（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）高維拋物型方程的高精度差分格式的構(gòu)造與研究.pdf

摘要 在研究熬傳導(dǎo)方程，氣體擴散現(xiàn)象和電磁場的傳播等同題時，常常遇到弛物氆偏微分 方程，用差分方法求解此類問題，需構(gòu)造出高精度、高穩(wěn)定，存儲星與計算量都要小的差 分格式本文對常見高維拋物型偏微分方程進行了數(shù)值方法的研究，以及方法在拋物型偏 微分方程的具體應(yīng)用和實現(xiàn)數(shù)值實驗表明了理論分析的正確性和所建立差分格式的有效 性 本文重點對高維問題用兩種差分方法進行理論研究與分析在第一章緒論中，主要介 紹了本文所研究問題的實際背景，回顧了拋物型偏微分方程問題發(fā)展歷史及發(fā)展現(xiàn)狀，簡 單介紹了有關(guān)差分方法與本文所構(gòu)造的差分格式在第二章中，用待定系數(shù)法對高維拋物 型偏微分方程構(gòu)造出了高精度，穩(wěn)定性較好的顯式差分格式在第三章中，對高維拋物型 偏微分方程構(gòu)造出了高精度且絕對穩(wěn)定的交替方向隱式差分格式( a d i 格式) 及相關(guān)格式 ( l o d 格式) ，并對a d i 格式的算法進行了外推，從而進一步提高了精度后兩章分別對 格式的截斷誤差階和穩(wěn)定性進行了分析，每章結(jié)尾的數(shù)值例子對前面的分析給出了驗證 關(guān)鍵詞；待定系數(shù)法，高精度，截斷誤差，顯式差分格式，交替方向隱式差分格式，l o d 格式 a b s t r a c t w eo f t e nm e e tp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h e nw es t u d yt h ep r o b l e m s o fh e a t - c o n d u c t i o np r o c e s s ，g a sd i f f u s i o na n dd i s s e m i n a t i o no fe l e c t r o m a g n e t i c ，s o l v i n g s u c hp r o b l e m sb yu s i n gd i f f e r e n c em e t h o d ，t h ed i f f e r e n c es c h e m eo fh i g h - o r d e ra c c u r a c y h i g hs t a b i l i t y 、l 鉛ss t o r a g ea n dc a l c u l a t ea m o u n t sn e e dt ob ec o n s t r u c t e d t h en u m e r i c a l m e t h o df o rh i g h - d i m e n s i o n a lp a r a b o l mp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si ss t u d i e di nt h i sp a p e r ， a sw e l la st h ec o n c r e t ea p p l i e sa n dr e a l i z a t i o no f t h i sm e t h o di np a r a b o l mp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h en u m e r i c a le x p e r i m e n ts h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d t h ec o r r e c t n e 嬲o ft h eg i v i n gd i f f e r e n c es c h e m e t h et h e o r yr e s e a r c ha n da n a l y s i si sc o n d u c t e di nt h i sp a p e r ，m a i n l yf o rh i g h - d i m e n s i o n a l p r o b l e m sb yu s i n gt w od i f f e r e n c em e t h o d s i nt h ec o n d u c t i o n o fc h a p t e r1 ，t h ea c t u a l b a c k g r o u n do ft h i sp a p e rs t u d i e di sm a i n l yi n t r o d u c e d ，a n dt h ed e v e l o p m e n th i s t o r ya n d t h ep r e s e n ts i t u a t i o ni sr e c o l l e c t e d ，t h e nt h er e l e v a n td i f f e r e n c em e t h o da n dt h ed i f i e r - e n c es c h e m ec o n s t r u c t e di nt h i sp a p e ri 8s i m p l yi n t r o d u c e d 。i nc h a p t e r2 t h es c h e m eo f h i g h - o r d e ra c c u r a c y ，f a i f l yg o o ds t a b i l i t ye x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ef o rh i g h - d i m e n s i o n a l p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n s t r u c t e db yu s i n gu n d e t e r m i n e dp a r a m e t e r s m e t h o d i nc h a p t e r3 ，t h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e ( a d is c h e m e ) a n dt h er e l a t e ds c h e m e ( l o ds c h e m e ) f o rh i g h d i m e n s i o n a lp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si sc o n s t r u c t e d ，a n dt h ee x t r a p o l a t i o nt ot h ea l g o r i t h mo fa d is c h e m ei sc a r r i e d o n t h u st h ea c c u r a c yi sf u r t h e ri n c r e a s e d t h et r u n c a t i o ne r r o ra n ds t a b i l i t yi sa n a l i z e d r e s p e c t i v e l yi nt h el a t t e rt w oc h a p t e r s ，a n da tt h ee n do fe a c hc h a p t e r ，t h ef r o n ta n a l y s i s i sc o n f o r m e db yu s i n gn u m e r i c a le x a m p l e k e yw o r d s ：u n d e t e r m i n e dp a r a m e t e r sm e t h o d ，h i g h - o r d e ra c c u r a c y , t r u n c a t i o n e r r o r ，e x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e l o d s c h e m e i i 獨創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文是我個人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的研 究成果盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā) 表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得河南師范大學(xué)或其他教育機構(gòu)的學(xué)位或證書所使用 過的材料與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并 表示了謝意 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 己、l9 本人完全了解河南師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：有權(quán)保留并向國家 有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱本人授權(quán)河南師范大 學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃 描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書) 簽名：笸塑魚重導(dǎo)師簽名：璺亟曼、日期： 3 1 毛、 1 1 引言 第一章緒論 偏微分方程的研究已有悠久的歷史，由于它與各種技術(shù)科學(xué)及多種理論分析的緊密聯(lián) 系，從十九世紀(jì)以來它一直是數(shù)學(xué)科學(xué)的中心支柱之一。但由于它的復(fù)雜性和困難性，它 很少形成全面的，一般的理論體系許多領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型都可用偏微分方程來描述，許 多重要的物理，力學(xué)學(xué)科的基本方程本身就是偏微分方程，但絕大多數(shù)此類偏微分方程定 解問題的解不能以實用的解析形式來表示，這就產(chǎn)生了理論與應(yīng)用的矛盾為解決上述矛 盾許多研究人員進行數(shù)值解研究，近半個世紀(jì)來，微分方程的數(shù)值方法成為不僅是數(shù)學(xué)學(xué) 科，而且是很多學(xué)科領(lǐng)域的一種重要研究手段和方法【l 】時至今日，微分方程的數(shù)值方法 現(xiàn)主要有有限差分方法和有限元法，另外還出現(xiàn)了邊界元，混合有限元、譜方法，有限體 積方法等，其中有限差分方法仍然是求解微分方程數(shù)值解中比較有效的方法之一 拋物型方程的差分方法是數(shù)值求解偏微分方程的個經(jīng)典問題早在1 9 1 0 年r i c h a r d - s o n 就構(gòu)造了一個求解拋物型方程的差分格式，并在當(dāng)時沒有高速電子計算機的條件下用 人工進行了一些計算，不過在有了電子計算機以后，特別是5 0 年代建立了偏微分方程 差分格式的理論以后，得出r i c h a r d s o n 格式【2 l 是一個絕對不穩(wěn)定的格式1 9 2 8 年， c o u r a n t ，f r i e d r i c h s 與l a x 對這種方法作了完整的論述【3 】此后，隨著其他學(xué)科和工程技 術(shù)發(fā)展的需要，電子計算機的誕生與發(fā)展為差分方法提供了強有力的工具，目前對于線性 偏微分方程定解問題，此方法已形成了較成熟的算法格式與軟件，并能對其進行較完善的 理論分析，對于非線性問題，有效的算法及理論分析正在迅速發(fā)展中1 4 】 1 2 差分方法概述 用差分方法求解微分方程定解問題，主要思想是利用t a y l o r 展開式把方程z 和t 方 向離散，求解離散點的近似解來逼近原問題的真解重點解決以下幾個問題。首先是差分 格式的構(gòu)造，即解決方程和定解條件的差分逼近問題其次是差分格式的理論分析，即討 論差分格式的相容性，穩(wěn)定性及收斂性問題最后是數(shù)值實驗，即通過數(shù)值例子驗證理論 分析的正確性和格式的有效性要構(gòu)造出好的差分格式，需較好解決上述幾個問題 第一章緒論 1 3 本文差分格式構(gòu)造簡介 1 待定系數(shù)法該方法是構(gòu)造差分格式的常用方法，使用該方法時，先給出含參數(shù)的 差分格式或差分算子，然后適當(dāng)選取參數(shù)，使差分方程或差分算子逼近所論的微分方程或 微分算子的逼近階盡可能的高，且有較好的穩(wěn)定性 2 交替方向法該方法通過將高維問題化為一系列一維問題進行求解，然后求解一 系列三對角方程組就可以得到數(shù)值解，該方法穩(wěn)定性很好，且計算量較小 目前已知的大量文獻都是關(guān)于一維問題的研究，本文重點對高維問題用以上兩種差分 方法進行理論研究與分析，構(gòu)造出了精度高、計算量小、穩(wěn)定性尚好的差分格式，數(shù)值實 驗證明了理論分析的正確性和格式的有效性 2 第二章用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度差分格式 對二維和二維以上的拋物型方程，文【5 6 】構(gòu)造出了精度高且絕對穩(wěn)定的差分格 式，其截斷誤差階達到o f f 24 - h 4 ) ，但卻是三層隱式格式，常因計算量和存儲量都很大而 難以使用，文【7 1 3 給出了三層高精度顯式格式，但穩(wěn)定性條件都比較苛刻，都長期徘 徊在網(wǎng)比r 1 8 或1 4 由此看來，對于高維的拋物型方程，構(gòu)造能顯式計算，穩(wěn)定性能良好且精度較高的差 分格式，便具有十分明顯的理論意義和使用價值文【1 4 】構(gòu)造出了一類對如下的任何p 維空間變量的熱傳導(dǎo)方程。 i 警= 妻鬻2 枷。，班則娜t j j = 。 iu p l ，z 2 ，和，0 ) = ，( z 1 ，x 2 ，唧) ，( x l ，x 2 ，酃) r iu ( x l ，x 2 ，銣，t ) = g ( x l ，勛，卻，t ) ，( x l ，勛，勖) 勰0 s t t 都適用的、分支絕對穩(wěn)定的顯式差分格式其中r = 0 x j 1 ，j = 1 ，2 ，p ，o r 為區(qū)域 r 的邊界這樣避免了解線性代數(shù)方程組，大大減少了計算工作量，且格式絕對穩(wěn)定但 其不足的是格式的精度不高，截斷誤差僅為d ( r 2 + 艫) ，為了提高格式的精度而保持格式 的顯式計算和較好的穩(wěn)定性，文【1 5 1 9 構(gòu)造出了較好符合上述要求的格式，這些格式 在文【1 6 】的基礎(chǔ)上用增加節(jié)點和改變節(jié)點上網(wǎng)格函數(shù)值的組合系數(shù)來提高格式的精度 對四維情形，用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度的差分格式，此時文中格式所用節(jié)點為0 ，k ，f ，p ， n ) 和菱形節(jié)點r u ，k ，f p ，n ) ，其中r = 霸y ，z ，塒，。0 ，k ，z ，p ，n ) = 0 ，k 4 - 1 ，f ，p ，n ) ，u ，七，z 士 1 ，p ，n ) ( j ，k ，z ，p 士1 ，仃) ) ，余者類推矩形節(jié)點?？趏 ，k ，z ，n ) ，其中t 口= x y ，茹# ，茹伽，y z ，y w ，刎， 硝口紅后，l 弘彩= f k ，z 士1 ，p - 4 - 1 ，妨l 余者類推，立方塊節(jié)點?？趉 ，z ，a n ) ，其中 讓= 馬l ，z ，t l ，?？? u ，k 士1 ，z - 4 - 1 ，p 4 - 1 ，n ) ) ，余者類推 對五維情形，用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度的差分格式，此時文中格式所用節(jié)點為( 蟊j ，k ，f p n ) 和菱形節(jié)點r ( 1 ，j ，k ，z ，p ，n ) ，其中冗= z ，y ，z ，伽，g ，。( 蟊j ，k ，z ，p ，n ) = ( i j 士l ，k ，z ，p ，禮) ( t ，j ，k + l ，z ，p ，n ) ，( ，j ，k ，l - 4 - 1 ，p ，仃) ( t ，j ，k ，f ，p 4 - 1 ，n ) ) ，余者類推矩形節(jié)點。d ( i ，j ，k ，z ，p ，n ) ， 其中讓口= x y ，茹z ，x w ，x g ，y z ，y w ，y g ，z , w ，z g ，w g ，u d ( j ，k ，z ，p ，n ) = ( i 4 - 1 ，j + 1 ，k ，：，p ，n ) ) ，余 者類推立方塊節(jié)點。n ( i ，j ，k ，z ，p ，n ) ，其中t = x y ，z 彳，x w ，x g ，y z ，y w ，y g ，z 叫，z g ，w g ，鯽口= 3 第二章用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度差分格式 ( ，j ，k + l ，1 + 1 ，p 士l ，n ) 余者類推在這些節(jié)點的基礎(chǔ)上，增加立方體節(jié)點。o ( t ，j ，后，z ，p ，n ) ， 其中釷= 茹，! ，名，伽，g ，。o ( i ，j ，z ，p ，n ) = ( ，j4 - 1 ，七4 - 1 ，z4 - 1 ，p 4 - 1 ，n ) ) ，余者類推 2 1 四維問題格式的構(gòu)造 考慮區(qū)域d ： o z ，y ，z ，鈕1 ，0 t t ) 上的四維拋物型方程的第一邊值問題。 拋 a 2 ua 2 0 2 u a 2 u 瓦2 麗+ 釅+ 砑- i 一一o w 2 訓(xùn)。：o = 白，g ，伽，t ) ，t i ；l = 五白，z ，硼，t ) u l f ；o = ，3 ( z ，z ，w ，t ) ，“i 口：1 = ，4 ( 。，z ，1 1 3 ，t ) “i ；= 0 = ( 石，y ，t u ，t ) ，玨l ：= 1 = ( z ，! ， t o ，t ) t i ：0 = 廠7 ( z ，y ，z ，t ) ，u i 。：1 = 凡( z ，y ，z ，t ) u j t ：o = y o ( 衛(wèi)，y ，z ，t 口) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 解上述問題的古典顯格式f 2 0 】精度不高，截斷誤差僅為o ( r + h 2 ) ，文 1 4 中的顯格式精 度較高，截斷誤差為o ( t 2 + 2 ) ，文【1 3 】構(gòu)造了高精度顯格式，截斷誤差階達到0 0 - 2 + 4 ) ， 但穩(wěn)定性條件r 1 6 較為苛刻，本文構(gòu)造的顯格式保持了文【1 3 】格式的高精度性，但將 穩(wěn)定性條件改善為r 3 s ，計算工作量可以減少很多 用時間步長下，空間步長h 剖分d 節(jié)點( ，y k ，忍，w p ，如) 記為u ，毛f ，p ，扎) ，用如下的 含參數(shù)差分方程逼近微分方程( 2 1 ) ： 1 t 【詠凈+ ( 吼+ 啦( ；) + r a ll + 釩口) q n - f p l 】= ( 鹺+ 露+ 磅+ 皖) ( 啦咄l p + 啦叼屈) + 蛭( 2 。+ 印口+ 。口+ 。，口) + 瑤( 2 口+ 列口+ 艫口+ u t o 口) + q ( 2 ：+ 。：口+ f ；口 + ；”口) + 皖( 2 ”+ 一口+ 刪口+ ?！笨? j ( 聊t 像l p + 伽2 0 n 腳- 1 ) ( 2 7 ) 其中詠l p = g + f + 。+ ”) t 岱l p 口蟛n 細(xì)= g 口+ f 口+ z 口+ ”口) 叼 口詠細(xì)= ( z f 口+ z ；口+ 一口+ f z 口+ 胖口+ 一口) 叼如 $ q k 助= 彤n + 1 j 護+ 亂一1 護+ t 唆七j + 1 護+ 孫j 一1 爐+ 屯哆七j 護+ l + 哆孫，j 護一1 鉚口詠l p = 嘶，k , + l p + i + 屹一1 擴h + t 孫j + l 礦。l + 譬孫j 一1 p 一1 $ 口味扣= 吆+ l h l 卅1 + 皚i 一1 ，l + l 升l + 吃一1 j 一1 卅l + 吆k + l l 一1 ，舛1 4 第二章用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度差分格式 t 是關(guān)于t 的一階向前差商，繡，霹，磚，皖，是關(guān)于。，名， 二階中心差商m 一) 8 為 待定參數(shù)，將( 2 7 ) 中各節(jié)點讓在u ，k ，f ，p ，n ) 處展開，可得 ( 1 + ，7 1 + 8 7 2 + 2 4 仍+ 3 2 班) 霧+ ；( 1 一，7 l 一8 ，7 2 2 4 ，7 3 3 2 m ) 下籌+ ( 啦+ 6 啦 鋤彬c 籌+ 象+ 籌：籌刪島+ 鑫+ 簇+ 赫 + 赫+ 淼) ) = ( 橘+ 舶+ 2 4 研+ 2 4 伽) 籌一( 珊+ 2 4 咖豢+ 壺 + 懦+ z 4 研+ 。a 啦妒( 豢+ 券+ 騫+ 翥) + 。舊+ 啦艄畚+ 淼 +旦o+旦+急+蒜)+dp塒刪x20w2 o y 2 0 2 2 。卻2 a 2 a z 2 ，伽2 。、。7 當(dāng)懦= 0 ，7 l = - 1 + 2 4 鉑+ 6 4 伽+ 2 4 價+ 2 4 z s ，啦= 一鉚3 1 2 t _ 4 + 6 聊+ 6 伽，啦= l + 1 2 r t r + 3 6 ，伽= - 1 + 3 6 研+ 1 2 啦時令a = 仉+ 3 r s r ，b = 聊+ 啦，可得含參數(shù)a 和 其中 咐n + l p l = l 仳?qū)O扣+ z 喲n 七- 如1 ( 2 8 ) 2 2 差分格式( 2 8 ) 的穩(wěn)定性 與( 2 8 ) 等價的兩層方程組為， 缸j n 坳+ l = l 亂孫細(xì)+ z 詠掃，y 裂譬= t 像咖 令詠細(xì)= 鏟e 印【l + 如+ 劬+ 必) 】，嚷l p = 礦e 印【i + 卻+ 坤+ 必) 】，i = 廠l 得， = 怯地m 1 2 刊釓鰳 篙 撕鐘 十咕 州劬 的 孰 挖 +“階 階 葉 一 咖 謄| 以 一 曲 縱 + 阻 阻 + = = 嗡錨 第二章用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度差分格式 壚8 i n ：半+ s i n 2 掣+ 8 i n 2 竽+ s i n 2 掣耐華+ s i n 2 半 + 8 i n 2 旦三衛(wèi)+ 8 i n 2 生；蘭+ 8 i n 2 + s i n 2 竺三蘭+ 8 i n 2 竺；+ s i n 2 竺；f 0 1 2 1 222222 - ：三軍笨：篁：摹二：箏+ s i n 2 畢+ s i n 2 竺掣+ 8 i n 2 生掣+ s i n 2 掣+ 8 i n 2 掣 州n 2 半抽2 半+ s i n 2 半+ 8 i n 2 掣+ s i n 2 學(xué) 定理當(dāng)網(wǎng)比r 0 a 一且+ c = 1 + m 1 1 一m 1 2 = 4 0 + 1 2 b 一6 4 a + 9 6 b r 一8 r 1 0 由引理1 知( 2 9 ) 根i a l ，2 f 1 ，引理2 的( i ) 成立，引理2 的( i i ) 成立的充要條件是使 1 一；瑤= 峨+ 4 曬2 = o 成立的8 1 , 8 2 ，8 3 或者不存在，或者不屬于【o ，4 】【o ，1 2 【o ，1 6 6 第二章用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度差分格式 由1 一；碥= o 與螈+ 4 1 1 4 1 2 = o ，得尬2 = 一l ，但實際尬2 = 一1 + 7 2 b 一 4 s l ( - 1 2 a + 6 b + 3 6 b r r ) 一4 a s 3 - 1 ，即使m , 2 = - 1 的s l ，8 2 ，s 3 并不存在 綜上所述，可知當(dāng)定理條件滿足時，差分格式( 2 8 ) 穩(wěn)定 2 3 五維問題格式的構(gòu)造 考慮區(qū)域d ： o z ，y ，z ，硼，g 1 ，0 t t 上的五維拋物型方程的初邊值問題， a ua 2 a 2 滬牡伊“伊t 瓦2 麗+ 萬+ 麗+ 麗+ 萬 讓i 刪= 只( 暑，名，t 正，g ，t ) ，u i 。= 1 = j ( 暑，z ，伽，g ，t ) t i l ，= o = 瑪( 為z ，伽，g ，t ) ，t l 護l = f 4 ( 為z ，w ，g ，t ) “i 。= 0 = 晶( 。，y ，t 正，g ，t ) ，亂i 。= 1 = f 8 ( z ，y ，叫，g ，t ) 缸k - - - - 0 = f 7 p ，y ，五g ，力，亂j 。：1 = 瑪p ，y ，z ，璣力 牡1 9 ：0 = 局0 ，y ，z ，塒，t ) ，讓1 9 ；1 = f l o c x ，y ，z 9 伽，t ) 仳l k 0 = f o p ，y ，z ，w ，g ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 一1 5 ) ( 2 1 6 ) 用時間步長r ，空間步長h 剖分d 節(jié)點( 以，珊，z k ，叫l(wèi) ，卯，t 。) 記為( i ，j ，七，z ，p ，n ) ，用如 下的含參數(shù)差分方程逼近微分方程( 2 1 0 ) ： 。【詠l p + ( 叩1 + 7 2 ( ；) + 7 3 口+ 鉑口+ 啦。) 心n k - l p l 】 = ( 鹺+ 霹+ 磅+ 咒+ 露) ( 伽詠肇+ 研巧n 腳- i ) + 【醒( 1 2 z + 3 ( 妒口+ 妒口+ 坩口+ 卵口+ 一口+ 哪口) + 4 ( 。f 口+ ?？? ?？? 卵口) ) + 霹( 1 2 + 3 ( z = 口+ 一口+ 卯口+ 卵口+ 口+ 螂r 口) + 4 ( 鯽口+ ，。口+ 舭口+ 卯口) ) + 霹( 1 2 ：+ 3 ( 。，口+ 。塒口+ z g 口+ 掣9 口+ 舯?？? 鐘9 口) + 4 ( $ ：口+ 掣?？? 伽：口+ 卵口) ) + 磅( 1 2 ”+ 3 ( 卸口+ 影口+ 卵i - 1 + 妒口+ 坩口- t - 。g 口) + 4 ( $ 塒口+ p 塒口+ 伽。1 ：3 + 叫疊口) ) + 霹( 1 2 t ，+ 3 ( 刪口+ 口+ z ”口+ 妒口+ f ”口+ ：”口) + 4 ( z 9 口+ 卯口+ 卵口+ 螂口) ) 】( 啦+ 偽q n k - 加1 ) ( 2 1 7 ) 7 第二章用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度差分橙式 ( 1 + 吼+ 1 0 ，7 2 + 4 0 v r 3 + 8 0 啦+ 8 0 儒) 霧+ ；( 1 一叩l 一1 0 啦一4 0 鉑一8 0 , 4 二悠箏0 2 u 篡1 舞妻潷：掣垂 + 銣1 4 4 ( m 妒( 島+ 淼+ 麗a uv 十w 瓣a , + 赫 + 嘉+ 薪+ 淼o z 2 + 赫o z 2 + 黑o wo g ) + o p 州。勘2 拋21 曲2 卻2 。 a 叫2 曲2 。 22 。 7 u 巧n + 腳l = l 仳3 七咖+ z 札玎n - - 七細(xì)1 8 ( 2 一1 8 ) 整三童旦鱟室墨墼鱉塑絲壹整鏖叁坌塹塞 其中 l 缸孚坳= 【2 2 4 0 口一1 4 4 6 1 4 4 0 b r 一1 0 r + ( 3 2 。一7 2 6 + 4 8 打+ r ) ( ；) + ( 一口+ 1 2 打) ?！矿槽?z n - 女i p i = 【一1 + 2 4 0 。+ 1 4 4 6 4 3 2 0 b r + 1 0 r + ( 一3 2 口+ 7 2 6 + 4 3 2 6 r r ) ( ：) + n ?！吭K五 2 4 差分格式( 2 1 8 ) 的穩(wěn)定性 與( 2 1 8 ) 式等價的兩層方程組為。 u u 巧n + 坳l = l 喲坳+ z 唱腳，n + 腳l = 喝腳 令嗎腳= 鏟e 印口( 徊+ 如+ 枷+ k + 胛) 】，喝i p = 礦e 印【砸p + j 妒+ 腳+ k + 鐘) 】，j = ，可，得； 艫 尬。尬。1 【秒j2 【。拖j ； = g 扣t ，眈，船，以， ： m n = 2 2 4 0 a 一1 4 4 b 一1 4 4 0 b r 一1 0 r + ( 3 2 a 一7 2 b + 4 8 b r + r ) 0 0 一4 s 1 ) + ( 一a + 1 2 b r ) ( 8 0 4 8 4 ) ，m 2 1 = 1 m 1 2 = 一1 + 2 4 0 a + 1 4 4 b 一4 3 2 0 b r + l o r + ( - 3 2 a + 7 2 b + 4 3 2 b r r ) ( 1 0 一4 s 1 ) + a ( 8 0 4 s 4 ) ，m s = 0 ：三：犖：象舉躥怒牛缸。半+ 耋n 。學(xué)耐年+ 玉牛 + 8 i i l 2 牢掣+ s i n 2 掣鋤z 牛+ 刪宰+ 甜華+ b i n 。掌耐啐+ + s i n 2 鼉+ s i n 2 旱 ：主i n ：髫s + i n 笨：i n 答 + s2 竺掣+2 竺掣+ 82 竺掣+ 9 + s i n 2 生# s t n 2 堅聲+ 十l蘭生。澎五。 8 f 產(chǎn) “ 口 咖 妒一 + 十 +一2妒一 7 一 妒一 二2 二2澎五。 箏 g 2 + 昌 第二章用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度差分格式 是 + s i n 2 掣+ s i n 2 掣生+ 群掣! + 甜畢一l - s i n 23 型阜 + 甜坐箬+ s i n 2 掣+ s i n 2 下0 + 芳- 7 + s i n 2 畢+ s i n 2 下7 + i o - 0 + s i n 2 j 噶坐+ s i n 2 盟擎+ 8 i n 2 - + - 乳，- - - - 妒+ 甜盟挲+ 甜生掣 佃n 2 掣+ 。舒生弛州n 2 牢+ 。艫掣+ 6 i n 2 單 + s i n z 中! + 咖z 叢+ 。釅叢掣+ s i n 2 單! + s i n 2 堅竽 + s i n 。! 噬生+ 8 i n 2 生掣+ s i n 2 墮拿+ s i n 2 - ”- - - t 盧- - 堇- 1 - s i n 2 韭每 艫b i n 2 生掣+ 。玉生等堅鼻s i n 2 生掣+ s i n 2 生掣 “n 。墮掣t - s i n 2 生哆+ s i n 2 生學(xué)+ s i n 2 生掣 “n 2 生哮業(yè)+ s i n 2 生! 哮幽+ s i n 2 業(yè)毒業(yè)+ s i n 。業(yè)辱幽 “n 2 坐掣+ s i n 2 生粵+ 。i n 。生粵+ s i n 2 生嘗 + 咖z 生嘻業(yè)+ s i n 。生嘩幽+ s i n 2 生峨+ 。i n z 生學(xué)紐 + 咖z 叢掣+ s i n 2 生粵+ 8 i n 2 生粵+ 8 i n 2 生嘗 + 咖z 叢靼+ s i n 。生嘗+ 8 i n 2 生嘗“n 2 生警 “n 。生唼型+ s i n 2 生啐型+ s i n 2 業(yè)辛盟一fs i n 2 生哮也 + 。舒堅掣+ s i n 2 生學(xué)+ s i n 2 堅嘗+ s i n 2 盟粵 + s i n 2 生掣+ 。艫止粵+ 咖。堅單_ i - s i q 生粵 易知8 1 o ，5 】，8 2 【o ，2 0 ，8 3 【o ，4 0 1 ，8 4 【0 ，4 0 】 其特征方程為ta 2 一尬l a 一尬2 = 0( 2 1 9 ) 引理1 【2 1 】實系數(shù)二次方程a a 2 + b a + c = 0 ( a 0 ) 的兩根按模小于1 的充要條件 a c 0 ，a + b + c 0 ，a b + c 0 引理2 嘲差分格式( 2 1 8 ) 穩(wěn)定，l z p 矩p $ 族m s ( s l ，8 2 ，8 3 ，8 4 ) 一致有界的充要條件 是( i ) i a l ，2 l 1 ，( a 1 ，2 為傳播矩陣特征根) ， ( i i ) n o ( ( 1 一；i 尬l + 尬2 1 2 ) ) n o ( i ( 尬l 一艦2 ) 2 + 4 尬2 尬1 1 ) c _ n o ( ( m i l 一艦2 ) 2 ) n n o ( 啦) nn o ( m 芻) 其中n o ( e ( s z ，8 2 ，8 3 ，乳) ) 表示多項式e ( 8 1 ，8 2 ，s 3 ，8 4 ) 在區(qū)域 0 ，5 】 【0 ，2 0 】【0 ，4 0 0 ，4 0 】上所有實根的集合 一筮三耋星鱟室墨墼鱉塑造壹塑鏖董坌堡塞 定理當(dāng)網(wǎng)比r 2 5 ，且參數(shù)n _ 4 ( 1 + 2 8 8 b 一2 4 0 a 4 - 1 4 4 0 b r 一1 0 r ) 0 由引理1 知( 2 1 9 ) 式根i a l ，2 i 1 ，引理2 的( i ) 成立，引理2 的( i i ) 成立的充要條件是 使1 扣蠊= m 2 1 + 4 矗2 = 0 成立的8 1 ，8 2 ，8 3 或者不存在，或者不屬于f o ，5 】【o ，2 0 【o ，4 0 】【0 ，4 0 1 由1 一言碥= 0 與哪+ 4 m 1 2 = 0 ，得尬2 = 一1 ，但實際m 1 2 = 一1 + 8 6 4 b 一 4 s l ( 一3 2 a + 7 2 b + 4 3 2 b r r ) 一4 a s 4 - - 1 ，即使尬2 = 一1 的8 1 ，8 2 ，8 3 ，8 4 并不存在 綜上所述，可知當(dāng)定理條件滿足時，差分格式( 2 1 8 ) 穩(wěn)定 2 5 數(shù)值例子 例1 考慮區(qū)域d ： o z ，y ，z ，ws1 ，0 t 研的初邊值問題； a t 儼“ 伊釷a 2 釷滬釷 瓦2 麗十麗+ 麗+ 一o w 2 u i 忙o = s i n ( x + 暑，+ z + 伽) t 正 x = o = e - 4 t s i n ( y + z + 伽) ，t z = l - - - - e - 4 ts i n ( 1 + ! ，+ z + 叫) ( 2 - 2 0 1 訓(xùn)f ：0 = e - 4 t s i n ( z + z + 伽) ，亂i p ：l = e - 4 t s i n ( x - i - 1 + z + 伽) u l ；：o = e - - 4 t s i n ( x4 - 穢+ 加) ，u l = ：l = e 一礎(chǔ)s i n ( x + y + 1 + 伽) u l ：o = e 一礎(chǔ)s i n ( x 4 - 暑，4 - z ) ，札l ：1 = e - 4 t s i n ( x + y + z 4 - 1 ) 在格式( 2 8 ) 中，取r = i 1 ，h = 面1 ，下= 而1 ，口= 一麗1 ，6 = 面1 ，滿足穩(wěn)定條件，計 算到禮= 2 0 0 時與精確值和文【1 4 】格式比較結(jié)果如下 1 1 第二章用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度差分格式 r = 1 4 0 ，詹，f ，p ) 精確解( 2 - 8 ) 格式文【1 4 】格式 ( 1 , 1 ，1 ，1 ) o 0 5 2 7 0 2 0 3 0 0 5 2 7 0 2 0 20 0 5 2 6 8 8 2 9 ( 5 , 5 ，5 ，5 ) 0 1 2 3 0 6 0 0 10 1 2 3 0 5 9 6 80 1 2 2 7 7 6 2 1 ( 7 ，7 ，7 ，7 ) 0 0 4 5 3 3 5 7 0 0 0 4 5 3 3 5 5 80 0 4 5 2 3 0 9 3 從上表可見本文格式較文【1 4 】格式精度提高= 位以上有效數(shù)字 例2 考慮區(qū)域d ： o $ ，! ，。，伽，g 1 ，0 t ? 的初邊值問題 a 缸0 2 ua 2 ua 2 札a 2 ua 2 u 瓦2 孬十麗十弘十麗十麗 u i t ：0 = s i n ( x + y + 2 + 塒+ g ) u 1 2 ：0 = e 一5 。s i n ( y + z + 塒+ 夕) ，牡i # l = e 一5 s i n ( 1 + ! ，+ z + 鉀+ g ) “i f = o = e - 5 ts i n ( x + z + w + g ) ，u i 掣= l = e - 5 t s i n ( x + 1 + 名+ 伽+ 夕) ( 2 2 1 ) u i ：o = e 一乳s i n ( x + 暑+ 伽+ 9 ) ，i ；：l = e - s t s i n ( x + y + 1 + 伽+ g ) i ：0 = e 一5 。s i n ( x + 童，+ z + 9 ) ，訓(xùn) ：1 = e 一研s i n ( x + 暑+ z + 1 + g ) t l i 雪= 0 = e 一乳s i n ( x + 暑+ 名+ 叫) ，u 1 9 = 1 = e - s t s i n ( x + y + 名+ w + 1 ) 在格式( 2 1 8 ) 中，取r = ；， = 而1 ，丁= 而1 ，。= 一而1 ，6 = 未_ ，滿足穩(wěn)定條件，計算 到n = 2 0 0 時與精確值比較結(jié)果如下， r = 1 4 ( i ，j ，k ，j 力 精確解( 2 1 8 ) 格式 ( 1 , 1 ，1 ，1 ，1 ) 0 3 9 3 5 3 6 4 2 2 8 e - 0 10 3 9 3 5 3 5 7 8 4 5 b 0 1 ( 5 , 5 ，5 ，5 ，5 ) 0 4 9 1 2 5 5 7 9 0 2 8 0 10 4 9 1 2 4 6 8 9 4 8 8 0 1 ( 7 ，7 ，7 ，7 ，7 ) 0 2 8 7 9 4 0 4 2 6 3 e - 0 1 0 2 8 7 9 3 9 3 4 0 3 e - 0 1 由上表看出本文格式解與精確解有較好的吻合，這表明理論分析是正確的 第三章交替方向隱格式及相關(guān)格式 在三維情況下，其模型問題為 豢：曩+ 耄+ 黧， ( o 墨y ，z 1 ，0 一tst ) ( 3 1 ) 瓦2 否十麗蘆十否萬， 【u z ，2 0 而b 0 ，于是b a 0 顯然成立 又由于 2 a + 暑= 2 一；( s 。+ 勛+ s a ) + ( 8 產(chǎn)+ ；) ( 8 1 3 2 - i - 8 1 韶+ s 2 s s ) + 1 6 ( 尹一i l r 2 + 1 r 一去) s s z s 。 = ；( 3 確咄咄) + 弘即z ( 3 - s 3 ) - 8 1 s 3 ( 3 噸) + s 2 s s ( 3 咄) ) + 芻郴。( 3 咱) + ；s s ( 8 1 + 8 2 ) + 1 6 r ( r 2 + 壺) 餉s s o 則一2 b a 也成立，注意到格式( 3 9 ) 與( 3 1 0 ) 的等價性，可得解方程( 3 1 ) 的a d i 格式( 3 一i 0 ) 絕對穩(wěn)定觀察格式( 3 一1 0 ) 可以看出它是分別在毛y ，z 方向交替 使用一維隱格式的結(jié)果，每個時問層上只需解三個三對角的方程組，可用追趕法求解，因 此計算鼉小 3 1 4 過渡層邊界條件的處理 在使用交替方向隱式差分格式( 3 一1 0 ) 解微分方程問題( 3 1 ) 一( 3 5 ) 時，除 了需要t 吼，f 和吩n ，+ l 在邊界處的值外，還需要n ，+ w l 3 ，“，+ k y 23 在邊界處的值，由邊界條件 第三章交替方向隱格式及相關(guān)格式 ( 3 2 ) 一( 3 4 ) 和( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 兩式，可得到格式( 3 1 0 ) 中過渡層的邊界條件為 y 3 = a ( k t x 璣z z ，n t ) + ( 1 一互1 ( r 一：) 霹) ( 1 一互1 ( r 一；) 鱷) ( ( 七分，l a z ，+ 1 ) a t ) 一，l ( k a y ，z z ，n a t ) ) n 肘- 1 ，- 1 3 = ，2 ( 七，z n t ) + ( 1 一；p 一：) 霹) ( 1 一互1 ( r 一：) 霹) ( ，2 ( 七掣，l a z ，m + 1 ) a t ) 一h ( k y ，i a z ，n a t ) ) 嵋蓋妒= 9 1 0 岱，i a z ，n a t ) + ( 1 一；( r 一；) ) ( g l ( j a z ，i a z ，+ 1 ) a t ) 一g l u x ，l a z ，n a t ) ) 璐3 = 9 2 ( j z ，i a z ，n a t ) + ( 1 一；( r 一；) 霹) ( 卯( j a x ，l a z ，+ 1 ) t ) 一仍o 霸i a z ，n a t ) ) 其中j ，k ，f _ 1 ，2 ，m 一1 3 1 5 數(shù)值飼子 在區(qū)域d ： o z ，y ，z 1 ，t o ) 上對初邊值問題 o ua 2 釷a 2 u儼亂 瓦2 弘+ 帝+ 弘 u l , ；0 = s i n ( x + y + z 1 u l z ：0 = e 一3 s i n ( y + z ) ，u l z ；1 = e - s t s i n ( 1 + ! ，+ 孑) u l ”：0 = e 一越s i n ( x + z ) ，u l ，：l = e - - 3 t s i n ( x + 1 + z ) i z ：0 = e - 3 t s i n ( x + 秒) ，u l 。：l = e 一乳s i n ( x + 掣+ 1 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 用本文格式( 3 1 0 ) 和文【1 4 】格式求數(shù)值解并與精確解u ( x ，y ，z ，t ) = e 一缸s i n ( x + 甜+ z ) 相比較，在使用格式( 3 1 0 ) 進行計算時，其過渡層的邊界條件可按( 3 1 6 ) 一( 3 1 9 ) 式處理取z = a