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2008年元濟(jì)中學(xué)高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽試題班級(jí) 姓名 得分 一、 選擇題(每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng))1化簡(jiǎn)得( ) (A) (B) (C) (D)2已知集合,則下列正確的是( )(A) (B)(C) (D) 3當(dāng)時(shí),則下列大小關(guān)系正確的是( ) (A) (B) (C) (D) 4設(shè)圓的方程為,直線的方程為 (),圓被直線截得的弦長(zhǎng)等于 ( )(A) (B) (C) (D) 與有關(guān) 5函數(shù)是 ( )(A) 周期為的偶函數(shù) (B) 周期為的奇函數(shù)(C) 周期為的偶函數(shù) (D) 周期為的奇函數(shù) 6設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,的解集為,的解集為,則下列結(jié)論正確的是( )(A) (B) (C) (D) 7已知為三條不同的直線,且平面,平面,(1)若與是異面直線,則至少與、中的一條相交;(2)若不垂直于,則與一定不垂直;(3)若,則必有;(4)若,則必有其中正確的命題的個(gè)數(shù)是 ( )(A) (B) (C) (D) 8函數(shù)對(duì)于任意的恒有意義,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( )(A) 且 (B) 且(C) 且 (D) 二、填空題9已知,則 10已知A、B是半徑為5的圓O上的兩個(gè)定點(diǎn),P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AB=6,設(shè)PA+PB的最大值為,最小值為,則的值為 11已知全集U=,集合M=,集合N=,則集合= 12高一年級(jí)某班的部分同學(xué)參加環(huán)保公益活動(dòng)-收集廢舊電池,其中甲組同學(xué)平均每人收集17個(gè),已組同學(xué)平均每人收集20個(gè),丙組同學(xué)平均每人收集21個(gè)若這三個(gè)小組共收集了233個(gè)廢舊電池,則這三個(gè)小組共有 個(gè)學(xué)生13代數(shù)式的最小值為 14設(shè)5長(zhǎng)方體的一個(gè)表面展開圖的周長(zhǎng)為,則的最小值 是 15定義在上的函數(shù)滿足:,則 16已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)組成的集合的元素個(gè)數(shù)為 . 17已知關(guān)于的方程()無(wú)實(shí)根,則的取值范圍是 . 18關(guān)于的不等式的解集為,集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .三解答題(解答應(yīng)有必要文字說明和演算步驟)19 圓的方程是,點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)繞圓心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后所得的點(diǎn)為,求當(dāng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)、之間距離的最大值和最小值20已知BCD中,BCD=90,BC=CD=1,AB平面BCD,ADB=60,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且()求證:不論為何值,總有平面BEF平面ABC;()當(dāng)為何值時(shí),平面BEF平面ACD?21設(shè)函數(shù)的定義域是,且對(duì)任意都有若對(duì)常數(shù),判斷在上的單調(diào)性;22.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:1 對(duì)任意的,總有;2 ;3 若,且,則有成立,并且稱為“友誼函數(shù)”,請(qǐng)解答下列各題:(1)若已知為“友誼函數(shù)”,求的值;(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”?并給出理由.(3)已知為“友誼函數(shù)”,假定存在,使得且,求證:.參考答案一、選擇題:AACABDCB二、 填空題90得 而10 1112設(shè)甲、已、丙三個(gè)組的人數(shù)分別為則有,故233=,同理,均為整數(shù),則或,檢驗(yàn)的方可13數(shù)型結(jié)合得 14長(zhǎng)方體的展開圖的周長(zhǎng)為,由排序或觀察得: 周長(zhǎng)的最小值為15 7 16 5 17. (-2,2) 18. 三、解答題19解:設(shè),設(shè)圓的參數(shù)方程為,則,點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),當(dāng)=1時(shí),有最大值|;當(dāng)時(shí),|有最小值20證明:()AB平面BCD, ABCD,CDBC且ABBC=B, CD平面ABC. 又不論為何值,恒有EFCD,EF平面ABC,EF平面BEF,不論為何值恒有平面BEF平面ABC. ()由()知,BEEF,又平面BEF平面ACD,BE平面ACD,BEAC. BC=CD=1,BCD=90,ADB=60, 由AB2=AEAC 得 故當(dāng)時(shí),平面BEF平面ACD. 21解:(1)對(duì)任意,由,存在使得且,又,在上是增函數(shù)22. 解:(1)取得,又由,得 (2)顯然在上滿足1 ;2 .若,且,則有 故滿足條件1、2、3,所以為友誼函數(shù).(3)由 3知任給其中,且有,不妨設(shè)則必有:所以:

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