畢業(yè)設計（論文）-基于Matlab的FIR低通濾波器設計.doc

本科畢業(yè)設計本科畢業(yè)設計 論文論文 2012 屆 論文題目論文題目 基于 Matlab的FIR低通濾波器設計 英文 Design of FIR Low pass Digital Filter Based on Matlab 所在學院 電子信息學院 專業(yè)班級 學生姓名 指導教師 指導教師 職稱 完成日期 年 月 日 基于基于 Matlab 的的 FIR 低通濾波器設計低通濾波器設計 黃麗王 浙江萬里學院電信學院電子 082 班 2012 年 4 月 摘摘 要要 FIR數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分 由于FIR數(shù)字濾波器具有 嚴格的線性相位 因此在信息的采集和處理過程中得到了廣泛的應用 本文介紹了 FIR數(shù)字濾波器的概念和線性相位的條件 分析了窗函數(shù)法 頻率采樣法和等波紋逼 近法設計FIR濾波器的思路和流程 在分析三種設計方法原理的基礎上 借助Matlab 仿真軟件工具箱中的fir1 fir2和remez子函數(shù)分別實現(xiàn)窗函數(shù)法 頻率采樣法和等波 紋逼近法設計FIR濾波器 仿真結果表明 在相頻特性上 三種方法設計的FIR濾波 器在通帶內都具有線性相位 在幅頻特性上 相比窗函數(shù)法和頻率采樣法 等波紋 逼近法設計FIR濾波器的邊界頻率精確 通帶和阻帶衰減控制 關鍵詞 關鍵詞 FIR數(shù)字濾波器 窗函數(shù)法 頻率采樣法 等波紋逼近法 Matlab Abstract In a digital signal there will be some interference signal which system does not needed often So we need to use digital filtert to filter the signal to extract the useful signal FIR digital filter is an important component of digital filter As the FIR digital filter s linear phase response is required it have been widely used in information collection and processing This paper introduced the concept of FIR digital filters and the general idea of the design Introducting and compareding the advantages and disadvantages of three kinds of the FIR filter design method and respectively design filter using the window function method the frequency sampling method and wave approximation method Especially in digital signal processing Matlab is widly used which can design requirements It is Intuitive and simple so that greatly reduce the workload This article is designed by Matlab function and simulated by Matlab software to make the tedious step in the calculation simplify It also drawed the amplitude frequency characteristic curve relatly Finally the original signal and filtered signal are contrasted and analied Key Words FIR digital filters Window function Frequency sampling Equiripple approximation method Matlab 目目 錄錄 1 引言 1 2 FIR 數(shù)字濾波器線性相位條件 2 2 1 FIR 數(shù)字濾波器概述 2 2 2 FIR 數(shù)字濾波器線性相位定義 3 2 3 FIR 數(shù)字濾波器線性相位時域約束條件 3 3 FIR 數(shù)字濾波器設計方法 5 3 1 FIR 數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設計法 5 3 1 1 窗函數(shù)設計法的設計思路 5 3 1 2 吉布斯效應 7 3 1 3 常見窗函數(shù)介紹 7 3 2 FIR 數(shù)字濾波器的頻率采樣設計法 10 3 2 1 頻率采樣法的基本思路 10 3 2 2 頻率采樣法的設計步驟 11 3 3 FIR 數(shù)字濾波器的等波紋逼近設計法 13 3 4 不同設計方法的比較 16 4 基于 Matlab 的 FIR 數(shù)字濾波器設計 17 4 1 Matlab 簡介 17 4 2 窗函數(shù)法的 Matlab 實現(xiàn) 18 4 2 1 fir1 函數(shù)介紹 18 4 2 2 基于 fir1 函數(shù)的窗函數(shù)法 FIR 濾波器設計 18 4 3 頻率采樣法的 Matlab 實現(xiàn) 21 4 4 等波紋逼近法的 Matlab 實現(xiàn) 22 5 結論 24 致謝 25 參考文獻 26 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 1 1 引言引言 隨著信息科學和計算機技術的不斷發(fā)展 數(shù)字信號處理 DSP Digital Signal Processing 的理論和技術也得到了飛速的發(fā)展 并逐漸成為一門重要的學科 它 的重要性在日常通信 圖像處理 遙感 聲納 生物醫(yī)學 地震 消費電子 國 防軍事 醫(yī)療方面等顯得尤為突出 在我們面臨的信息革命中 數(shù)字信號處理幾 乎涉及了所有的工程技術領域 1 數(shù)字信號處理是一種將信號以數(shù)字形式進行處理的一種理論和技術 它的目 的是將真實世界中的一些信號進行分析并濾波 最后得出其中的有用的信號 數(shù) 字濾波器是數(shù)字信號處理的一種 一般根據(jù)單位脈沖響應h n 分為無限脈沖響應 IIR 和有限脈沖響應 FIR 系統(tǒng) IIR數(shù)字濾波器的設計方法簡單 特別是采用雙線 性變換法來設計的數(shù)字濾波器不存在頻域混疊的現(xiàn)象 但是IIR濾波器存在一個較 為明顯的缺憾 就是它的相位響應一般都是非線性的 而在傳輸頻帶內的相位響 應如果不是線性的 就會造成有用信號的傳輸失真 而FIR數(shù)字濾波器不僅可以設 計成任意的幅度響應 而且可以設計成在通頻帶內具有良好的線性相位響應 FIR 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應h n 有限長 所以FIR數(shù)字濾波器是穩(wěn)定的 不存在穩(wěn) 定性的問題 且可以通過快速傅里葉變換 FFT 的算法來實現(xiàn)信號濾波 大大的提 高的運算效率 因此 FIR數(shù)字濾波器日益引起了人們的關注 FIR數(shù)字濾波器的設計方法有很多 比較常用的有窗函數(shù)設計法 頻率采樣設 計法 等波紋逼近法等 本課題通過運用窗函數(shù)設計法 頻率采樣設計法和等波 紋逼近法來設計FIR數(shù)字低通濾波器 并實現(xiàn)對給定的信號進行濾波比較 其中窗 函數(shù)設計法是最基本的數(shù)字濾波方法 是利用傅里葉反變換 IDTFT 計算給定的頻 響的理想單位脈沖響應 再加以窗函數(shù)進行截斷和平滑 等波紋逼近法又稱切比 雪夫逼近法 是一種最小化最大誤差的頻域逼近方法 2 Matlab軟件的信號處理 工具箱提供了FIR數(shù)字濾波器設計的子函數(shù) 運用Matlab軟件設計可以避免繁雜的 數(shù)學運算 而且具有豐富的繪圖功能 可以方便地查看所設計的數(shù)字濾波器的幅 度響應和相位響應是否滿足設計要求 因此 本課題在理論分析各種FIR數(shù)字濾波 器設計方法的基礎上 運用Matlab軟件進行仿真分析 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 2 2 FIR 數(shù)字濾波器線性相位條件數(shù)字濾波器線性相位條件 2 1 FIR 數(shù)字濾波器概述 一般來說一個經(jīng)典的數(shù)字濾波器是一個線性時不變系統(tǒng) 其數(shù)學模型可以用 Z域系統(tǒng)函數(shù)來表示 H z 2 1 1 0 1 1 N r r r M k k k b z H z a z 其中均為濾波器參數(shù) kr a b N M 在 2 1 中 當值不全為零值時 Z域系統(tǒng)函數(shù)的必定含有一個或一 k a H z 個以上的極值點 此時單位脈沖響應為無限長 對于一個穩(wěn)定的數(shù)字濾波器來 說 Z域系統(tǒng)函數(shù)必須在單位圓內 因而把含有極值點的Z域系統(tǒng)函數(shù) H z 的數(shù)字濾波器稱為無限脈沖響應數(shù)字濾波器 Infinite Impulse Response 即 H z IIR數(shù)字濾波器 而當值全為零時 Z域的系統(tǒng)函數(shù)只有一個零點 2 1 表示的系統(tǒng) k a H z 函數(shù)可以寫成 H z 2 2 1 0 N r r r H zb z 公式 2 2 表明 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是的階多項式 在有限 1 z 1 N 平面上有個零點 而在 平面原點處有階極點 z 0 n 1 N zz 0 1 N 2 2 式表示的系統(tǒng) 其單位脈沖響應可以表示為 2 3 1 0 N r r h ny nbnr 在 2 3 中 只有當 才有非零值 所以數(shù)字濾波器的脈01nN h n 沖響應是有限長的 因此在數(shù)字信號處理中把這種數(shù)字濾波器稱為有限脈沖響應 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 3 數(shù)字濾波器 Finite Impulese Response 即FIR數(shù)字濾波器 FIR數(shù)字濾波器最突出的兩個優(yōu)點是 1 只要對附加一定的條件 就很容易獲得嚴格的線性相位 h n 2 由于的極點位于原點處 所以FIR數(shù)字濾波器不存在穩(wěn)定性問 H zz 0 題 2 2 FIR 數(shù)字濾波器線性相位定義 設FIR數(shù)字濾波器脈沖響應的長度為N 則其頻率響應可以表示為 2 4 1 0 N jj n n H eh n e 上式通過歐拉恒等式展開可得到的相位特性 有兩種線性相位特 j H e 性 通常稱為第一類線性相位和第二類線性相位 第一類線性相位特性 是一個與無關的常數(shù) 第二類線性相位特性 是起始相位 0 0 嚴格地說第二種情況時的是不具有線性相位特性的 但上述兩種情況都 滿足群延遲是一個常數(shù) 仍可以視為具有線性相位的 在第二類線性相位中 是常用的一種情況 0 2 2 3 FIR 數(shù)字濾波器線性相位時域約束條件 對于第一類線性相位 即 通過一系列的運算整理之后可得到一 個三角函數(shù)求和公式 2 5 1 0 sin 0 N n h nn 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 4 式中正弦函數(shù)為奇對稱 當時 對稱中心為 sin h nn 1 2N 需要滿足關于偶對稱 即要求 n 1 2N h n 1 2N 2 6 1 h nh Nn 10 Nn 對于第二類線性相位 即時 通過運算得到公式 2 2 7 1 0 cos 0 N n h nn 函數(shù)為偶對稱 當時 對稱中心也為 cos h nn 1 2N 若要使上式成立 則要使關于奇對稱 即要求 1 2nN h n 1 2N 2 8 1 h nh Nn 10 Nn 從上述分析看來 線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域約束條件是指滿足線性相位 時對的約束條件 對于第一類線性相位 沖激響應h n 滿足 2 6 式 對于 h n 第二類線性相位 沖激響應h n 滿足 2 8 式 3 5 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 5 3 FIR 數(shù)字濾波器設計方法數(shù)字濾波器設計方法 FIR 數(shù)字濾波器的設計方法主要有窗函數(shù)設計法 頻率采樣設計法以及等波 紋逼近設計法三種 其中窗函數(shù)設計法是最常用的 其次是頻率采樣法 但這兩 種方法在設計中還會存在一些不足之處 所以需要優(yōu)化的設計方法 而等波紋逼 近法很好的彌補了窗函數(shù)法和頻率采樣法的不足 6 7 3 1 FIR 數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設計法 3 1 1 窗函數(shù)設計法的設計思路 窗函數(shù)設計法是FIR數(shù)字濾波器里最簡單的一種設計法 又叫傅里葉級數(shù)法 為了設計簡單方便 通常選擇所希望逼近的濾波器的頻率響應函數(shù)為具 j d He 有片段常數(shù)特性的理想濾波器 尋找一組 確定其頻率響應 h n 然后用來逼近 1 窗函數(shù)法設計FIR濾波器 1 0 N jj n n H eh n e j H e j d He 是在時域中進行的 那么可以通過傅里葉反變換得到得到頻率響應 j d He 即 3 1 1 2 jjn dd HnHeed 在實際中 一般是處于逐段恒定的 在邊界頻率處有不連續(xù)點 因 j d He 而單位脈沖響應是無限長的非因果序列 不能直接作為FIR數(shù)字濾波器的單 d h n 位脈沖響應 因此需要對進行階段 轉換為有限長的一段因果序列 也就是 d h n 用一個有限長度的窗函數(shù)序列來截取 即 并將非因 n d h n d h nnh n 果序列轉變?yōu)橐粋€因果序列 截取的長度和加權窗函數(shù)的形狀都直接影響到逼近 精度 窗函數(shù)法設計FIR濾波器過程如圖3 1所示 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 6 加窗 計算 開始 正確逼近理想濾波器頻率響應函數(shù) j d He 求理想濾波器的單位脈沖響應 d h n j H e 選擇窗函數(shù)w n 和窗長度N d h nh nn 是否滿足要求 j H e 計算h n 或H z 結束 是 否 圖3 1 窗函數(shù)法設計FIR濾波器流程 以截止頻率為 相位為零的理想低通濾波器為例 其頻率特性為 c 3 2 1 0 cj d c He 通過傅里葉反變換得到對應的為 d h n 3 3 sin c d n h n n 此時的是一個無限長的非因果序列 我們需要對其進行截斷 變成一個 d h n 有限長的因果序列 可以先把向右平移個點 得到為 d h n 1 2aN d hn 3 4 1 sin 2 1 2 c dd N n hnh na N n 相應的傳輸函數(shù)為 j d He 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 7 3 5 jjj aj a ddd Heh eeHe 然后對截取從0到的N個點 N為窗函數(shù)的長度 所得的結果 d hn1N 表示為 h n 3 6 d h nnhn 表示窗函數(shù) 一般用下標來表示窗函數(shù)的類型 矩形窗記為 n R n 3 1 2 吉布斯效應 用窗函數(shù)對進行直接截斷 得到有限長序列 并以代 d hn h n h n 替 肯定會引起誤差 表現(xiàn)在頻域就是通常所說的吉布斯 Gibbs 效應 對于 d h n 一個在有限區(qū)間分布的信號 其連續(xù)頻譜在頻域上分布往往是無限的 而在實際 信號處理時 我們通常只能在有限的區(qū)間內做傅里葉分析 也就是說 我們只能 用有限區(qū)間來代替理論分析中的無限區(qū)間 多數(shù)情況下 我們總是選擇信號的低 頻部分 而舍棄高頻部分 而信號的高頻部分往往是反應信號快速變化特征 如 果信號本身是連續(xù)的 這樣做一般不會引起信號的顯著變化 但實際中的信號往 往是比較豐富的 特別是信號本身存在劇烈變化的 這樣做必定會引起一些誤 差 該誤差引起過渡帶加寬以及通帶和阻帶內的波動 8 為了減小吉布斯效應帶 來的影響 需要調整窗口的長度來控制過渡帶的寬度 但要減小帶內的波動以及 增大阻帶衰減 還需要從窗函數(shù)的形狀上尋找解決方法 為了減少序列因截斷而產(chǎn)生的Gibbs效應 窗函數(shù)在設計時需要注意 1 頻率特性的主瓣要盡可能的窄 并且盡量把能量都集在主瓣內 2 窗函數(shù)頻率特性的旁瓣趨于的過程中 其能量迅速減小為零 3 1 3 常見窗函數(shù)介紹 常見的窗函數(shù)有矩形窗 Rectangle Window 三角形窗 Bartlerr Window 漢寧 Hanning 窗 升余弦窗 哈明 Hamming 窗 改進的 升余弦窗 布萊克曼 Blackman 窗 凱塞 貝塞爾窗 Kaiser Basel Window 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 8 矩形窗的窗函數(shù)為 3 7 1 1 2 0 otherwise R N n n 其頻譜的幅度函數(shù)為 3 8 sin 2 sin 2 g R N W 矩形窗的主瓣寬度為 用矩形窗設計的FIR數(shù)字濾波器的過渡帶寬度近4 n 似為 1 8 N 三角形窗的窗函數(shù)為 3 9 21 0n 1 12 21 2 1 1 12 B n N N n n NnN N 其頻譜的幅度函數(shù)為 3 10 2 2sin 4 sin 2 g B N W N 三角窗的主瓣寬度為 8 n 漢寧窗窗函數(shù)為 3 11 2 0 50 5cos 0 1 0 H n nN nN otherwise 漢寧窗的頻譜的幅度函數(shù)為 3 12 22 0 5 0 25 11 HRRR WWWW NN 漢寧窗的主瓣寬度為 漢寧窗在其兩個端點都為零 實際中這兩個端8 n 點的數(shù)據(jù)是不可用的 哈明窗的窗函數(shù)為 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 9 3 13 2 0 540 46cos 0 1 0 H n nN nN otherwise 其幅度函數(shù)為 3 14 22 0 54 0 23 11 HRRR WWWW NN 哈明窗是一種改進的余弦窗 能量更加集中在主瓣 是一種高效的窗函數(shù) 主瓣寬度與漢寧窗的相同 布萊克曼窗窗函數(shù)為 3 15 241 0 420 5cos0 8cos 112 0 B nnN n nNN otherwise 其頻譜的幅度函數(shù)為 3 16 22 0 42 0 25 11 44 0 04 11 BRRR RR WWWW NN WW NN 該窗函數(shù)位移不同 幅度函數(shù)也不同 會使旁瓣進一步抵消 主瓣寬度為 12 N 凱塞窗是一種最優(yōu)窗函數(shù) 不同于前面五種窗函數(shù) 凱塞窗是一種參數(shù)可調 的窗函數(shù) 其函數(shù)形式如下 3 17 01 o K o I nnN I 其中 3 18 2 2 1 1 1 n N 2 1 1 1 2 k o k I k 一般取15 25項可以滿足精度要求 參數(shù)可以控制窗的形狀 一般 o I 越大 主瓣越寬 而旁瓣幅度會隨之減小 典型的數(shù)據(jù)在4到9之間 各種窗函數(shù)的性能比較如表3 1所示 表3 1 不同窗函數(shù)性能比較 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 10 窗函數(shù)類型旁瓣峰值 dB 阻帶最小衰減 dB 過渡帶寬度 P N 矩形窗13214 三角窗25258 漢寧窗31448 續(xù)表3 1 哈明窗41538 布萊克曼窗577412 凱塞窗 5 6 51607 442 雖然窗函數(shù)設計法設計思路簡單 但是它的邊界頻率不容易控制 而且窗函 數(shù)還有吉布斯效應 需要選擇不同的窗函數(shù)來減小吉布斯效應對結果的影響 但 無論哪種窗函數(shù) 都無法很好的解決這一問題 所以我們需要通過其他的設計方 法來進行濾波 便于滿足實際工程中的不同要求 3 2 FIR 數(shù)字濾波器的頻率采樣設計法 3 2 1 頻率采樣法的基本思路 窗函數(shù)設計法是從時域出發(fā)來設計FIR數(shù)字濾波器的 而頻率采樣法是從頻域 出發(fā)設計FIR數(shù)字濾波器的 和窗函數(shù)設計法相同 頻率采樣法也需要預先構造一 個希望逼近的濾波器頻率響應函數(shù) 對其加以等間隔采樣后 作為FIR數(shù) j d He 字濾波器的頻率響應 對在到之間等間隔采樣點 得到頻率采 j d He 0 2 N 樣值 d Hk 3 19 2 0 1 2 1 j dd k N HkHekN 再對進行點IDFT 得到 d HkN h n 3 20 1 0 1 0 1 2 1 N kn dN k h nHk WnN N 將作為所涉及的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應 其系統(tǒng)函數(shù)為為 h n H z 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 11 3 21 1 0 N n n H zh n z 由于濾波器頻率響應是理想的 即有間斷點 那么其單位沖 j d He j d He 激響應是無限長的 這樣 由于時域混疊 引起所設計的h n 和有偏 nhd nhd 差 因此 采樣點處與相等 逼近誤差為0 而在采樣 2 k j k H ek N H k 點之間 由有限項的之和形成 其誤差和特性 j H e 2 H kk N j d He 的平滑程度有關 特性愈平滑誤差愈小 特性曲線間斷點處 誤差越大 誤差表 現(xiàn)形式為間斷點用傾斜線取代 且間斷點附近形成振蕩特性 使阻帶衰減減小 往往不能滿足實際工程中的技術要求 當然 增大N值 可以減小逼近誤差 但 間斷點附近誤差仍然最大 且N太大會增加濾波器級數(shù)與成本 提高阻帶衰減最 有效的方法是在頻響間斷點附近區(qū)間內插一個或幾個過渡采樣點 使不連續(xù)點變 成緩慢過渡 過渡帶采樣點個數(shù)與阻帶最小衰減的關系以及使阻帶最小衰減最大化的 s s 每個過渡帶采樣值求解都要用優(yōu)化算法解決 其基本思路是將過渡帶采樣值設為 一個自由量 用一種優(yōu)化算法改變它們 最終使阻帶最小衰減最大 將過渡帶 s 采樣點的個數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減的經(jīng)驗數(shù)據(jù)列于表3 2中 我們可以根據(jù) s 給定的阻帶最小衰減 選擇過渡帶采樣點的個數(shù)m s 表3 2 過渡帶采樣點的個數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減的經(jīng)驗數(shù)據(jù) s m123 s 44 54dB65 75dB85 95dB 3 2 2 頻率采樣法的設計步驟 首先根據(jù)阻帶最小衰減按照表3 2選擇過渡帶采樣點的個數(shù) 再確定過 s m 渡帶寬度 估算頻域采樣點數(shù) 如果增加個過渡帶采樣點 則過渡帶寬度 t BNm 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 12 近似變成 當確定時 過渡帶會隨著的增大而變寬 如果給定 1 2 mN Nm 的過渡帶寬度為 則要求 濾波器的長度必須滿足以下公 t B 1 2 t mNB N 式 3 22 2 1 t Nm B 接著 構造一個希望逼近的頻率響應函數(shù) 3 23 1 2 jjN ddg HeHe 設計標準型片段常數(shù)特性的FIR數(shù)字濾波器時 一般構造幅度特性函數(shù) 為相應的理想頻響特性 且滿足的對稱情況 dg H h n 對 3 23 進行頻域采樣 3 24 1 2 0 1 2 1 N jk j N dg k N H kHeHk ekN 3 25 2 k 0 1 2 N 1 gdg HkHk N 并加入過渡帶采樣 過渡帶采樣值一般為經(jīng)驗值 或者用累試法確定 也可 以采用優(yōu)化算法估算 對進行點IDFT 得到第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響 H kN 應 3 26 1 0 1 n 0 1 2 N 1 N kn N k h nIDFT H kH k W N 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 13 求出 開始 確定所逼近的 估算采樣點數(shù)N與過渡帶采樣點數(shù)m j d He 采樣 2 1 2 1 jk N dd HkHekN 插入過渡帶采樣點數(shù) 0 1 2 1 d h nIDFT HknN 求出 j H eFFT h n 是否滿足要求 j H e 輸出設計結果 或 h n H z 結束 增加過渡帶采樣點數(shù) 改變N的值 是 否 圖3 2 頻率采樣法設計FIR濾波器流程 最后檢驗設計結果 如果阻帶最小衰減未達到指標要求 則要改變過渡帶的 采樣值 直到滿足指標要求為止 如果濾波器的邊界頻率未達到指標要求 則需 要微調的邊界頻率 頻率采樣法設計FIR濾波器流程如圖3 2所示 dg H 頻率采樣法最大的優(yōu)點就是直接從頻率進行設計 比較直觀 也適合于設計 具有任意幅度特性的濾波器 但是頻率采樣法在邊界頻率不容易控制 如果采樣 點數(shù)N增加 對確定邊界頻率有好處 但同樣會增加了濾波器的成本 因此只適 合窄帶濾波 且這種設計方法理解起來比較困難 3 3 FIR 數(shù)字濾波器的等波紋逼近設計法 窗函數(shù)設計法和頻率采樣設計法雖然設計方法簡單 但都存在濾波器邊緣頻 率不易精確控制缺點 且這兩種設計方法設計出來的濾波器的通帶和阻帶的波動 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 14 幅度都是相等的 兩種設計方法都不能分別控制通帶和阻帶的波動幅度 而現(xiàn)實 工程中往往對二者都有不同的要求 需要分別進行控制 等波紋逼近法是一種優(yōu)化設計方法 它克服了窗函數(shù)設計法和頻率采樣法的 缺陷 是最大誤差最小化設計方法 并在整個逼近頻段上均勻分布 設為希望逼近的幅度特性函數(shù) 且要求設計線性相位的FIR數(shù)字濾波器 d H 時 必須滿足線性相位約束條件 用表示實際設計的幅度特性函 d H g H 數(shù) 定義加權誤差函數(shù)為 E 3 27 dg EWHH 式中 被稱為誤差加權函數(shù) 是由設計者定義的 用來控制不同 0W 頻段的逼近精度 經(jīng)過推導可把統(tǒng)一標示為 g H Q P g H 式中 是系數(shù)不同的余弦組合式 記 P n nnaP cos 是不同的常數(shù) 在設計FIR濾波器時存在四種線性相位 當Q 且奇對稱時 N為奇數(shù) 為1 N為偶數(shù)時 為 1 h nh Nn Q Q 而當偶對稱時 不管N為奇數(shù)還是偶數(shù) 都取cos 2 1 h nh Nn Q sin 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 15 開始 設定加權函數(shù) 及通帶波紋峰值 E E P 設定初始頻率 計算 并求出 的新極值點 多于 個極值 選 個 最大極值點 得到最優(yōu)化的 個極值 計算 的系數(shù) 結束 是 否 否 是 1N 1N 1N 極值點位置是否改變 圖3 3 remez算法搜索最佳頻率點流程 等波紋逼近的問題就是選擇N個系數(shù)a n 使加權誤差的最大值最小 E 設定誤差加權函數(shù) 通帶波紋峰值 及N 1個初始頻率 i i 0 1 2 N 計算各 個頻率點上的加權誤差函數(shù)值 如果這些加權誤差函數(shù)值小于等于給定的通帶波 紋峰值 則為最佳頻率點 如果某個頻率點上的加權誤差函數(shù)值大于給定的通帶 波紋峰值 就用Remez算法更新迭代查找最佳頻率點 找到最佳頻率點后 計算 系數(shù)及 Remez算法搜索最佳頻率點流程如圖3 3所示 P P 借助Remez算法來設計等波紋的FIR數(shù)字濾波器的步驟如下 給出所需的頻率響應 誤差加權函數(shù)和單位脈沖響應的長 d H W h n 度N 根據(jù)具體情況 進行統(tǒng)一表達式的轉換 設定初始頻率點和通帶波 g H 紋值 采用Remez算法計算最佳頻率點組 由最佳頻率點組計算及系 P P 數(shù) 根據(jù)求出的的表達式再利用傅里葉逆變換求得濾波器的單位脈沖響應 P 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 16 用等波紋逼近法設計線性相位FIR濾波器的流程如圖3 4所示 h n 輸入濾波器技術要 求 設定誤差加權函數(shù) 及通帶波紋峰值 d N H 給出N 1個交錯點組頻率初 始值 0 1 2 i iN 調用remez算法程序求解 最佳極值頻率 計算 P 計算單位脈沖響應 h n 輸出最佳誤差和 h n 圖3 4 等波紋逼近法設計FIR濾波器流程 利用等波紋逼近法設計FIR濾波器 其誤差均勻分布在頻帶中 可以得優(yōu)良的 濾波特性 它在同樣過渡帶較窄的情況下 通帶最穩(wěn)定 阻帶有最大化的最小衰 減 3 4 不同設計方法的比較 窗函數(shù)設計法是這三種設計法里操作最簡單的 但是窗函數(shù)的設計階數(shù)相對 其他兩種更多 如果降低了設計的階數(shù) 則最后得到的設計結果往往不能達到實 際設計的要求和指標 除矩形窗之外 其他窗可以滿足一般的設計指標 但在要 求精度較高的時候 窗函數(shù)設計往往不能很好的達到要求 頻率采樣法設計濾波器相對于窗函數(shù) 其階數(shù)稍微比窗函數(shù)要少 但要通過 優(yōu)化過渡帶的采樣點取值來控制阻帶的波紋幅度 所以并不能很好的滿足工程中 的要求 而等波紋逼近法是這三種方法中階數(shù)最少的 且通帶最大衰減是最小的 阻 帶衰減最大 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 17 4 基于基于 Matlab 的的 FIR 數(shù)字濾波器設計數(shù)字濾波器設計 4 1 Matlab 簡介 Matlab 是 MATrix LABoratory 矩陣實驗室 的縮寫 是由美國 MathWorks 公司開發(fā)的集數(shù)值計算 符號計算和圖形可視化三大基本功能于一體 的 功能強大 操作簡單的語言 Matlab 是國際公認的優(yōu)秀數(shù)學應用軟件之一 它集中了日常數(shù)學處理中的各種功能 包括高校的數(shù)值計算 矩陣運算 信號處 理和圖像生成等功能 在 Matlab 環(huán)境下 用戶可以進行程序設計 數(shù)值計算 圖 形繪制 輸入輸出 文件管理等各項操作 除此之外 Matlab 易于擴充 除內部 函數(shù)外 所有 Matlab 的核心文件和工具箱文件都是可讀可改的源文件 用戶可修 改源文件和加入自己的文件 它們可以與庫函數(shù)一樣被調用 9 Matlab是一種矩形運算為基礎的交互式程序語言 著重針對科學計算 工程 計算和繪畫的需求 與其他機器語言相比 其特點是簡單和智能化 適應科技專 業(yè)人員的思維方式和書寫習慣 使得編程和調試效率大大提高 Matlab由一系列工具組成 這些工具方便用戶使用 Matlab的函數(shù)和文 件 其中許多工具采用的是圖形用戶界面 包括 Matlab桌面 命令窗口 歷 史命令窗口 編輯器和調試器 路徑搜索和用于用戶瀏覽幫助 工作空間 文件的瀏覽器 隨著 Matlab的商業(yè)化以及軟件本身的不斷升級 Matlab的用 戶界面也越來越精致 更加接近 Windows的標準界面 人機交互性更強 操作 更簡單 Matlab自產(chǎn)生之日起就具有方便的數(shù)據(jù)可視化功能 將向量和矩陣用 圖形表現(xiàn)出來 并且可以對圖形進行標注和打印 高層次的作圖包括二維和 三維的可視化 圖象處理 動畫和表達式作圖 可用于科學計算和工程繪圖 Matlab 具有功能強大的工具箱 工具箱可分為兩類 功能性工具箱和學科性 工具箱 功能性工具箱主要用來擴充其符號計算功能 圖示建模仿真功能 文字 處理功能以及與硬件實時交互的功能 而學科性工具箱是專業(yè)性比較強的 如優(yōu) 化工具箱 統(tǒng)計工具箱 控制工具箱 小波工具箱 圖象處理工具箱 通信工具 箱等 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 18 4 2 窗函數(shù)法的 Matlab 實現(xiàn) Matlab 信號處理工具箱提供了基于加窗的線性相位 FIR 濾波器設計函數(shù) fir1 4 2 1 fir1 函數(shù)介紹 fir1 調用格式為 b fir1 n Wc ftype window 函數(shù)參數(shù)說明如下 1 n 表示濾波器的階數(shù) 2 Wc 為濾波器的歸一化截止頻率 它是一個大于 0 小于 1 的一個數(shù) 3 ftype 表示所設計濾波器的類型 如果 ftype high 則表示高通濾波器 如 果 ftype stop 則表示帶阻濾波器 如果此時沒有參數(shù) 就表示低通濾波器 4 window 表示的是指定的窗函數(shù) 如矩形窗為 rectwin n 三角窗為 bartlett n 如果缺省 window 參數(shù) 則 fir1 默認為是哈明窗 hamming n 4 2 2 基于 fir1 函數(shù)的窗函數(shù)法 FIR 濾波器設計 下面給出利用 fir1 函數(shù)的窗函數(shù)法數(shù)字低通濾波器 利用 fir1 函數(shù)進行設計 這種設計方法只需要給出濾波器的階數(shù) 截止頻率 窗函數(shù)等參數(shù) Matlab 即可 自行完成設計 并可通過 freqz 函數(shù)查看濾波器的幅頻響應和相頻響應 以驗證濾 波器是否滿足設計要求 設計程序如下 n 27 設濾器的階數(shù)為 27 Wn 0 2 歸一化截止頻率為 0 2 window rectwin 28 矩形窗 b fir1 n Wn window freqz b 運行結果如圖 4 1 所示 從幅頻響應上看 通帶波動約為 1dB 且?guī)扔羞^沖現(xiàn)象 0 2 截止頻率處的 衰減為 6 5dB 即截止頻率發(fā)生了漂移 3dB 截止頻率為 0 182 阻帶波紋較大 因而阻帶特性較不理想 阻帶最小衰減約為 21dB 相頻響應曲線在通帶內為直線 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 19 效果較好 信號失真小 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 600 400 200 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 100 50 0 50 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 圖 4 1 矩形窗 FIR 濾波器幅頻和相頻特性曲線 利用三角窗進行設計時 原理與矩形窗基本相同 只不過生成窗函數(shù)時采用 triang n 函數(shù)生成三角窗 程序運行結果如圖 4 2 所示 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 2500 2000 1500 1000 500 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 100 50 0 50 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 圖 4 2 三角窗設計的 FIR 濾波器幅頻和相頻特性曲線 從幅頻響應上看 通帶平坦沒有波動 阻帶最小衰減約為 25dB 相頻響 應曲線在整個頻率范圍內為直線 滿足線性相位要求 利用哈明窗進行設計時 原理與矩形窗相同 只不過生成窗函數(shù)時采用 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 20 hamming n 函數(shù)生成三角窗 程序運行結果如下 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 800 600 400 200 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 150 100 50 0 50 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 圖 4 3 哈明窗設計的 FIR 濾波器幅頻和相頻特性曲線 利用布萊克曼窗進行設計時 原理與矩形窗基本相同 只不過生成窗函數(shù) 時采用 blackman n 函數(shù)生成布萊克曼窗 程序運行結果如下 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 1500 1000 500 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 200 150 100 50 0 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 圖 4 4 布萊克曼窗設計的 FIR 濾波器幅頻和相頻特性曲線 利用凱塞窗進行設計時 原理與矩形窗基本相同 只不過生成窗函數(shù)時采用 kaiser n beta 函數(shù)生成凱塞窗 程序運行結果 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 21 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 800 600 400 200 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 150 100 50 0 50 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 圖 4 5 凱塞窗設計的 FIR 濾波器幅頻和相頻特性曲線 4 3 頻率采樣法的 Matlab 實現(xiàn) 頻率采樣法設計FIR濾波器流程如圖3 2所示 因此利用Matlab軟件設計FIR濾 波器時 可以根據(jù)3 2的流程編寫程序實現(xiàn) 但Matlab軟件工具箱提供了fir2子函 數(shù) 可以利用fir2子函數(shù)快速方便地設計FIR濾波器 避免了繁雜的數(shù)學運算 fir2 子函數(shù)調用格式為 b fir2 n F A 函數(shù)參數(shù)說明如下 1 n 表示濾波器的階數(shù) 2 F 為濾波器的歸一化頻率點 在 0 1 范圍內取值 1 表示實際頻率為 fs 2 3 A 為頻率響應幅度 參數(shù)F和A共同描述了預先設定的理想濾波器的頻率響應 可以借助plot函數(shù) 畫圖觀察幅頻特性曲線 下面用頻率采樣法設計一個通帶截止頻率為0 2 的FIR數(shù)字低通濾波器 設濾 波器階數(shù)n 27 編寫程序 n 27 設濾器的階數(shù)為33 F 0 0 2 0 3 1 理想濾波器的頻率響應 A 1 0 707 0 0 b fir2 n F A 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 22 freqz b 經(jīng)過運算得FIR濾波器的幅頻特性如圖4 6所示 圖4 6 頻率采樣法設計的FIR低通濾波器的幅頻和相頻特性曲線 從4 6幅頻特性曲線可知 0 2 截止頻率處的衰減為4 7dB 即截止頻率發(fā)生 了漂移 3dB截止頻率為0 165 通帶內的相頻特性為直線 滿足線性相位要 求 4 4 等波紋逼近法的 Matlab 實現(xiàn) 頻率采樣法設計FIR濾波器流程如圖3 4所示 因此利用Matlab軟件設計FIR濾 波器時 可以根據(jù)3 4的流程編寫程序實現(xiàn) 但Matlab軟件工具箱提供了remez子 函數(shù) 可以利用remez子函數(shù)快速方便地設計FIR濾波器 避免了繁雜的數(shù)學運 算 remez 函數(shù)有幾種調用格式 常見的一種調用格式為 b remez n f a w 函數(shù)參數(shù)說明如下 1 n 表示濾波器的階數(shù) 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 23 2 f 為濾波器的歸一化頻率點 在 0 1 范圍內取值 1 表示實際頻率為 fs 2 3 a 為頻率響應幅度 參數(shù)f和a共同描述了預先設定的理想濾波器的頻率響應 4 w表示通帶和阻帶波紋控制 下面用 remez 函數(shù)設計一個 27 階的 FIR 低通濾波器 其通帶截止頻率為 0 2 通帶波紋最大為 0 04 阻帶截止頻率為 0 3 阻帶波紋最大為 0 02 程序 如下 n 27 f 0 0 2 0 3 1 a 1 1 0 0 w 0 04 0 02 b remez n f a w freqz b 程序運行結果如圖 4 7 所示 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 800 600 400 200 0 Normalized Frequency rad sample Phase degrees 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 100 50 0 50 Normalized Frequency rad sample Magnitude dB 圖4 7 等波紋逼近法設計的FIR低通濾波器幅頻和相頻特性曲線 同樣是設計一個 27 階的 FIR 低通數(shù)字濾波器 比較 fir1 窗函數(shù)法 fir2 頻率 采樣法和 remez 等波逼近法的設計結果 可以看出 1 窗函數(shù)法和頻率采樣法設計濾波器時 濾波器邊緣頻率不易精確控制 通帶和阻帶的波動幅度 也不易控制 2 利用等波紋逼近法可以較好的控制濾波器的邊緣頻率及通帶和阻帶的波動幅度 浙江萬里學院本科畢業(yè)論文 24 5 結論結論 論文主要分析了 FIR 數(shù)字濾波器的基本理論 討論了 FIR 數(shù)字濾波器的線性 相位種類及其約束條件 分析了窗函數(shù)設計法 頻率采樣設計法 等波紋逼近法 三種不同的設計方法 并借助 Matlab 軟件對這三種設計方法進行了對比分析 窗函數(shù)設計法對信號加窗之后會使不連續(xù)點處邊沿加寬形成過渡帶 其寬度 兩肩峰之間的寬度 等于窗函數(shù)頻率響應的主瓣寬度 在處出現(xiàn)2 c N 肩峰值 兩側形成起伏振蕩 振蕩的幅度和多少取決于旁瓣的幅度和多少 改變 N 只能改變窗譜的主瓣寬度 但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例 其相對比例由 窗函數(shù)形狀決定 窗函數(shù)設計法設計 FIR 數(shù)字濾波器是傅里葉變換的典型運用 而頻率采樣法 設計的指導思想是通過頻域采樣點實現(xiàn)的 同時為了保證過渡帶寬的不變 濾波 器的采樣點數(shù)也要相應增加 這就要求在用頻率采樣法設計濾波器時綜合考慮阻 帶衰減和濾波器長度的要求 從而達到設計的最優(yōu)化 頻率采樣設計的優(yōu)點是直 接從頻域出發(fā) 設計比較直觀 也適用于設計任何幅度特性的濾波器 但這種設 計法