用終值定理計(jì)算自控原理中的穩(wěn)態(tài)誤差-科創(chuàng)學(xué)院-劉靜.doc

用終值定理計(jì)算自控原理中的穩(wěn)態(tài)誤差劉靜（Liujing）（重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院 機(jī)械與電子工程學(xué)院，重慶 永川 402160）摘要本文介紹了用終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，并通過實(shí)例說明應(yīng)用這種方法計(jì)算簡(jiǎn)捷，對(duì)課堂教學(xué)有較好的效果。關(guān)鍵詞終值定理；干擾誤差；給定誤差；傳遞函數(shù)中圖文分類號(hào) 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 文章編號(hào)在自動(dòng)控制原理中，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是表征控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)準(zhǔn)確度（即控制精度）的重要性能。通過求e(t)響應(yīng)表達(dá)式來求穩(wěn)態(tài)誤差，高階系統(tǒng)相當(dāng)復(fù)雜，如：ess(t)=C0dr(t)+ C1dr(t)+ C2dr(t)+ ，而采用終值定理計(jì)算則要簡(jiǎn)單得多。1 穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為希望值與實(shí)際值之差。即e(t)=希望值實(shí)際值，對(duì)于圖1所示系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)，其誤差的定義有兩種：（1）e(t)=r(t) c(t)（2）e(t)=r(t) b(t) 圖1 典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖當(dāng)圖1中反饋通道H(s)=1，即單位反饋時(shí)，則上述兩種定義統(tǒng)一為e(t)=r(t) c(t)，它反映了系統(tǒng)跟蹤輸入信號(hào)r(t) 和抗干擾n(t)的整個(gè)過程中的精度。誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量叫做控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1，記為ess(t)，若時(shí)間t趨于無窮時(shí)，e(t)的極限存在，則穩(wěn)態(tài)誤差為。2 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法用拉普拉斯變換的終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差Ess(t)比求解系統(tǒng)的誤差響應(yīng)e(t)要簡(jiǎn)單得多。拉普拉斯變換終值定理為：，式中F(s)為的拉氏變換。應(yīng)用終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差：。由上式可看出：利用終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差ess，實(shí)質(zhì)問題歸結(jié)為求誤差e(t)的拉氏變換E(s)。由圖1所示系統(tǒng)，求在輸入信號(hào)和干擾作用下誤差的拉氏變換式E(s)： E(s)=R(s) B(s) （1）式中B(s)為反饋量，其表達(dá)式為： （2）式中為反饋量B(s)對(duì)輸入量R(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，為反饋量B(s)對(duì)干擾R(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。將（2）式代入（1）式得 （3）由圖1可求出 （4）稱為系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的誤差傳遞函數(shù)。 （5）稱為系統(tǒng)對(duì)干擾的誤差傳遞函數(shù)2。由式（3）（4）（5）可將E(s)改寫成： ER(s)為輸入信號(hào)引起的誤差的拉氏變換，EN(s)為干擾引起的誤差的拉氏變換。3 應(yīng)用舉例例1、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，當(dāng)輸入信號(hào)r (t) =1(t)， 干擾信號(hào)n(t) =1(t)時(shí)，求系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差ess。圖2 例1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：第一步，判別穩(wěn)定性，由于是一階系統(tǒng)，所以只要參數(shù)k1、k2大于零，系統(tǒng)就穩(wěn)定。第二步，求E(s)：由結(jié)構(gòu)圖2，并根據(jù)式（4）（5），得又知輸入信號(hào)r (t) =1(t)，干擾信號(hào)n(t) =1(t)，所以，則第三步，應(yīng)用終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差ess例2、求圖3所示系統(tǒng)的總的穩(wěn)態(tài)誤差。誤差e=rc。圖3 例2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：（1）判別穩(wěn)定性，本系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，閉環(huán)特征方程5s2+s+1200=0，每項(xiàng)系數(shù)大于0，所以閉環(huán)穩(wěn)定。（2）求essr。n(t)=0，由結(jié)構(gòu)圖3知：r (t) =1(t) 所以（3）求essN r(t)=0，n(t)=0.11(t) 所以（4）求essess=essr+essN=0+（-0.1）=-0.14 結(jié)束語應(yīng)用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算簡(jiǎn)單，但應(yīng)注意：（1）必須明確終值定理的應(yīng)用條件。應(yīng)用條件是e(t)的拉氏變換E(s)在s右半平面及虛軸上解析，即沒有極點(diǎn)。計(jì)算時(shí)首先應(yīng)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）要注意區(qū)分誤差信號(hào)與偏差信號(hào)。偏差信號(hào)指輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的差。單位反饋系統(tǒng)中，兩者相等，非單位反饋系統(tǒng)要嚴(yán)格定義進(jìn)行誤差信號(hào)計(jì)算。如例2中e=rc，求N(t)帶來的誤差e=0-c，所以 。仔細(xì)分析誤差e的位置，切不可盲目認(rèn)為e=rc，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤。參考文獻(xiàn)1孫虎章，自動(dòng)控制原理.中央電大出版社，1994：152-1762陶琳，自動(dòng)控制原理學(xué)習(xí)指導(dǎo).中央電大出版社，1994：65-70Computing Stable tolerance of auto-control by using Final-value theoremLiu Jing(Machine and Electrical Engineering School, Chongqing Creation Vocational College, Chongqing 402160, China )Abstract: This article introduced the method of computing Stable tolerance by using Final-value theorem, and through the example explained applies this method computation to be simple and direct, has the good effect to the classroom instruction. Key words: net result theorem; disturbance error; assigned error; transfer function作者簡(jiǎn)介 劉靜，女，1983年10月5日出生，2005年畢業(yè)于四川理工學(xué)院電氣工程及其自動(dòng)化專業(yè)，工學(xué)學(xué)士，現(xiàn)在重慶科創(chuàng)職業(yè)