實數(shù)的連續(xù)性公理證明確界存在定理.doc

實數(shù)的連續(xù)性公理證明確界存在定理定理一 實數(shù)基本定理（戴德金實數(shù)連續(xù)性定理）實數(shù)系R按戴德金連續(xù)性準這是連續(xù)的，即對R的任意分劃A|B，都存在唯一的實數(shù)r，它大于或等于下類A的每一實數(shù)。小于或等于上類B中的每一個實數(shù)。定理二 單調(diào)有界有極限 單調(diào)上升（下降）有上（下）界的數(shù)列必有極限存在。定理三 確界定理 在實數(shù)系R內(nèi)，非空的有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界存在。定理四 區(qū)間套定理 設 是一個區(qū)間套，則必有唯一的實數(shù)r，使得r包含在所有的區(qū)間套里，即 。定理五 Borel有限覆蓋定理 實數(shù)閉區(qū)間 的任一個覆蓋E，必存在有限的子覆蓋。定理六 Bolzano-Weierstrass緊致性定理 有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。定理七 Cauchy收斂原理 在實數(shù)系中，數(shù)列 有極限存在的充分必要條件是：任給 0，存在N，當nN，mN時，有 。 定理一 三是對實數(shù)連續(xù)性的描述，定理四 定理六是對實數(shù)閉區(qū)間的緊致性的描述，定理七是對實數(shù)完備性的描述。上述七個定理都描述了實數(shù)的連續(xù)性（或稱完備性），它們都是等價的。下面給出其等價性的證明：定理一 定理二：設數(shù)列 單調(diào)上升有上界。令B是 全體上界組成的集合，即B= ，而A=RB,則A|B是實數(shù)的一個分劃。事實上，由 有上界知B不空。又 單調(diào)上升，故 ，即A不空。由A=RB知A、B不漏。又 ，則 ，使 ，即A、B不亂。故A|B是實數(shù)的一個分劃。根據(jù)實數(shù)基本定理，存在唯一的 使得對任意 ，任意 ，有 。下證 。事實上，對 ，由于 ，知 ，使得 。又 單調(diào)上升。故當nN時，有 。注意到 ，便有 。故當nN時有，于是 。這就證明了 。若 單調(diào)下降有下界，則令 ，則 就單調(diào)上升有上界，從而有極限。設極限為r，則。定理二證完。定理二 定理三：只需證明在實數(shù)系R內(nèi)，非空的有上界的數(shù)集必有上確界存在。設數(shù)集X非空，且有上界。則 ，使得對 ，有 。又 R是全序集， 對 ，與 有且只有一個成立。故 ,有 與 有且只有一個成立。故r是X的上界與r不是X的上界有且只有一個成立。 X有上界， 實數(shù)是X的上界。若不存在實數(shù)不是X的上界，則由上知， 實數(shù)都是X的上界，這顯然與X非空矛盾。故 ，使得 不是X的上界， 是X的上界。則 使得 。用 的中點 二等分 ，如果 是X的上界，則?。蝗绻?不是X的上界，則取 。繼續(xù)用二等分 ，如果 是X的上界，則取 ；如果不是X的上界，則取 。如此繼續(xù)下去，便得到兩串序列。其中 都不是X的上界且單調(diào)上升有上界（例如 ）， 都是X的上界且單調(diào)下降有下界（例如 ）。并且 （當 時）。由 單調(diào)上升有上界知有 存在，使得 。下證 。事實上 ， 對， ，當 時有 。又 都不是X上界 對每一個 ，使得 。故對 ， ，使得 。若，使得 ，則由 知 。故，使得 。又 都是X的上界，故對 有 。而 ，故 ，這是不可能的。故對 ，有 。綜上、即有 。即X有上確界存在。定理三 定理四：由條件知集合 非空，且有上界（例如 ）。故由確界定理知A有上確界，記為 。則對 ，有 。同理可知集合有下確界，記為 。則對 ，有 。又 ，由上可知 。 兩邊取極限，令 有 。又顯然 。否則由于 是A的上確界，則 ，使得 ；同理 ，使得 ，則有。又由區(qū)間套的構造可知，對 ，記k=max（n,m），則有。故有 ，矛盾。故必有 。故 ，記為r。則對 ，有 。下證具有這一性質(zhì)的點是唯一的。用反證法，如果還有另一 ，使得。由于 對一切n成立，故 ,令，得 ，與 矛盾。故這樣的r是唯一的，即存在唯一的實數(shù)r，使得r包含在所有的區(qū)間里，即 。定理四 定理五：用反證法。設E是區(qū)間 的一個覆蓋，但 沒有E的有限子覆蓋。記 ，二等分 ，則必有一區(qū)間沒有E的有限子覆蓋（否則把兩區(qū)間的E的有限子覆蓋的元素合起來構成一新的集合E,則E是 的E的有限子覆蓋，即 有E的有限子覆蓋與反證假設矛盾），記其為 。二等分 ，則必有一區(qū)間沒有E的有限子覆蓋，記為 。如此繼續(xù)下去，得到一組實數(shù)的閉區(qū)間序列，滿足(i) ；(ii) 。故 構成一個區(qū)間套，且每個 都沒有E的有限子覆蓋。則由區(qū)間套定理有存在唯一的實數(shù)r，使得 。又 由覆蓋的定義有 ，使得 ，即 。又由上區(qū)間套定理的證明可知 ，其中 。故 ，使得 ， ，使得 。設 ，則，即有 覆蓋 。這與 沒有E的有限子覆蓋的構造矛盾，故 必有E的有限子覆蓋。定理五 定理六：設數(shù)列 有界，即實數(shù) a,b，且ab，有 。用反證法，如果 無收斂子數(shù)列，則對 ，使得只有有限個 。（如果不然，即 ，對 ，有 中有無限個 。選定 ，再選 ，使 。這是辦得到的，因為 包含數(shù)列的無限多項。再取 ，使 。如此繼續(xù)下去，便得到 的一子數(shù)列 。令 ，則有 。又 ， 與反證假設矛盾）。又以這樣的 作為元素組成的集合顯然是 的一覆蓋，記為E。則由Borel有限覆蓋定理知 有E的有限子覆蓋。而E中的每個元素都只包含 的有限項，有限個有限的數(shù)相加仍為有限數(shù)，故 只包含 的有限項。這與 矛盾，故 必有收斂子數(shù)列，即有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。定理六 定理七：必要性：設在實數(shù)系中，數(shù)列 有極限存在，則 ， ，使得只要 ，有 （記 ）。因此只要 ，就有。必要性得證。 充分性：設在實數(shù)系中，數(shù)列 滿足： ， ，當時，有 ，即 是基本列。先證 是有界的。事實上，取，則 ，使得當 時，有 。取定一 ，則有 。取 ，則有 。這就證明了 是有界的。再證明 有極限存在。由Bolzano-Weierstrass緊致性定理可知 有子數(shù)列 ，使得 存在，記為a。下證。事實上， ，由題設知 ，當 時，有 。又 ， ，只要 ，就有 。取 ，則只要 ，選取 ，就有 。這就證明了 。即 有極限存在。充分性得證。綜上，定理七證完。定理七 定理一：對任意給定的實數(shù)R的分劃A|B， A、B非空， 可任取點。又 分劃滿足不亂， 。用 的中點 二等分 ，如果 ，則取 ；如果 。則取。（ 分劃滿足不漏， 對任意實數(shù)，或者屬于A，或者屬于B。故或 。）繼續(xù)用 二等分 ，如果 ，則??；如果 ，則取 。如此繼續(xù)下去，便得到兩串序列 。其中 單調(diào)上升有上界（例如 ）， 單調(diào)下降有下界（例如 ），并且 （當 時）。下面用柯西收斂原理來證明存在。事實上如果不然，則 ， ， ，有 。不妨設 ，由 單調(diào)上升有 。 對 上式都成立（ ）， 取 ，并把所得的不等式相加得 。其中k為不等式的個數(shù)。故 ，當 時。而由N的取法可知對每一個k都有相應的N與之對應，即有相應的 與之對應。故對 ， ，使得。即 無界，與 有界矛盾。故 存在，記為r。下證對，有 。這等價于證明對 ，有 。事實上，由 知 ，使 。故 。而對 ，由 知 。故 ，使 。從而 ，這就證明了 ，即證明了實數(shù)基本定理。 綜上，這就證明了這七個定理是等價的。而從證明過程來看：定理二 定理三的方法可用于定理二 定理四及定理四 定理三；定理七 定