2014年國慶高中物理競賽集訓一知識點梳理2

2014年國慶高中物理競賽集訓一 知識點梳理 （第二次） 資料說明 本導學用于學員在實際授課之前，了解授課方向及重難點。同時還附上部分知識點的詳細解讀。本班型導學共由4份書面資料構成。 （2014 年國慶集中培訓課程使用） QBXT/JY/ZSD2014/9-23-2 2014-9-15 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自主招生郵箱 數學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 2014年國慶高中物理競賽集訓一知識點梳理 (力學部分2) 知識框架 . 3 重點難點 . 4 知識梳理 . 5 一、 能量、動量和角動量. 5 1. 功能原理 . 5 2. 動能定理 . 5 3. 動量守恒 . 5 4. 角動量守恒 . 5 二、 天體運動 . 7 1. 萬有引力 . 7 2. 開普勒行星運動定律 . 7 3. 宇宙速度與軌道能量 . 7 例題選講 . 9 北京清北學堂教育科技有限公司 第2頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 知識框架 能量、動量和角動量 功能原理 動能定理 動量守恒 角動量守恒 天體運動 萬有引力 開普勒行星運動定律 宇宙速度與軌道能量 北京清北學堂教育科技有限公司 第3頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 重點難點 能量、動量和角動量中動量守恒涉及較多碰撞問題，需要靈活運用碰撞規(guī)律；還需要熟悉角動量守恒，并在天體運動中靈活運用。天體運動開普勒行星運動定律是重點，結合角動量守恒定律基本可求解天體運動問題。 北京清北學堂教育科技有限公司 第4頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 知識梳理 一、 能量、動量和角動量 1. 功能原理 系統機械能的變化量等于外力對系統所做總功與系統內耗散力做功的代數和。耗散力指的是非保守力，即做功與路徑有關的力。目前接觸到的力除重力、庫侖力外其他力均為非保守力。 2. 動能定理 （1） 機械能守恒 系統內只有保守力做功，其他非保守內力和外力做功之和為零，系統的機械能守恒。 （2） 動能定理 系統所有外力與所有內力對系統做功的代數和等于系統總動能的變化量，即： =+12kkEEWW內外 需要注意，考慮質點系時要考慮內力做功。 類比質點運動動能，剛體轉動動能為221IEk=，對轉動剛體動能定理仍然成立，即 2022121 IIW = 動能定理常用于計算變加速運動速度。 3. 動量守恒 （1） 動量守恒 質點系動量定理：0)( pptF=外 如果= 0外F，則0pp=。因此，系統不受外力或者受外力之和為零，系統的總動量保持不變，即質點系的總動量是守恒的。 若系統在某一方向上不受外力（或外力分量之和為零），則系統在該方向上的動量守恒。 在處理碰撞或爆炸問題時，系統內力作用遠強于外力作用，可近似認為無外力作用于系統，動量守恒仍然成立。 （2） 碰撞 碰撞過程滿足動量守恒。碰撞前后物體速度在同一直線為正碰，否則為斜碰。碰撞中無機械能損失為彈性碰撞，有機械能損失為非彈性碰撞。當碰撞后兩物體速度相同時，為完全非彈性碰撞。 描述碰撞非彈性程度的量為恢復系數，定義為碰撞后分離速度與碰撞前接近速度的比值，即1212vvvve=。對彈性碰撞，1=e，完全非彈性碰撞0=e，一般非彈性碰撞10 e。對斜碰，取沿碰撞接觸面法線方向的相對速度為接近速度和分離速度即可。 對彈性碰撞，使用1=e及動量守恒計算碰撞后速度，比使用機械能守恒方便得多。 4. 角動量守恒 角動量定義為動量對轉軸（支點）的矩，也稱為動量矩，即sinmvrvmrL =。 北京清北學堂教育科技有限公司 第5頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 角動量是剛體轉動中的物理量，類比質點運動動量的定義，質量對應轉動慣量，速度對應角速度，有IL =。 類比動量定理，角動量定理的形式為)( ItM =。 對剛體，繞定軸轉動慣量I為常數，角動量定理為= ItM。 對非剛體，轉動慣量I不為常數，角動量定理為1122 IItM =。 當物體所受合外力矩為零時，角動量守恒。合外力矩為零的一種特殊情況是物體受到有心力場作用，如行星繞恒星轉動。 北京清北學堂教育科技有限公司 第6頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 二、 天體運動 1. 萬有引力 質量為M的球對稱分布球體，半徑為R，則與另一個質量為m的質點B間的萬有引力為 =RrrmrMGRrrMmGF22)(，其中)(rM表示半徑r內的部分球的質量。 如果A、B都是質量球對稱分布的球形物體，相距很遠，則萬有引力為將其質量集中于球心處的質點間的萬有引力，即2rMmGF = 兩個相距為r的質點M、m，其間引力勢能為rGMmEp=。若M為質量均勻半徑為R的球殼，則引力勢能=雙曲線軌道拋物線軌道橢圓軌道圓00/0EEE 北京清北學堂教育科技有限公司 第8頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 例題選講 例1. 嫦娥1號奔月衛(wèi)星與長征3號火箭分離后，進入繞地運行的橢圓軌道，近地點離地面高22.05 10nH km= ，遠地點離地面高45.0930 10fH km= ，周期約為16小時，稱為16小時軌道（如圖中曲線1所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來越遠，星載發(fā)動機先在遠地點點火，使衛(wèi)星進入新軌道（如圖中曲線2所示），以抬高近地點。后來又連續(xù)三次在抬高以后的近地點點火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠地點，相繼進入24小時軌道、48小時軌道和地月轉移軌道（分別如圖中曲線3、4、5所示）。已知衛(wèi)星質量32.350 10m kg= ，地球半徑36.378 10R km= ，地面重力加速度29.81 /g ms=，月球半徑31.738 10r km= 。 1、試計算16小時軌道的半長軸a和半短軸b的長度，以及橢圓偏心率e。 2、在16小時軌道的遠地點點火時，假設衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點火時間很短，可以認為橢圓軌道長軸方向不變。設推力大小F=490N，要把近地點抬高到600km，問點火時間應持續(xù)多長？ 3、試根據題給數據計算衛(wèi)星在16小時軌道的實際運行周期。 4、衛(wèi)星最后進入繞月圓形軌道，距月面高度Hm約為200km，周期Tm=127分鐘，試據此估算月球質量與地球質量之比值。 解： 1. 橢圓半長軸a等于近地點和遠地點之間距離的一半，亦即近地點與遠地點矢徑長度（皆指衛(wèi)星到地心的距離）nr與fr的算術平均值，即有 ( ) ( ) ( ) ( )nf n f n f11 122 2a rr HR HR HH R= += + + = + + (1) 代入數據得43.1946 10a = km (2) 橢圓半短軸b等于近地點與遠地點矢徑長度的幾何平均值，即有nfb rr= (3) 代入數據得 41.942 10 kmb = (4) 橢圓的偏心率 abae22= (5) 代入數據即得 0.7941e = (6) 2. 當衛(wèi)星在16小時軌道上運行時，以nv和fv分別表示它在近地點和遠地點的速度，根據能量守恒，衛(wèi)星在近地點和遠地點能量相等，有 北京清北學堂教育科技有限公司 第9頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 22nfnf11GMm GMmmmrr=vv (7) 式中M是地球質量，G是萬有引力常量. 因衛(wèi)星在近地點和遠地點的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂直，根據角動量守恒，有nn ffmr mr=vv (8) 注意到gRGM=2 (9) 由(7)、(8)、(9)式可得 fnnf n2r gRrr r=+v (10) nnfnf ff n2rrgRr rr r= =+vv (11) 當衛(wèi)星沿16小時軌道運行時，根據題給的數據有nnr RH= + ffr RH= + 由(11)式并代入有關數據得f1.198 /km s=v (12) 依題意，在遠地點星載發(fā)動機點火，對衛(wèi)星作短時間加速，加速度的方向與衛(wèi)星速度方向相同，加速后長軸方向沒有改變，故加速結束時，衛(wèi)星的速度與新軌道的長軸垂直，衛(wèi)星所在處將是新軌道的遠地點.所以新軌道遠地點高度4ff5.0930 10H H km = = ，但新軌道近地點高度2n6.00 10H km = .由(11)式，可求得衛(wèi)星在新軌道遠地點處的速度為 f1.230 /km s =v (13) 衛(wèi)星動量的增加量等于衛(wèi)星所受推力F的沖量，設發(fā)動機點火時間為t，有 ( )ffm Ft =vv (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有關數據得21.5 10 st= (15) 這比運行周期小得多. 3. 當衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時，以r表示它所在處矢徑的大小，v表示其速度的大小，表示矢徑與速度的夾角，則衛(wèi)星的角動量的大小sin 2L rm ms= =v (16) 其中1sin2rs= v （17） 是衛(wèi)星矢徑在單位時間內掃過的面積，即衛(wèi)星的面積速度.由于角動量是守恒的，故s是恒量.利用遠地點處的角動量，得ff12rs = v (18) 又因為衛(wèi)星運行一周掃過的橢圓的面積為S ab= (19) 所以衛(wèi)星沿軌道運動的周期sST = (20) 由(18)、(19)、(20) 式得ff2abTr=v (21) 北京清北學堂教育科技有限公司 第10頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 代入有關數據得45.678 10Ts= (約15小時46分) (22) 4. 在繞月圓形軌道上，根據萬有引力定律和牛頓定律有2mm22()GM mmrrT= (23) 這里mmr rH= +是衛(wèi)星繞月軌道半徑，mM是月球質量. 由(23)式和(9)式，可得 23mm22m4 rMMgR T= (24) 代入有關數據得 m0.0124MM= (25) 簡析：本題是一道綜合的天體運動題目。雖然題目很長，但在天體運動中不外乎角動量守恒和能量守恒，在涉及反沖時還存在動量守恒和動量定理。以上物理定律和橢圓的幾何特點是求解天體運動的法寶。 例2. 如圖半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內。小球A、B質量分別為m、m（為待定系數）。A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點的B球相撞，碰撞后A、B球能達到的最大高度均為，碰撞中無機械能損失。重力加速度為g。試求： （1）待定系數； （2）第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度和B球對軌道的壓力； （3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度。 解： （1）由于碰撞后球沿圓弧的運動情況與質量無關，因此，A、B兩球應同時達到最大高度處，對A、B兩球組成的系統，由機械能守恒定律得44mgR mgRmgR= +，解得3 （2）設A、B第一次碰撞后的速度分別為v1、v2，取方向水平向右為正，對A、B兩球組成的系統，有22121122mgR mv mv= + 122m gR mv mv= + 解得112v gR=，方向水平向左；212v gR=，方向水平向右。 設第一次碰撞剛結束時軌道對B球的支持力為N，方向豎直向上為正，則 22vN mg mR=，B球對軌道的壓力 4.5N N mg=，方向豎直向下。 14R 北京清北學堂教育科技有限公司 第11頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 （3）設A、B球第二次碰撞剛結束時的速度分別為V1、V2，取方向水平向右為正，則 1