導數(shù)的經濟意義及在經濟分析中的應用研究.doc

導數(shù)的經濟意義及在經濟分析中的應用研究摘要導數(shù)在經濟領域中的應用非常廣泛,特別是在微觀經濟學中有很多具體的例子.掌握導數(shù)的基本概念和經濟中常見函數(shù)的概念非常重要.本文從邊際分析、彈性分析和優(yōu)化分析3個層面分析了導數(shù)在經濟分析尤其是微觀經濟分析當中的應用，并列舉實例加以說明.旨在闡明高等數(shù)學處理復雜經濟問題的優(yōu)越性和重要性，為廣大企業(yè)管理者進行科學決策提供支持.關鍵詞：導數(shù)；經濟學；邊際分析；彈性分析；優(yōu)化分析1 引言 數(shù)學是一種適于定量分析的比較嚴密的抽象符號系統(tǒng)，具有較強的客觀性，應用數(shù)學知識解決經濟問題在一定程度上能減少分析中主觀因素的影響.當然在經濟研究中應用數(shù)學也會有它的局限性.它不可能使經濟理論家或實踐者徹底擺脫在現(xiàn)實經濟中所遇到的困境和煩惱。但總體來說，在經濟研究中應用數(shù)學是很有益的。從當前來看，在國內外經濟學文獻中應用數(shù)學作分析工具的越來越多，應該說這是經濟學進步的一個重要標志，即它使經濟學走向了定量化、精密化和準確化。微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑,導數(shù)作為微積分的核心概念之一,在經濟學領域有其豐富的實際背景和廣泛的應用。如何運用導數(shù)知識去分析、解決經濟中的問題是一個必須引起重視和研究的課題。本文本著“數(shù)學為體,經濟為用”的原則,就導數(shù)在經濟領域中的成功應用范例:著名的邊際分析、彈性分析以及經濟優(yōu)化問題等作一些探討,并給出導數(shù)在經濟領域中的一些應用實例。旨在拓寬人們分析問題的思路，提高人們解決問題的能力。通過本文的討論，我們不難發(fā)現(xiàn)，利用導數(shù)說明和解決經濟問題是非常有效的方式，使我們可以從數(shù)學的角度得出結論，又可以在經濟的理論上得到合理解釋，從而達到為企業(yè)經營者科學決策提供依據(jù)的目的。2 文獻綜述2.1 國內外研究現(xiàn)狀 現(xiàn)查閱到的文獻中，分別就導數(shù)在經濟研究中的應用做出以下說明.其中高汝憙在文獻1中精確的解釋了導數(shù)的概念，強調了對數(shù)學概念的精確理解是解決問題的前提. 高鴻業(yè)、哈爾R范里安、周曉暉、宋承先分別在文獻2-5中對導數(shù)在經濟領域中的應用類型和相應的方法給予了較詳細的說明，并介紹了經濟學中常見的函數(shù)及大量的實例. 李鳳香,程敬松在文獻6中對邊際的概念展開描述，并舉例說明邊際收益，邊際成本等概念.文獻8中, 張賢澳對需求價彈性與收益進行了詳細的的解析. 文獻10-12中，劉玉紅，李春萍，彭文學通過彈性分析說明了數(shù)學在經濟領域中的具體應用.周學勤在文獻14中提出了導數(shù)在經濟應用中應注意的問題. 葉子祥，于信，宿金勇, 保羅A薩繆爾森等在文獻15-16中提出針對生活中的有些問題可利用優(yōu)化分析的方法達到經濟效益的最高的策略.2.2 國內外研究現(xiàn)狀評價文獻1-16分別就導數(shù)的經濟意義與其在經濟中的應用做出說明，文獻中主要闡述了經濟方面相關的基礎知識，沒有很全面地介紹導數(shù)在研究經濟各方面的運用，而且文獻中對最優(yōu)化分析給出的分析也相對較少，對導數(shù)在經濟中的應用所需要注意的問題也未給出詳細深入的說明.2.3 提出問題 本文從數(shù)學的基本理論導數(shù)的概念出發(fā),引出了經濟管理學中重要的概念邊際函數(shù)和彈性函數(shù),研究它們的經濟意義,介紹了經濟科學中常見的函數(shù)及大量的實例,探討了數(shù)學在經濟管理學中的應用,給出了解決這些問題的一般方法，通過數(shù)學與經濟學的結合來分析問題，說明導數(shù)在經濟生產中的重要性和優(yōu)越性.3. 導數(shù)的概念與意義定義11：設函數(shù)y=f（x）在點的某個鄰域內有定義，當自變量 x在點處取得增量（點+仍在該鄰域內）時，相應地函數(shù)y取得增量=f（+）-f（）；如果與之比當0時的極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)y=f（x）在點處的導數(shù)，記為，即DpQp1Q1p2Q20.若函數(shù) y=f（x）在某區(qū)間內每一點都可導，則稱 y=f（x）在該區(qū)間內可導，記為y=f（x）在該區(qū)間內的可導函數(shù)（簡稱導數(shù)）.SPQP2Q1P1Q20圖1 需求曲線函數(shù)增量與自變量增量之比y/x是函數(shù)在以和為端點的區(qū)間上的平均變化率,而導數(shù)則是函數(shù)y=在點處的瞬時變化率,它反映了函數(shù)隨自變量的變化而變化的快慢程度.函數(shù)y=在點的導數(shù)的幾何意義是:曲線y=在點處的切線的斜率.圖2 供給曲線西方經濟學家研究涉及邊際經濟變量時都是用增加某一個經濟變量一個單位從而對另一個經濟變量帶來的影響是多少,如邊際效用、邊際成本、邊際收益、邊際替代率等等,這些概念都是經濟學中非常重要的概念.而在這些經濟學概念中,幾乎都要用到數(shù)學導數(shù)的概念,它們的數(shù)學表達式也幾乎可以用導數(shù)來表示.因此,導數(shù)在邊際分析、彈性分析、最優(yōu)化分析等方面都具有重要的作用.4. 經濟分析中常用的函數(shù)4.1 需求函數(shù)與供給函數(shù)（1）需求函數(shù).作為市場上的一種商品，其需求量受到很多因素影響，如商品的市場價格、消費者的喜好等.為了便于討論我們先不考慮其他因素，假設商品的需求量盡受市場價格的影響，即Q表示某種商品的需求量，P表示此種商品的價格，則用 Q=f（P）表示對某種商品的需求函數(shù).例如，某空調的價格從3000元/臺降到2000元/臺時，相應的需求量就從600臺增到1000臺，顯然需求是和價格相關的一個變量.一般來說，對某種商品的需求量Q隨價格減少而增加，隨價格增加而減少，所以需求函數(shù)是單調減少的函數(shù)（如圖1）.（2）供給函數(shù).站在賣方的立場上，設Q表示對某種商品的供給量，P表示此種商品的價格，則用Q=F（P）表示某種商品的供給函數(shù).一般來說，作為賣方，對某種商品的供給量Q是隨價格P的增加而增加，隨價格P的減少而減少，所以供給函數(shù)是單調增加的函數(shù)（如圖2）.4.2 成本函數(shù)與平均成本函數(shù)（1）成本函數(shù).產品的成本一般有兩類：一類隨產品的數(shù)量變化，如需要的勞動力，消耗的原料等；這種生產成本稱為可變成本.另一類成本無論生產水平如何都固定不變，如房屋 設備的折舊費、保險費等，稱為固定成本.設Q為某種產品的產量，C為生產此種產品的成本，生產每個單位產品的成本為a，固定成本為，則成本函數(shù)為C =C（Q）=aQ+.（2）平均成本函數(shù).用表示每單位的平均成本函數(shù)2.4.3 價格函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)（1）價格函數(shù).一般來說，價格是銷售量的函數(shù).生活中隨處可見，買的東西越多 消費者就可以把價格壓得更低.例如，某批發(fā)站批發(fā)100件衣服給零售商，批發(fā)定價，30元，若每次多批發(fā)10件衣服，相應的批發(fā)價格就降低2元，顯然價格是和銷售量相關的一個變量.在廠商理論中，強調的是既定需求下的價格.在這種情況下，價格是需求量的函數(shù)，表示為P=P（Q）.要注意的是需求函數(shù) Q=f（P）與價格函數(shù) P=P（Q）是互為反函數(shù)的關系.（2）收入函數(shù).在商業(yè)活動中，一定時期內的收益，就是指商品售出后的收入，記為R.銷售某商品的總收入取決于該商品的銷售量和價格.因此，收入函數(shù)為R=R（Q）=PQ.其中 Q 表示銷售量，P表示價格.（3）利潤函數(shù).利潤是指收入扣除成本后的剩余部分，記為L.則L=L（Q）=R（Q）-C（Q）.其中Q 表示產品的的數(shù)量，R（Q）表示收入，C（Q）表示成本.總收入減去變動成本稱為毛利，再減去固定成本稱為純利潤.5. 導數(shù)在經濟分析中的應用5.1 邊際分析邊際概念是經濟學中的一個重要概念，通常指經濟變量的變化率.利用導數(shù)研究經濟變量的邊際變化的方法，即邊際分析方法，是經濟理論中的一個重要分析方法.在經濟學中，習慣用平均和邊際的概念描述一個經濟變量y對于另外一個經濟變量x的變化.平均概念y表示在自變量x的某一個范圍內的平均值.顯然，平均值x隨著范圍不同而不同，邊際概念表示當x的改變量x趨于0時，y的相應改變量y與x的比值y/x的變化，即當x在某一給定值附近有微小變化時，y的瞬時變化.5.1.1邊際成本設生產某種產品q單位時所需要的總成本函數(shù)c(q)可導，則其邊際成本定義為 3邊際成本是總成本函數(shù)c(q)關于產量q的導數(shù)，其經濟含義是：當產量為q時，再生產一個單位（即q=1）所增加的總成本為c(q).因此，近似地記為 例1 生產某種產品q個單位時成本函數(shù)為c(q)=200+0.05求生產90個單位與生產100個單位該產品時的邊際成本.解：邊際成本為=0.1q當q=90時，=0.190=9; 當q=100時，=0.1100=10;即生產90個單位該產品與生產100個單位該產品時的邊際成本分別為9和10.在這里需要注意的是：平均成本、平均變化率、邊際成本三個概念雖然都反映一定意義下的平均，但是又有一定的區(qū)別.平均成本C(q)/q是生產一定數(shù)量產品時的成本平均，它只與產量范圍q有關.平均變化率C(q)/q是生產一定數(shù)量產品時再增加生產q時，成本增加值C在q范圍內的平均，這個比值既與產量q有關，又與增量q有關.邊際成本是極限意義下的平均，是當增量q0時，總成本C(q)的瞬時變化率，這個值只與產量q有關.5.1.2 邊際收入與邊際成本類似,邊際收入定義為,即邊際收入是總收入函數(shù)R(q)關于銷售量q的導數(shù)，其經濟含義是：當銷售量為q時，再銷售一個單位（即q=1）所增加的總收入R(q).例2 某企業(yè)某種產品的收入R(單位：元)是產量q(單位：噸)的函數(shù)求生產200噸時的邊際收入.解：邊際收入為生產200噸時的邊際收入為其經濟含義是:當銷售量為200噸時，再銷售一噸（即q=1）所增加的總收入為700元.5.1.3邊際利潤分析邊際利潤與邊際成本類似,邊際利潤定義為總利潤函數(shù)L(q)關于銷售量q的導數(shù).其經濟含義是:當銷售量為q時，再銷售一個單位（即q=1）所增加的總利潤L(q).在這里要強調的是:邊際利潤0與利潤L(q)0是不同的概念. 0即邊際利潤小于零這意味著：當產量（銷量）為q時，再改變一個單位的產量（銷量）(即q=1)總利潤將減少，此時，可能是虧損，也可能是盈利，即總利潤減少不一定是虧損.而L(q)0即利潤小于零則意味著：當產量（銷量）為q時企業(yè)是虧損的.例3 設某廠生產某種產品的總成本C元是產量Q件的函數(shù)，.每件產品的銷售單價為800元,試寫出利潤函數(shù),邊際利潤及生產350件、398件及400件時的邊際利潤,并說明其經濟意義.解：設產量與銷量一致,令Q為產量(或銷量),由題設收益為總成本從而利潤函數(shù)邊際利潤于是 經濟意義為: 表示當產量在350件的基礎上再生產一個單位產品時,利潤將近似地增加9 6元; 表示在產量398件的基礎上再生產一件產品時,利潤將不再增加,而且開始減少; 表示在產量為400件的基礎上再生產一件產品,利潤就要近似地減少4元.例44 假定有酒100噸，現(xiàn)價8元/公斤，多陳一年可增值2元/公斤，貯存費每年10000元，因貯存酒積壓資金引起機會成本每年增加（其中為酒的貯量，P為當年白酒價格，r 為利息率，且假定r=10%），那么這些酒須儲存多久效益才最大呢？分析：假設須貯X年才最佳，由已知可得如下函數(shù)關系：1. x年增加的總收入函數(shù)（元）2. x年增加的貯存總成本（元）3. x年凈增利潤函數(shù) （元）此時邊際收入：邊際成本：因為當時利潤最大，所以有，即x=2.75（年）.由于駐點唯一，故只有當儲存期為2.75年時,企業(yè)才能獲得最佳經濟效益，其最大凈增利潤為151 250元.由上進一步表明，邊際分析這種以導數(shù)為工具，以經濟現(xiàn)象為內容的數(shù)學分析方法已深深融人到了經濟學中，并成為經濟學的一個重要組成部分.5.2 需求價格彈性分析及應用在西方微觀經濟學中, 彈性是用來表示因變量對自變量變化的反應的敏感程度.具體地說, 當一個經濟變量發(fā)生1%的變動時, 由它引起另一個經濟變量變動的百分比.因此, 需求的價格彈性表示在一定時期內一種商品的需求量的變動對于該商品的價格的變動的反應程度.或者說, 它是衡量一種商品的需求量對其價格變化的反應敏感程度, 這種敏感程度通常是用需求價格彈性系數(shù)來表示.其公式為需求的價格彈性系數(shù)=需求量變動率/價格變動率5同樣, 供給的價格彈性表示在一定時期內一種商品的價格變動對于該商品的供給量變動的影響.其公式為：供給的價格彈性系數(shù)=供給量變動率/價格變動率.需求的價格彈性和供給的價格彈性分為點彈性和弧彈性.而價格弧彈性的計算可以有三種情況, 它們分別是漲價時的弧彈性、降價時的弧彈性, 以及中心公式計算的弧彈性.至于到底應該采用哪一種計算方法, 這需要具體情況和需要而定.并且, 一種商品需求的價格彈性與供給的價格彈性的大小是各種影響因素綜合作用的結果, 是決定商品供求變化方向、均衡數(shù)量及價格水平的重要因素.6用西方經濟學的價格彈性理論研究中國市場的價格彈性的變化, 最關鍵是科學地計算產品的供給價格彈性和需求價格彈性.定義27 設函數(shù)y=f（x）在點x處可導，函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量之比，當時的極限稱為函數(shù)y=f（x）在點處的相對變化率，或稱為彈性函數(shù).記為.5.2.1需求價格彈性的概念與分析需求價格彈性的概念：經濟學中，把需求量對價格的相對變化率稱為需求的價格彈性.記為.由于需求函數(shù)是價格的遞減函數(shù)，所以需求彈性一般為負值.其經濟意義為：當某種商品的價格下降（或上升）1%時，其需求量將增加（或減少）.當=-1（即|=1）時，稱為單位彈性.即商品需求量的相對變化與價格的相對變化基本相等。5.2.2需求價格彈性在企業(yè)經營中的應用（1）需求價格彈性在廠商定價中的應用對廠商來說，利潤最大化是其經營目標，而廠商一般通過調整價格來實現(xiàn)這一目標，然而通過這一方式能否到預期效果還要由Ed的來定.在市場上，廠商若能判定某些商品是屬于需求富有性的，則可以采取降價的策略，也就是“薄利多銷”策略.“薄利”就是降價，降價能“多銷”，因需求增加而增加的收入大于價格下降而減少的收入，會使總收益增加，但不能采取提價的策略.比如，公園除了比較大的節(jié)日，象五一節(jié)、六一節(jié)、十一節(jié)去游玩的人比較多以外，其余的時間游人非常少，造成了社會資源的閑置，非?？上?公園的門票就屬于需求富有彈性的商品，票價應該下降，因為下降以后可以吸引大批的本地居民去公園消費.而且對于園來說，一般是固定費用較大，而變動費用較少，客增加公園支出的總費用不會有太大影響，公園在增加收入的同時，支出的費用卻增加很少，何樂而不為呢？8在市場上，商家若能夠準確地判斷出某種商品是屬于需求缺乏彈性的話，就不能采取降價的策略而應該采取提價的策略.比如，在農產品市場上，由于糧食是生活必需品，需求價格彈性小.也就是說，人們不會因為糧食便宜而多吃糧食.由于豐收了而造成糧價下跌，并不會使需求量同比例地增加，反而使總收益減少，農民蒙受損失.這就是中國古語“谷賤傷農”經濟學道理，意思是豐收了，由于糧價的下跌，農民的收入減少.以上分析了產品的需求價格彈性大小與企業(yè)總收益之間的關系及其在實際中的一些運用.在真正應用時，我們還要注意兩點：一是上面所提到的總收益包括了成本與利潤，總收益增加并不意味著利潤增加，總收益減少不意味著利潤減少.二是商品的需求價格彈性會由于人們收人水平、所處的地區(qū)等因素的改變而改變.綜上所述，企業(yè)在制定或變動產品價格時，一定要考慮自己產品需求價格彈性的大小，這樣才能夠更好地利用價格策略，在競爭中求得生存與發(fā)展.例59 某企業(yè)某產品的需求價格彈性在1.5-2.0之間，如果預計明年把價格降低10，問明年的銷售量預期會增加多少？總收入將會增加多少？ 解：由， .因此時， ，.當 時，.所以，明年該企業(yè)銷售量預期會增加15-20，總收入將會增加5-10.由此可見，在市場經濟中，企業(yè)經營者關心的是商品漲價（p0）或者降價（p0）對總收入的影響程度，利用需求彈性概念可以知道漲價未必增收，降價未必減收.（2）需求價格彈性在價格預測中的作用由于Ed在公式上等于需求量變動的百分比與價格變動的百分比之比，所以在產品需求彈性、基期價格已知的條件下，我們可以在預測未來需求量或需求量變動率后，預測商品在未來某一時期的價格.如：某一商品的彈性系數(shù)為2，2005年的銷售價格是500元，預計2006年的銷售量會從2000件上升到3000件，則可預測2006年的價格變動率=需求變動率/彈性系數(shù)=50%/2= 25%，預期價格=基期價格(1+價格變動率) = 500*1.25=625（3）需求價格彈性在需求量預測中的作用在基期需求量和已知Ed的條件下，企業(yè)在知曉價格變化的情況后，也可以用上面的原理來預測一下自己商品在未來某一時期內的需求量.5.2.3需求價格彈性在國家經濟決策中的應用（1）利用需求價格彈性合理調控經濟，做出科學決策在現(xiàn)實生活中，某些需求缺乏彈性的商品，如農場品，在供給量增加后，價格大幅下降，而需求量不會增加很多，從而使均衡價格維持在很低的水平，這就會極大的挫傷生產者的積極性，最終使得未來供應量減少，而在供應量減少后，該產品的價格就會大幅上升，而價格的大幅上升，又不會引起需求量的大幅減少，因此會均衡價格達到很高的水平.如：近來豬肉價的大幅上漲就與這種情形相似.而這種價格水平的急劇波動，對經濟的健康發(fā)展造成很大的危害，因此國家對這商品應采用最低保護價政策，維持價格的穩(wěn)定.（2）利用需求價格彈性制定科學的國貿政策一般情況下，人們普遍認為一國的貨幣貶值可以改善國際收支.實際上一國貨幣貶值是否能達到這種效果還看該國進出口商品的Ed來定, 即進出口商品的Ed之和大于1，只有在這個條件下，一國的貨幣貶值才能改善這個國家的國際收支.因此國家在制定國際貿易政策時，要充分考慮本國進出口商品的Ed，這樣才可以提高決策的科學.（3）利用需求價格彈性制定科學的稅收政策國家根據(jù)財政收支的需要和國家產業(yè)的發(fā)展規(guī)劃，對具有不同Ed的商品制定不同的征稅標準.對那些Ed為零且不關乎國計民生的商品，征收較高的稅收，從而增加國家的財政收入；而對那些富有彈性的商品，降低稅率，已達到增加需求量，促進經濟增長的目的；而對那些低彈性且關乎國計民生的商品，如農產品,國家不僅不征稅，還要提供財政補貼，鼓勵這些弱勢產業(yè)的發(fā)展.例610 某商品的需求函數(shù)為求:（1）需求價格彈性函數(shù);（2）當P=5時的需求價格彈性并說明其經濟意義；（3）當P=10時的需求價格彈性并說明其經濟意義；（4）當P=15時的需求價格彈性并說明其經濟意義.解：（1）按彈性定義：（2）由于，所以當P=5時，該商品的需求缺乏彈性，此時價格上漲1%，需求量下降.(3)由于，所以當P=10時，該商品具有單位彈性，此時價格上漲1%，將引起需求量下降1%.（4）由于，所以當P=15時，該商品是富有彈性的，此時若價格下降1%，將導致需求量增加3%.那么，“邊際”與“彈性”之間有什么聯(lián)系與區(qū)別呢？請看下面一個例子.例7 某商品的需求函數(shù)為，P為價格（1）求P=4時的邊際需求.（2）求P=4時的需求彈性.（3）當P=4時,若價格上漲1%，總需求將變動百分之幾，上升還是下降？若價格增加一個單位，總需求將變動多少，增加還是減少？（4）當P=4時，若價格上漲，總收益將變動多少？上升還是下降？若P=6時，將如何變化.（5）P為多少時，總收益最大？解：（1）, （2）（3）由彈性的經濟意義及（2）的結果可知：若價格上漲1%，總需求將下降0.54%； 由邊際的經濟意義及（1）的結果可知：若價格增加一個單位，總需求將下降8個單位.由（3）可以看出，彈性是一個相對量的比較，價格變動1%，相應的需求量將變動；而邊際則是一個絕對量，價格增加一個單位，需求量將增加或減少多少個絕對量.邊際與彈性，一個從絕對量變化的角度，一個從相對量變化的角度.但有一點它們是相同的，就是它們都是考慮在某一點時的瞬間變化情況，均是局部性的概念，而不是對整個變化過程做研究.下面看第（4）問， 總收益應為需求量與價格的乘積，即： 邊際收益收益彈性：表示p=4時，價格上升1%，總收益增加0.46%；價格增加一個單位，總收益增加27個單位.邊際收益收益彈性： 表示P=6時，價格上升1%，總收益將減少0.85%；價格增加一個單位，總收益減少33個單位.由上可見，邊際與彈性隨著P點的不同而不同，是一個局部性的概念，掌握“邊際” 與“彈性”的概念，注意它們的區(qū)別與聯(lián)系，在市場管理和制定商品價格，確定生產量等方面都具有重要的經濟意義.那么，總收益有時升，有時降，何時才能使總收益最大呢？這是一個整體性問題， 若用邊際或彈性來解決則顯得有些羅嗦，在經濟數(shù)學中，一般可用最大（?。┲祦斫鉀Q：, (舍去)所以P=5時總收益最大.53 收入彈性分析及應用 收入彈性包括需求收入彈性和供給收入彈性.需求收入彈性是指價格一定下需求量變化比例與收入的變化比例之比，是用來分析消費者收入變化與商品需求量變化的數(shù)量關系及其規(guī)律性的.用公式表示: 11一般地，商品價格不變條件下，消費者收入的變化與需求量的變化是同向的，故彈性值為正.但有些情況下，消費者收入水平提高后，對某些商品需求量反而下降，此時的彈性值為負.例如，當消費者收入水平提高后，食物結構中粗糧和蔬菜的比重會有所下降.供給收入彈性是指供給量對銷售者收入變化的反映程度，其值為供給量變化率除以收入變化率所得之商.對一般的商品生產者、即銷售者來說，其收入的增加表明利潤的增多，因而供給量也隨之增大.但對一些自給程度高(商品率低)的商品生產者來說，他們的收入增加后，供給量反而有減少的現(xiàn)象.比如農民家庭收入提高后，農副產品如禽蛋等供給就會減少.在經濟計劃中，如果要從最終產品出發(fā)進行綜合平衡，就需要確定各部門的最終產品，然后通過投入產出模型求出各部門的總支出.這時可用收入彈性進行指標分解，通常是先估計出下一時期的消費總額各類產品的收入彈性，并把消費總額分解為各類產品的最終需求.例8 某地區(qū)1995年消費總額為180億元，某產品的消費額為4億元，其收入彈性為3.1.又1996年該地區(qū)預計消費總額為200億元，則1996年該產品的消費額估計數(shù)X是多少？解:由彈性公式得: 有：X-4=3.10.1114=1.3764 故得：X=5.3764（億元）用同樣的方法可估計出其它產品的消費額.恩格爾定律是需求收入彈性應用的一個范例.其含義是12:對于一個家庭來說，收入水平越低，食物支出占消費總支出的比重就越大，反之則相反.對于一個國家來說也是這樣.因此，如果用恩格爾系數(shù)來表示食物支出變化率與總支出變化率的比值，那么，其大小同收入水平的高低(或家庭的富裕程度)成反比.由于收入等于消費儲蓄，故消費總支出可用收入代替.因此，恩格爾系數(shù)也可表示為食物支出變化率與收入變化率之比.其實質就是需求的收入彈性，西方統(tǒng)計學家經常以恩格爾系數(shù)的高低作為劃分低、中、高收入國家的標準.事實上，恩格爾系數(shù)不僅可以反映一個家庭(或國家)的收入水平和生活水平，而且更重要的是可反映出在商品價格變化的情況下，價格的同一變動對不同收入水平的家庭(或國家)的影響不是同的.比如，食物價格上漲幅度大于其它消費品價格上漲幅度時，低收入家庭更加不利.目前，恩格爾系數(shù)已被廣泛應用于消費結構的變化分析.我國的小康標準就有恩格爾系數(shù)值的規(guī)定.6.最優(yōu)分析及案例最優(yōu)化問題是經濟管理活動的核心，通常是利用函數(shù)的導數(shù)求經濟問題中的平均成本最低、總收入最大、總利潤最大等問題.對企業(yè)經營者來說，對其經濟環(huán)節(jié)進行定量分析是非常必要的.將導數(shù)作為分析工具，可以給企業(yè)經營者提供精確的數(shù)值和新的思路和視角.經濟學分析中的主要優(yōu)化問題有產出最大化分析、收入最大化分析、利潤最大化分析、資源合理利用的優(yōu)化分析、成本最小化分析以及最優(yōu)組合分析等，通常伴隨一些約束條件.通過優(yōu)化分析可以幫助企業(yè)管理者尋求最大化企業(yè)的收益，并盡量降低生產成本和管理費用，意義非常深遠.設函數(shù)是可導的，那么導函數(shù)在經濟學中叫做邊際函數(shù).西方經濟學家對它的解釋是：當時，若x再增加一個單位的量，y將增加多少，它反映的是經濟量的變化率；若是邊際成本，則反映生產量處于某一水平時，總成本的變化率等等.在經濟學中有邊際需求，邊際成本，邊際收入，邊際利潤等.6.1用邊際函數(shù)求最低成本（1）總成本、平均成本和邊際成本企業(yè)的生產成本通常被看成是企業(yè)對所購買的生產要素的貨幣支出，它可以表示成產品的函數(shù)，設為C(q) ，平均成本是總成本中每生產一單位產品的所消耗的成本；邊際成本.實際生產中也用企業(yè)增加一單位產品所付出的成本來代（2）總成本，平均成本和邊際成本曲線由平均成本和邊際成本定義可知，任何產量水平上的平均成本值都可用連接原點到總成本曲線上相應點的線段的斜率給出.任何產量水平的邊際成本，可用總成本曲線相應點曲線的切線的斜率給出.由于隨著產量的增加，企業(yè)投入的成本必定增加，所以總成本曲線是一條向右上方傾斜的曲線.由西方經濟學研究知，在達到一定的產量水平之前，總成本的增量是遞減的；在達到這個水平之后，總成本的增量是遞增的，所以總成本曲線存在拐點，所以平均成本曲線和邊際成本曲線都呈U型13.（3）邊際成本對企業(yè)生產的指導作用任何有理性的企業(yè)主總是想擴大生產規(guī)模和追求利潤的最大化，那么擴大生產規(guī)模有無限制條件？利潤最大化的前提條件是什么呢？設某企業(yè)的銷售函數(shù)為R (x)，利潤函數(shù)為P(x)，則P(x) =R (x)-C(x)，由導數(shù)的知識知，利潤P(x)的最大值一般位于 P(x)= 0處，此時，R(x)=C(x)，即邊際收益等于邊際成本時企業(yè)利潤最大(薩繆爾森原則).例914 生產某種產品q臺，總成本C（單位：千元）的函數(shù)為：.求：當產量為90臺時的總成本； 當產量為90臺時的平均成本； 當產量由90臺增加到100臺時總成本的平均變化率； 當產量為90臺時的邊際成本.解：總成本函數(shù).當產量為90臺時，總成本為（千元）. 當產量為90臺時，平均成本為(千元). 當產量由90臺增加到100臺時總成本平均變化率為(千元/臺). 當產量為90臺時，邊際成本為，（千元/臺）.上式中，表 示 當產量為90臺時，再多生產1臺總成本將增加9千元.6.2利用邊際函數(shù)求最大利潤利潤最大化是企業(yè)決策考慮的根本目標.由微積分基本原理知道：利潤最大化的點在邊際利潤等于零的點獲得15.在經濟研究中, 生產某種產品的總成本C (x)、總收入R(x)、與總利潤都是產量x的函數(shù)，因而有=R(x)-C(x), 即總利潤是總收入中除去總成本的那一部分價值.從數(shù)學的角度上來講, 利潤就是x的函數(shù), 從而將研究經濟中的最大化問題轉化為求函數(shù)的最大值問題14.由于發(fā)生最大值的點往往是函數(shù)的駐點(即:導數(shù)為0的點).由此我們來分析上面的問題：在= R (x ) - C ( x )兩邊關于產量 x求導得 ，即記作，其中MR(x)與MC(x)分別表示總收入與總成本對產量的導數(shù)，在經濟學中分別稱為邊際收入與邊際成本.令，得 MR(x)=MC(x).這就是使得利潤最大的 x所滿足的條件 (在實際問題中最值總是存在, 而且唯一 ) ，也就是說能夠使邊際收入等于邊際成本的產量值就是利潤最大化的產量值 (記作)，這也是經濟學中的一個重要定理.此外,要保證利潤是極大值,利潤對產量的二階導數(shù)必須小于零,即: 也就有其中, 是邊際收益的變動率,即邊際收益曲線的斜率, 是邊際成本的變動率,即邊際成本曲線的斜率.所以,利潤最大化的必要條件是邊際收益等于邊際成本,充分條件是邊際收益曲線的斜率小于邊際成本曲線的斜率.這一法則適用于所有的廠商,不管是競爭性的還是非競爭性的.值得注意的是，許多人認為產量越高所得利潤就越大，因而他們就極力使自己的產量增加，當然他們所獲得的總收入也在增多，但其所得利潤不一定增多.通過上面的分析，我們可以看出來，在達到某一點之前, 企業(yè)增加產量導致利潤增加；過了這一點，利潤會減少.以上只是關于導數(shù)在經濟最優(yōu)化問題方面中應用的一小部分，類似最優(yōu)化的問題在現(xiàn)實生活中隨處可見，例如稅收的最大化問題、最佳存款利息、最佳批數(shù)和批量等等，而此類問題在引入導數(shù)的概念以后更加容易解決.例10 某企業(yè) 6 月份最多生產機床100臺，銷售x臺的銷售額函數(shù)，其成本函數(shù)為C（x)=500x+400(元)，求該企業(yè)生產多少臺時獲得的利潤最大？解：，,，.令 ，即3000-40x=500.解得x=62(臺)，即該企業(yè)生產62臺機床時利潤最大.例11 某種產品的總成本C(單位:萬元)是產量x(單位:萬件)的函數(shù)，求當生產水平為x=10萬件時，從降低單位成本的角度看，繼續(xù)提高產量是否得當？解：當生產水平x=10萬件時，總成本為（萬元）.這時單位產品的平均成本為 (元/件)，邊際成本為(元/件).此時再加一件成本僅需4元，低于總平均成本()，加進這件產品時，平均成本得到下降，所以該企業(yè)還可繼續(xù)提高產量.任何有理性的企業(yè)主總是想擴大生產規(guī)模和追求利潤的最大化，那么擴大生產規(guī)模有無限制條件？利潤最大化的前提條件是什么呢？設某企業(yè)的銷售函數(shù)為R(x)，利潤函數(shù)為P(x)，則P(x)= R(x)-C(x)，由導數(shù)的知識知，利潤P(x)的最大值一般位于P(x)=0處,此時, R(x) = C(x)，即邊際收益等于邊際成本時企業(yè)利潤最大（薩繆爾森原則）15.6.3資源合理利用的優(yōu)化分析通過運用導數(shù)知識解決實際應用問題關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)。把實際問題翻譯為數(shù)學語言,找出問題的關鍵,根據(jù)題中所給條件把主要關系近似化,形式化,拋開實際意義,抽象出一個數(shù)學模型,運用導數(shù)相關知識加以解決. 具體方法是: (1)用求導法則求出函數(shù)導數(shù)。(2)令導數(shù)等于0,得出駐點及其不可導點。(3)用這些點把區(qū)間分成幾個部分,然后討論函數(shù)的單調性。(4)求出極值點及其極值。(5)求出區(qū)間端點值與極值進行比較,得到最值。也可以通過討論目標函數(shù)的二階導數(shù)的正負來判斷最值.例12 16某大樓有50間辦公室供出租,若定價每間每月租金為120元,則將全部租出.租出的辦公室每月需由房主負擔維修費10元,若月租每提高一個5元,將空出一間辦公室,試分析每月租定為多少時,比較合理?解:設每間月租提高x個5元租金收入為R(x)=(50-x)(120+5x)=-5+130x+6000維修費為10(50-x)元利潤f(x)=(50-x)(120+5x)-10(50-x)=-5+140x+5500由實際情況定出定義域為1x50求f(x)在1,50上的最大值.令f(x)=-10x+140=0,得x=14 f(x)=-100,所以x=14處取極大值.根據(jù)例1判定最值方法知,f(x)在x=14處取最大值,即當月租為120+514=190(元/間)時,可獲利最大,最大利潤為f(14)=6480,此時閑房14間.而R(x)=-5x2+130x+6000,R(x)=-10x+130,令R(x)=0,得x=13,R(x)=-100,當x=13時,即月租定為120+513=185(元/間)時,收入最大,利潤為f(13)=6475.由此看出,最大收入時的利潤與最大利潤很接近,考慮到價格對人們心理的作用,月租定為每間185元,比較合理,此時獲利6475元,閑房13間.例13 某家銀行，準備新設某種定期存款業(yè)務，假設存款量與利率成正比，經預測貸款投資的收益率為16%，那么存款利息定為多少時，才能收到最大的貸款純收益?解：設存款利率為x，存款總額為M，則由題意M與x成正比，得M=k x(k是正常數(shù))若貸款總額為M，則銀行的貸款收益為：0.16M=0.16k x而這筆貸款M要付給存戶的利息為xM=k從而銀行的投資純收益為=貸款收益-付給存戶的利息=0.16kx-k=0.16k2kx=0得X=0.08又由=-2k0和駐點唯一知，X=0.08是的最大值點.故當存款利率為8%時，可創(chuàng)最高投資純收益.例14 某工廠生產某種商品，其年銷售量為100萬件，分為N批生產，每批生產需要增加生產準備費1000元，而每件商品的一年庫存費為0.05元，如果年銷售率是均勻的，且上批售完后立即生產出下批(此時商品的庫存量的平均值為商品批量的一半).問N為何值時，才