織生產(chǎn)的，農(nóng)產(chǎn)品市場(chǎng)幾乎是完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，單個(gè)農(nóng)戶無(wú)法決定市場(chǎng)價(jià)格，只能被動(dòng)接受，政府如果不出面保護(hù)，容易形成“谷賤傷農(nóng)”的現(xiàn)象，農(nóng)民就會(huì)離地而去。3.3優(yōu)化分析從古至今，企業(yè)的追求利潤(rùn)最大化的目標(biāo)重來不曾動(dòng)搖。一個(gè)企業(yè)要想在這個(gè)以競(jìng)爭(zhēng)性生產(chǎn)為原則的經(jīng)濟(jì)大環(huán)境中生存和發(fā)展只有以利潤(rùn)最大化為目標(biāo)才行，否則最終逃不過因虧損過重而被淘汰的結(jié)果。因此，每一個(gè)參與競(jìng)爭(zhēng)生產(chǎn)的企業(yè)無(wú)一不以利潤(rùn)最大化為基本準(zhǔn)則。那么，企業(yè)如何才能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化的目標(biāo)呢？?jī)?yōu)化分析不僅能夠幫助企業(yè)管理者尋求企業(yè)收益的最大化，并盡可能降低生產(chǎn)的成本支出和管理費(fèi)用，對(duì)企業(yè)管理者來說意義十分深遠(yuǎn)。優(yōu)化分析使用導(dǎo)數(shù)和線性規(guī)劃等數(shù)學(xué)分析工具來探求如何才能使經(jīng)濟(jì)活動(dòng)效果達(dá)到最好或者代價(jià)最小，為企業(yè)管理者的決策提供精確的依據(jù)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的優(yōu)化問題有很多，如成本最小化、利潤(rùn)最大化、貯存最優(yōu)化、資源配置最佳化以及經(jīng)濟(jì)效率最大化等等。企業(yè)的利潤(rùn)最大化原則就是邊際收益等于邊際成本，如果邊際收益大于邊際成本，即每增加一單位產(chǎn)量所增加的收益大于所增加的成本，企業(yè)會(huì)增加產(chǎn)量以增加利潤(rùn)；如果邊際收益小于邊際成本，即每增加一單位產(chǎn)量所增加的收益小于所增加的成本，企業(yè)會(huì)減少產(chǎn)量以減少虧損。0因此，最大利潤(rùn)一定處于邊際收益與邊際成本相等的點(diǎn)上,即。邊際收益與邊際成本相等的利潤(rùn)最大化原則也可以用數(shù)學(xué)來證明。設(shè)為利潤(rùn)，為廠商產(chǎn)量，為廠商總收益，為廠商總成本，即：,利潤(rùn)最大化的必要條件是對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，即：,利潤(rùn)最大化的充分條件還要求的二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)數(shù)，它表示，利潤(rùn)最大化要求邊際成本函數(shù)的斜率要大于邊際收益函數(shù)的斜率，即：，其中是邊際收益函數(shù)的斜率，是邊際成本的斜率。即可得出利潤(rùn)最大化的原則是邊際收益等于邊際成本。例11：已知某廠商商品的需求函數(shù),總成本函數(shù)為：。求（1）利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量和價(jià)格是多少？（2）最大利潤(rùn)是多少？解：（1）由可以得出則由得出令，得,求出將代入，得因此利潤(rùn)最大化時(shí)產(chǎn)量的價(jià)