河北省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)四邊形第27講矩形與菱形試題（含解析）.docx

第27講矩形與菱形1. (2010，河北)如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，CD6，點(diǎn)A表示的數(shù)為1，則點(diǎn)B表示的數(shù)為 5 .第1題圖【解析】 四邊形ABCD是矩形，ABCD6.點(diǎn)B表示的數(shù)為(1)65.2. (2011，河北)如圖，已知菱形ABCD，其頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為4和1，則BC 5 .第2題圖【解析】 菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為4和1，AB1(4)5.BCAB5.3. (2013，河北，導(dǎo)學(xué)號(hào)5892921)如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)M，N在AC上，MEAD，NFAB.若NFNM2，ME3，則AN的長(zhǎng)為(B)第3題圖A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【解析】 在菱形ABCD中，DACBAC.MEAD，NFAB，AEMAFN90.AFNAEM.，即.解得AN4.4. (2017，河北)求證：菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O.求證：ACBD.以下是排亂的證明過(guò)程：又BODO，AOBD，即ACBD.四邊形ABCD是菱形，ABAD.證明步驟正確的順序是(B)第4題圖A. B. C. D. 【解析】 根據(jù)菱形的性質(zhì)，先得到ABAD和BODO，再根據(jù)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”證明ACBD.故證明步驟正確的順序?yàn)?矩形的性質(zhì)與判定例1 (2018，廊坊安次區(qū)模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD8，E為BC的中點(diǎn)，連接AE，EF是AEC的平分線(xiàn)，交AD于點(diǎn)F，則FD的長(zhǎng)為(A)例1題圖A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【解析】 四邊形ABCD是矩形，ADBC8，ADBC.AFEFEC.EF平分AEC，AEFFEC.AFEAEF.AEAF.E為BC的中點(diǎn)，BC8，BE4.在RtABE中，AB3，BE4，由勾股定理，得AE5.AFAE5.DFADAF853.針對(duì)訓(xùn)練1 如圖，在矩形ABCD中，AB，BC3，AEBD于點(diǎn)E，則EC的長(zhǎng)為(D)訓(xùn)練1題圖A. B. C. D. 【解析】 如答圖，過(guò)點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F.四邊形ABCD是矩形，ADBC3，BAD90.AB，tanADB.ADB30.ABE60.FBE30.在RtABE中，cosABE.BE.在RtBEF中，cosFBE，sin FBE.BF，EF.CF3.在RtCFE中，CE.訓(xùn)練1答圖菱形的判定和性質(zhì)例2 (2018，濱州惠民縣模擬)如圖，在ABCD中，BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，ABC的平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)F.若BF12，AB10，則AE的長(zhǎng)為(C)例2題圖A. 10 B. 12 C. 16 D. 18【解析】 如答圖，設(shè)AE和BF交于點(diǎn)O.四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC.DAEAEB.BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，DAEBAE.BAEBEA.ABBE.同理ABAF.AFBE.四邊形ABEF是平行四邊形ABAF，四邊形ABEF是菱形AEBF，OAOE，OBOFBF6.OA8.AE2OA16.例2答圖針對(duì)訓(xùn)練2 如圖，在RtABC中，BAC90，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AFBC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若AC8，AB10，求菱形ADCF的面積訓(xùn)練2題圖【思路分析】 (1)先證得AEFDEB，再求得AFCD，可證得四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)可求得ADCD，可證得結(jié)論(2)根據(jù)條件可證得S菱形ADCFSABC，結(jié)合條件可求得答案(1)證明：E是AD的中點(diǎn)，AEDE.AFBC，AFEDBE.在AEF和DEB中，AEFDEB(AAS)AFDB.D是BC的中點(diǎn)，BDCD.AFCD.AFBC，四邊形ADCF是平行四邊形BAC90，D是BC的中點(diǎn)，ADCDBC.四邊形ADCF是菱形(2)解：設(shè)AF到CD的距離為h.AFBC，AFBDCD，BAC90，S菱形ADCFCDhBChSABCABAC40.一、 選擇題1. (2018，十堰)菱形不具備的性質(zhì)是(B)A. 四條邊都相等 B. 對(duì)角線(xiàn)一定相等 C. 是軸對(duì)稱(chēng)圖形 D. 是中心對(duì)稱(chēng)圖形【解析】 菱形的四條邊相等，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線(xiàn)互相垂直不一定相等2. (2018，上海)已知ABCD，下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是(B)A. AB B. AC C. ACBD D. ABBC【解析】 A. AB，AB180，AB90.可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形B. AC不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形C. ACBD，對(duì)角線(xiàn)相等，可推出ABCD是矩形D. ABBC，B90.可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形3. (2018，貴陽(yáng))如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點(diǎn)，EFCB，交AB于點(diǎn)F.如果EF3，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為(A)第3題圖A. 24 B. 18 C. 12 D. 9【解析】 E是AC的中點(diǎn)，EFBC，EF是ABC的中位線(xiàn)EFBC.BC6.菱形ABCD的周長(zhǎng)是4624.4. (2018，哈爾濱)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，BD8，tanABD，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為(C)第4題圖A. B. 2 C. 5 D. 10【解析】 四邊形ABCD是菱形，ACBD，AOCO，OBOD.AOB90.BD8，OB4.tanABD，AO3.在RtAOB中，由勾股定理，得AB5.5. (2018，大連)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O.若AB5，AC6，則BD的長(zhǎng)是(A)第5題圖A. 8 B. 7 C. 4 D. 3【解析】 四邊形ABCD是菱形，OAOC3，OBOD，ACBD.在RtAOB中，根據(jù)勾股定理，得OB4.BD2OB8.6. (2018，孝感)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，AC10，BD24，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為(A)第6題圖A. 52 B. 48 C. 40 D. 20【解析】 在菱形ABCD中，BD24，AC10，OB12，OA5.易知AOB90.在RtABO中，AB13.菱形ABCD的周長(zhǎng)為4AB52.7. (2018，保定模擬)如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AD，AO的中點(diǎn)若AB6，BC8，則AEF的周長(zhǎng)為(C)第7題圖A. 6 B. 8 C. 9 D. 10【解析】 四邊形ABCD是矩形，ADBC8，BAD90，OBODOAOC.在RtBAD中，BD10，ODOAOB5.E，F(xiàn)分別是AD，AO的中點(diǎn)，EFOD，AE4，AF.AEF的周長(zhǎng)為9.8. (2018，遵義)如圖，P是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EFBC，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PB，PD.若AE2，PF8，則圖中陰影部分的面積為(C)第8題圖A. 10 B. 12 C. 16 D. 18【解析】 如答圖，過(guò)點(diǎn)P作PMAD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形SADCSABC，SAMPSAEP，SPBESPBN，SPFDSPDM，SPFCSPCN.SPBESDFP288.S陰影8816.第8題答圖9. (2018，宿遷)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E為邊CD的中點(diǎn)若菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，BAD60，則OCE的面積是(A)第9題圖A. B. 2 C. 2 D. 4【解析】 如答圖，過(guò)點(diǎn)D作DHAB于點(diǎn)H.四邊形ABCD是菱形，AOCO，ABBCCDAD.菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，ABAD4.BAD60，DHADsinBAD42.S菱形ABCD428.SACD84.E為邊CD的中點(diǎn)，SOCESOCDSACD4.第9題答圖10. (2018，棗莊)如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，AEBD，垂足為F，則tanBDE的值是(A)第10題圖A. B. C. D. 【解析】 四邊形ABCD是矩形，ADBC，ADBC.E是邊BC的中點(diǎn)，BEBCAD.ADBC，BEFDAF.EFAF.EFAE.E是邊BC的中點(diǎn)，由矩形的對(duì)稱(chēng)性，得AEDE.EFDE.設(shè)EFx，則DE3x.DF2x.tanBDE.二、 填空題11. (2018，株洲)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AC10，P，Q分別為AO，AD的中點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)為 2.5 .第11題圖【解析】 四邊形ABCD是矩形，BDAC10，BODOBD.ODBD5.P，Q分別是AO，AD的中點(diǎn)，PQ是AOD的中位線(xiàn)PQDO2.5.12. (2018，連云港，導(dǎo)學(xué)號(hào)5892921)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連接AC，HE，EC，GA，GF.已知AGGF，AC，則AB的長(zhǎng)為 2 .第12題圖【解析】 如答圖，連接BD.四邊形ABCD是矩形，ADCDCB90，BDAC.G，F(xiàn)分別是CD，BC的中點(diǎn)，CGDG，CFFB，GFBD.AGFG，AGF90.DAGAGD90，AGDCGF90，DAGCGF.ADGGCF.設(shè)CFBFa，CGDGb，則.b22a2.a0，b0，ba.在RtGCF中，CF2CG2GF2，即a2b2.3a2.a.b1.AB2b2.第12題答圖三、 解答題13. (2018，張家界)在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AEAD，DFAE，垂足為F.(1)求證：DFAB；(2)若FDC30，且AB4，求AD的長(zhǎng)第13題圖【思路分析】 (1)利用“AAS”證ADFEAB即可得(2)由ADFFDC90，DAFADF90，得DAFFDC30.據(jù)此知AD2DF.由(1)知DFAB可得答案(1)證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，B90.AEBDAF.DFAE，DFA90.DFAB.ADEA，ADFEAB.DFAB.(2)解：ADFFDC90，DAFADF90，DAFFDC30.AD2DF.由(1)知DFAB，AD2AB8.14. (2018，烏魯木齊)如圖，在四邊形ABCD中，BAC90，E是BC的中點(diǎn)，ADBC，AEDC，EFCD于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若AB6，BC10，求EF的長(zhǎng)第14題圖【思路分析】 (1)根據(jù)平行四邊形和菱形的判定證明即可(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可(1)證明：ADBC，AEDC，四邊形AECD是平行四邊形BAC90，E是BC的中點(diǎn)，AECEBC.四邊形AECD是菱形(2)解：如答圖，過(guò)點(diǎn)A作AHBC于點(diǎn)H.BAC90，AB6，BC10，AC8.SABCBCAHABAC，AH.E是BC的中點(diǎn)，BC10，CE5.由(1)知四邊形AECD是菱形，CDCE5.SAECDCEAHCDEF，EFAH.第14題答圖1. (2018，威海)矩形ABCD與矩形CEFG如圖放置，點(diǎn)B，C，E共線(xiàn)，點(diǎn)C，D，G共線(xiàn)，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接GH.若BCEF2，CDCE1，則GH的長(zhǎng)為(C)第1題圖A. 1 B. C. D. 【解析】 如答圖，延長(zhǎng)GH交AD于點(diǎn)P.四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形，ADCADGCGF90，ADBC2，GFCE1.ADGF.GFHPAH.H是AF的中點(diǎn)，AHFH.在APH和FGH中，APHFGH(ASA)APGF1，GHPHPG.PDADAP1.CG2，CD1，DG1.GHPG.第1題答圖2. (2018，達(dá)州，導(dǎo)學(xué)號(hào)5892921)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A(6，0)，C(0，2)將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在OB上的點(diǎn)A1處，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(2，6)第2題圖【解析】 如答圖，連接OB1，過(guò)點(diǎn)B1作B1HOA于點(diǎn)H.由題意，得OA6，ABOC2.tanBOA.BOA30.ABO60.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知B1OBBOA30，OB1OB.B1OH60.B1OHABO.在AOB和HB1O中，AOBHB1O.B1HOA6，OHAB2.點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(2，6)第2題答圖3. (2018，泰安，導(dǎo)學(xué)號(hào)5892921)如圖，在ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，DEAC于點(diǎn)E，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)GBC于點(diǎn)G，與DE交于點(diǎn)H.若FGAF，AG平分CAB，連接GE，GD.(1)求證：ECGGHD；(2)小亮同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：ADACEC.請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論；(3)若B30，判斷四邊形AEGF是否為菱形，并說(shuō)明理由 第3題圖【思路分析】 (1)依據(jù)條件得出ACFG，DEBC，進(jìn)而得出CDHG90，CGEGED，F(xiàn)G是線(xiàn)段ED的垂直平分線(xiàn)，進(jìn)而得到GEGD，CGEGDE，利用AAS即可判定ECGGHD.(2)過(guò)點(diǎn)G作GPAB于點(diǎn)P.先判定RtCAGRtPAG，可得ACAP.由(1)可得EGDG，即可得到RtECGRtDPG，進(jìn)而得ECDP，即可得出ADAPPDACEC.(3)依據(jù)B30，DEBC，可得ADE30，進(jìn)而得到AEAD，故AEAFFG.先判定四邊形AEGF是平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形(1)證明：AFFG，F(xiàn)AGFGA.AG平分CAB，CAGFAG.CAGFGA