拉普拉斯方程-球坐標系.ppt

數(shù)學物理方法,拉普拉斯方程,常用齊次定解問題要素,常用齊次定解問題的分類,拉普拉斯算符的形式,參看附錄VI,數(shù)學物理中的對稱性,對稱性的概念定義：對稱性就是在某種變換下的不變性分類對稱性的描述對稱性原理當定解問題的泛定方程和定解條件都具有某種對稱性時，它的解也具有同樣的對稱性。對稱性的應用,對稱性的分類,對稱性的描述,對稱性的應用柱坐標輸運方程,球坐標下拉普拉斯方程的通解,（13.2.1）,兩邊同除以R(r)Y(,),兩邊同乘以r2，整理變量,分離變量法引入的參數(shù),(sphericalharmonicfunction),球諧函數(shù)方程進一步分離變量，令,（13.2.5）,（13.2.4）,代入球諧函數(shù)方程,兩邊同除以()()，乘sin2后移項得：,得：,分離變量引入的參數(shù),（13.2.5）,（13.2.4）,（13.2.1）,Laplace方程,兩次分離變量,（13.2.2）,小結,三個關聯(lián)的常微分方程,偏微分轉化成常微分方程的求解,1,三個常微分方程的求解（一）,對應的本征值問題為,周期性邊界條件,由周期性邊界條件得：,利用三角和差化積公式,得：,m0,此時A可任意取值，周期性邊界可滿足！,由周期性邊界條件得：,由周期性邊界條件得：,=0可使此兩式為零，但不滿足0的假設,令,三個常微分方程的求解（二）,2,（13.2.4）,其中,為勒讓德（legendre）方程,（13.2.5）,（13.2.6）,總結：球函數(shù)方程（13.2.3）,得到兩個本征值問題,本征值,本征函數(shù),（13.2.3）,分離變量,球函數(shù)方程,，,實際上由下列兩個本征函數(shù)之積組成，即為,（13.2.8）,（13.2.3）,m的范圍擴大,球函數(shù)(sphericalharmonics)的復數(shù)表達式,為了使得(13.2.8)所表示的函數(shù)系構成正交歸一系，必須添加適當常系數(shù)，于是定義,(13.2.10),為球諧函數(shù)的本征函數(shù)（相應于本征值,，并稱它為球函數(shù)（球諧函數(shù)）表達式,上式（13.2.10）也是復數(shù)形式的球函數(shù)其中歸一化系數(shù),球函數(shù)的正交關系,根據(jù),的正交性質,當,時，,根據(jù),的正交性,當,時，,可以得到,的正交性，即當,或,時有,即,（13.2.11）,Visualrepresentationsofthefirstfewsphericalharmonics.Redportionsrepresentregionswherethefunctionispositive,andgreenportionsrepresentregionswherethefunctionisnegative.,3,EulerEquation:,兩個特解,三個常微分方程的求解（三）,球坐標下拉普拉斯方程的通解,（13.2.1）,注意m取值范圍的變化,球坐標下拉普拉斯方程通解求解總結,歐拉方程,締合勒讓德方程，解為Plm(x),拉普拉斯方程的非軸對稱定解問題,例1在半徑為,球內（,）求解定解問題,【解】在球坐標系下，定解問題即為,【解】令,代入通過變量分離得到拉普拉斯方程的一系列特解,其中,都是任意常數(shù),通解為,再代入定解條件,利用三角函數(shù)和連帶勒讓德多項式的正交性和歸一性，即可算出中的待定系數(shù),見作業(yè)13-1,拉普拉斯方程的軸對稱定解問題,基本問題：電場由電勢描述電勢滿足泊松方程+邊界條件,只有在界面形狀是比輕簡單的幾何曲面時，這類問題的解才能以解析形式給出，而且視情況不同而有不同解法,具體的工作：解泊松方程,應用,靜電場的定解問題,方程,邊界條件,高斯定理的普遍形式,積分形式,微分形式,自由電荷,給定邊界條件,自然邊界條件,銜接條件,Poisson方程,電位移矢量,介電常數(shù),無旋場的特點,靜電場問題中確定邊界條件的一些基本原則,電勢在兩種介質的界面上連續(xù),導體：等勢體；,（常數(shù)）,接地時電勢C=0,電介質：利用電極化矢量描述,為從媒質指向媒質為正方向,電勢在兩種介質界面上的法向導數(shù)滿足,導體內部電場強度為零！,在許多實際問題中，靜電場是由帶電導體決定的,例如,電容器內部的電場是由作為電極的兩個導體板上所帶電荷決定的電子光學系統(tǒng)的靜電透鏡內部，電場是由分布于電極上的自由電荷決定的,這些問題的特點：自由電荷只出現(xiàn)在一些導體的表面上，在空間中沒有其他自由電荷分布,選擇導體表面作為區(qū)域V的邊界，V內部自由電荷密度0，泊松方程化為比較簡單的拉普拉斯方程,它的通解可以用分離變量法求出。拉氏方程在球坐標中的通解為,若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，這種情形下通解為,例1介電常數(shù)為的介質球置于均勻外電場E0中，求電勢。,設球半徑為R0，球外為真空（如圖）。這問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場E0方向的軸線，取此軸線為極軸。,球內區(qū)域的電勢,解,球外區(qū)域的電勢,邊界條件：,（1）無窮遠處，,因而,（2）R0處，2為有限值，因此,（3）在介質球面上，有,比較P1的系數(shù)得,可解出,其他Pn項的系數(shù)可解出為,介質球面上的銜接條件,所有常數(shù)已經定出，因此本問題的解為,在球內總電場作用下，介質的極化強度為,介質球的總電偶極矩為,1表達式中的第二項正是這個電偶極矩所產生的電勢,極化率,例2半徑為R0的接地導體球置于均勻外電場E0中，求電勢和導體上的電荷面密度。,定解問題,用導體表面邊界條件，照上例方法可解出導體球外電勢,導體面上電荷面密度為,解,例3一個內徑和外徑分別為R2和R3的導體球殼，帶電荷Q，同心地包圍一個半徑為R1的導體球（R1R2）。使內導體球接地，求空間各點的電勢和這個導體球的感應電荷。,這